UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

CAMPUS PRAÇA XI

Sistemas Digitais

Álgebra de Boole

09 de Outubro de 2009

Disciplina: sistemas Digitais,

Curso: Engenharia Elétrica da UNESA,

Orientação do Docente Jadson.

Aluno: Teo Pires Marques Matrícula: 200602116859

Aluno: Bruno T. M. Sampaio Matrícula: 200501146541

Aluno: Erivaldo G. de Oliveira Matrícula: 200301218599

ÍNDICE

1.Origem histórica da algebra de Boole 3

1.1. Definições e exemplos....................................................................3

1.2. Teorema de Morgan .......................................................................6

1.3. Diagramas de Venn..........................................................................6

2.Bibliografia 7

Origem histórica da álgebra de Boole

(1815 - 1864)

  Matemático, lógico, professor e autor inglês, nascido em Lincoln, Lincolnshire, cujos estudos deu início a um processo que conduziria a importantes aplicações tecnológicas, tais como os computadores eletrônicos baseados em dígitos binários. De uma família sem muitos recursos, foi praticamente um autodidata, inicialmente se dedicando ao estudo de latim e grego, tornando-se professor para seu sustento (1831) e fundando sua própria escola (1835). Paralelamente se interessou por matemática, estudou obras de Newton, de Laplace e de Lagrange e começou a publicar suas idéias sobre o assunto tornando-se, então, autor de importantes textos sobre equações diferenciais e transformação linear, com ênfase no conceito de invariância. Foi, então, condecorado com uma medalha da Royal Society por suas contribuições ao desenvolvimento da análise matemática (1844). Depois divulgou uma de suas mais originais contribuições em The mathematical analysis of logic (1847), com os princípios da moderna lógica simbólica, mostrando que a esta deveria ser associada à matemática e acabando com a controvérsia sobre lógica criada entre William Hamilton e De Morgan e conseguindo com esta publicação, o cargo de professor de matemática no recém-fundado Quenns College, da cidade irlandesa de Cork (1849), apesar de não possuir grau universitário. O desenvolvimento de suas idéias deu origem à chamada álgebra de Boole ou álgebra booliana, base da lógica simbólica e e das probabilidades e sua principal obra, apresentada no livro An Investigation into the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (1854), considerada um clássico na história da matemática. Com este trabalho ganhou o grau honorário da Universidade de Dublin.  Faleceu em Ballintemple, County Cork, Irlanda e é considerado o pai da lógica matemática moderna por introduzir o uso de símbolos matemáticos para expressar processos lógicos de forma que estes possam ser lidos com o mesmo rigor de uma equação algébrica. Sua obra foi continuada por De Morgan e Benjamin Pierce.

1- Álgebra de Boole (ou Boleana)

· Desenvolvida pelo matemático George Boole para estudo da lógica.

· Definida sobre um conjunto de dois elementos:

· (falso, verdadeiro) (0, 1) (baixo, alto)

· Seus elementos, a princípio, não tem significado numérico.

· Postulados: se x é uma variável boleana então:

Se x <> 0 => x = 1

Se x <> 1 => x = 0

Álgebra de Boole: operações

· São definidas algumas operações elementares na álgebra boleana:

Operação “Não” (NOT)

operador barra

0 = 1

1 = 0

Operação “E” (AND)

operador ponto .

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Operação “Ou” (OR)

operador +

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Operação “Ou-Exclusivo” (XOR)

operador (+)

0 (+) 0 = 0

0 (+) 1 = 1

1 (+) 0 = 1

1 (+) 1 = 0

Álgebra de Boole: funções

Uma variável boleana só pode assumir apenas um dos valores possíveis (0 e 1)

Uma ou mais variáveis e operadores podem ser combinados formando uma função lógica

Z1(A) = f(A) = ... (expressão usando var. A)

Z2(A,B) = f(A,B) = ... (expr. usando var. A e B)

_ Resultados de uma função lógica podem ser expressos numa tabela relacionando todas as combinações possíveis dos valores que suas variáveis podem assumir e seus resultados correspondentes: a Tabela-Verdade.

Álgebra de Boole: Tabela Verdade

Tabela-Verdade relaciona os resultados (saída) de uma função lógica para todas as combinações possíveis de suas

variáveis (entrada).

Na Tabela-Verdade acima a função lógica Z possui duas variáveis A e B, sendo Z = f(A, B) = A + B

Álgebra de Boole: precedência

Precedência das Operações

(0) parêntesis

(1) “Negação”

(2) “E”

(3) “Ou”, “Ou-exclusivo”

O uso de parêntesis altera a precedência “normal” dos operadores, como na álgebra comum.

Álgebra de Boole: propriedades

Sendo A, B e C variáveis boleanas

Propriedade Comutativa

A . B = B . A

A + B = B + A

A (+) B = B (+) A

Propriedade Associativa

( A . B ) . C = A . ( B . C ) = A . B . C

( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C

( A (+) B ) (+) C = A (+) ( B (+) C ) = A (+) B (+) C

Propriedade Distributiva

A . (B + C ) = A . B + A . C

A + B . C = (A + B) . (A + C)

Propriedades (Leis) de Absorção

A + A.B = A

A + A.B = A + B

(A + B).B = A.B

Identidades importantes

NOT

0 = 1

1 = 0

A = A

AND

A . 1 = A

A . 0 = 0

A . A = A

A . A = 0

OR

A + 1 = 1

A + 0 = A

A + A = A

A + A = 1

Álgebra de Boole: dualidade

Existe um princípio especial na álgebra boleana denominado “princípio da dualidade”:

Para uma equação boleana qualquer, se trocarmos as operações E (.) e operações OU (+) entre si assim como os valores 0s e 1s entre si, obteremos uma equação igualmente válida.

A + 0 = A => A . 1 = A

A + 1 = 1 => A . 0 = 0

A + A = A => A . A = A

A + A = 1 => A . A = 0

A Obra de Boole foi continuada por Morgan e Benjamin Pierce

1.2- Teorema de “De Morgan”

Primeira Lei

A . B = A + B

Segunda Lei

A + B = A . B

Estas leis permitem mudar de operador sem que seja alterada a função.

Ambas as leis podem ser estendidas para n variáveis.

1.3- Diagramas de Venn

Os diagramas de Venn são construções geométricas que permitem visualizar teoremas da álgebra boleana.

2 - Bibliografia:

http://download.wlsv.com.br/FG/06_introducaoInformatica_algebra_boole.pdf

http://analisesistemas.files.wordpress.com/2008/11/georgeboole.jpg

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