Aplicações de EDO's de primeira ordem: Determinação de trajetórias ortogonais, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Aplicações de EDO's de primeira ordem: Determinação de trajetórias ortogonais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 1 EDO’s – 1a Ordem )t()t()t( 10 σ=σ=σPor equilíbrio É necessário prescrever a tensão ou a deformação em função do tempo )t( , )t( εσ η E 0E )t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 εη+ε=σε=σ &Das relações constitutivas )t()t()t( 10 ε+ε=εDa equação de compatibilidade     + η σ + σ =ε η +ε 00 E E 1 )t( E )t( )t( E )t( && σ=σ )t(No ensaio de fluência     + η σ =ε η +ε 0E E 1)t( E )t(& 0E )0( σ=ε+ Condição inicial         −σ+σ=ε η − tE 0 e1 EE )t( Aplicação 3: Modelo do sólido linear padrão n Aplicações das EDO’s de primeira ordem (continuação): 2 EDO’s – 1a Ordem ε=ε )t(No ensaio de relaxação ε=σ 0E)0( + Condição inicial     + η σ + σ =ε η 00 E E 1 )t( E )t(E & ou ε η =σ η + +σ EE )t( EE )t( 00&         + + ε =σ       η + − t EE 0 0 0 0 eEE EE E )t( Aplicação 3: Modelo do sólido linear padrão (continuação) 5 EDO’s – 1a Ordem Aplicação 4: Determinação de trajetórias ortogonais (continuação) Linhas equipotenciais y x y =′EDO Solução geral Variáveis separáveis 2xCy += campo de direções linhas de corrente linhas equipotenciais 6 EDO’s – 1a Ordem n Programas comerciais de matemática simbólica: Ø Derive (http://www.mathware.com) ØMathcad (http://www.mathcad.com) ØMathematica (http://www.wolfram.com) ØMatlab (http://www.mathworks.com) ØMaple (http://www.maplesoft.com) Resolução analítica e/ou numérica 7 EDO’s – 1a Ordem n Programas comerciais de matemática simbólica (continuação): Maple 10 EDO’s – 1a Ordem n Métodos numéricos: Motivação: É possível empregar os conhecimentos do Cálculo Diferencial para a determinação da solução particular aproximada do problema de valor inicial (PVI) dado por ))x(y,x(f)x(y =′ 0y)a(y = EDO Condição inicial Métodos a serem discutidos: Ø Método de Taylor Ø Método de Euler Ø Método do Ponto Médio Outros métodos: Ø Método de Euler Melhorado Ø Método de Euler Modificado Ø Método de Runge-Kutta 11 EDO’s – 1a Ordem n Métodos numéricos (continuação): Método de Taylor: Do Cálculo Diferencial, sabe-se que uma função y(x) pode ser representada, a partir de um ponto x=a, através da seguinte série polinomial: ( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−′′′ +− ′′ +−′+= 4 )4( 3 2 ax !4 )a(y ax !3 )a(y ax !2 )a(y ax)a(y)a(y)x(y ( )∑ ∞ = −= 0i i )i( ax !i )a(y )x(y ou A série em pauta é encontrada forçando-se que esta possui o mesmo valor da função y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a. Baseia-se na representação da solução particular da equação diferencial em série polinomial (série de Taylor). 12 EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Exemplo: Qual a série de Taylor da função y(x)=sen(x) em relação ao ponto x=0? L K −+−+−== −=′′′⇒−=′′′ =′′⇒−=′′ =′⇒=′ =⇒= !9 x !7 x !5 x !3 x x)x(sen)x(y 1)0(y)xcos()x(y 0)0(y)x(sen)x(y 1)0(y)xcos()x(y 0)0(y)x(sen)x(y 9753 Se a série for truncada até um número finito de termos, passaríamos a ter uma representação aproximada para a função y(x). 15 )x(y ′′ EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuação) ?)a(y =′′ ))x(y,x(f dx d =( )′′= )x(y y,x, fff +=dx )x(dy ff y,x, + = )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 0y,00x, +=′′∴ 16 )x(y ′′′ EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuação) ?)a(y =′′′ ( )y,x, fffdx d +=( )′′′= )x(y [ ]20y,0yy,00xy,0 0y,0x,0xx, )y,a(f)y,a(f)y,a(f)y,a(f2)y,a(f )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y ++ ++=′′∴ 2 y,yy, 2 y,x,xy,xx, ffffffff2f ++++ =( ) ( ) dx dy fff y fff x y,x,y,x, +∂ ∂ ++ ∂ ∂ = 17 EDO’s – 1a Ordem Método de Taylor (continuação): Exemplo: 1y(0) com )x(y)x(y =−=′ A solução analítica da EDO pode ser determinada considerando-a com variáveis separáveis, de onde se conclui que -xey(x) = De acordo com o Método de Taylor, as derivadas da solução em x=0 necessárias para a construção da respectiva série são dadas por etc ,1)0(y)0(y ,1)0(y ,1y(0) =′−=′′−=′= chegando-se a K+−+−= !3 x !2 x x1)x(y 32 Considere o PVI dado por 20 etc EDO’s – 1a Ordem n Métodos numéricos (continuação): Método de Euler (continuação): x y x0 x1 x2 y0 y1~ y2~ y(x): solução particular h h Supondo que y’’(x) seja contínua e |f,y(x,y)| = L dentro do domínio de interesse, tendo ainda |y’’(x)| = M, é possível mostrar que onde Dn representa o erro absoluto, ou seja, ( )[ ]1e L2 hMD Lxxn 0n −≤ − ( ) ( )nnn xy~xyD −= D2 D1 21 EDO’s – 1a Ordem Método de Euler (continuação): Exemplo: 1y(0) com )x(y)x(y =−=′Considere o PVI dado por 22 EDO’s – 1a Ordem n Métodos numéricos (continuação): Método do Ponto Médio: 2n nn1n 2n nn1n h !2 )x(y h)x(y)x(y~)x(y~ h !2 )x(y h)x(y)x(y~)x(y~ ′′ +′−= ′′ +′+= − + Trata-se de um método com grau de precisão mais alto que o Método de Euler. Para dedução da equação de recorrência, estimam-se os valores da solução particular em vizinhanças de x=xn através da série de Taylor truncada no termo quadrático (daí apresentar uma melhor precisão). Com isso, Substraindo-se as partes acima, tem-se h)x(y2)x(y~)x(y~ n1n1n ′=− −+ que leva a [ ]h y~,xf2)x(y~)x(y~ nn1n1n += −+ Exige um tratamento particular no 1o passo