Cálculo Diferencial e Integral 2 - Máximo e Mínimo

Cálculo Diferencial e Integral 2 - Máximo e Mínimo

Aplicações do estudo das derivadas

O valor 0()fx é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e

Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos.

Definição 6.2. Dada a função ()fx, um ponto 0x onde f é derivável em 0x e 0'()0fx= ou f não é derivável em 0x é chamado de ponto crítico da função f.

Exemplo 6.1. Seja a função 32()3fxxx=−, x∈\. Determinar os pontos críticos de f.

Resolução: Calculando '()fx, temos

ou,

Definição 6.3. Seja f uma função derivável em 0x. Se f tem um máximo ou mínimo relativo (ou local) em 0x, então 0()0fx=.

Definição: Dizemos que a função:fI→\, f é crescente no intervalo I quando dados

O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é crescente ou decrescente.

Teorema 6.1. Seja ()fx uma função derivável no intervalo (, )ab, então (a) Se '()0fx= em (, )ab, então )(xf é constante em (, )ab; (b) Se '()0fx> em (, )ab, então )(xf é crescente em (, )ab; (c) Se '()0fx< em (, )ab, então )(xf é decrescente em (, )ab.

x ()fx Conclusão

Figura 6.1 Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde 3()fxx=.

Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim, x ()fx′ Conclusão 1 0 ponto crítico de f

ƒ Teste da segunda derivada para extremos relativos

Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição.

Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 4324()43 fxxxx=+− pelo critério ou teste da segunda derivada.

Finalmente analisando para 2x=−, vem

Assim 2x=− é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é

ou seja,

Portanto, 0x= é um ponto de máximo relativo da funçãof , 1x= é um ponto de mínimo relativo da função f e 2x=− é um ponto de mínimo relativo da função f. Veja a figura abaixo

Figura 6.2

Vamos determinar agora os extremos relativos de f .

Portanto, 0x= é um ponto de máximo relativo da funçãof e 3x= é um ponto de mínimo relativo da funçãof.

Veja a figura abaixo:

Figura 6.3

ƒ Concavidade e pontos de inflexão

Diz-se que o gráfico da )(xf tem concavidade positiva (negativa) em 0x quando existe uma vizinhança Vdeste ponto, isto é, um intervalo aberto contido no intervalo I e que contém

0x, tal que para todo Vx∈o gráfico da função está acima (abaixo) da reta tangente ao ponto da curva com abcissa 0x.

Um critério para se determinar a concavidade de uma função é dado pelo seguinte teorema:

Teorema 6.2. Seja f uma função derivável até segunda ordem no intervalo I e suponha que

Definição 6.6. Um ponto do domínio de uma função f, no qual f é contínua, é chamado de ponto de inflexão quando neste ponto a função muda de concavidade.

Observação: O teorema acima dá uma condição necessária porém não suficiente para que 0x

x O

Figura 6.4

côncava para baixo quando ()0, ∞. Em 0x= o gráfico da f tem um ponto de inflexão.

1) Seja 32()55fxxxx=+−−. a) Determine os pontos críticos de f. b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.

a) os pontos críticos, b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, c) os valores máximos e mínimos de f.

1) a) 51 e 3 −.

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