Posições relativas entre retas e circulos, Notas de estudo de Geometria

Baixe Posições relativas entre retas e circulos e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity! Ćırculos MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 – Ćırculos Objetivos • Apresentar as posições relativas entre retas e ćırculos. • Apresentar as posições relativas entre dois ćırculos. • Determinar a medida de um ângulo inscrito. Introdução O ćırculo é considerado por muitos como a forma geométrica plana mais perfeita posśıvel. Relacionados aos ćırculos estão grandes problemas da Geometria, como o da quadratura do ćırculo e o da determinação do valor do número π. Daremos, agora, a definição formal de ćırculo. Definição 18 Cı́rculo é uma figura geométrica formada por todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano. O ponto fixado é chamado centro do ćırculo, e a distância de qualquer ponto do ćırculo ao centro é chamada raio do ćırculo. Também chamamos de raio a qualquer segmento que liga o centro a um ponto do ćırculo. Veja a figura 112. O c Fig. 112: Ćırculo de centro O e raio c 79 CEDERJ Ćırculos Qualquer segmento ligando dois pontos de um ćırculo é chamado de corda. Uma corda que passa pelo centro é chamada de diâmetro. A medida de um diâmetro é também chamada de diâmetro. Veja a figura 113. O A B C D Fig. 113: Cordas de um ćırculo. Um ćırculo divide o plano em duas regiões: interior do ćırculo e exterior do ćırculo. Um ponto está no interior (ou dentro) de um ćırculo de raio r se a distância desse ponto ao centro do ćırculo for menor do que r. Se essa distância for maior do que r, o ponto está no exterior (ou fora) do ćırculo. Arcos e medida de arcos O número π e a quadratura do ćırculo O π é um número com caracteŕısticas muito especiais. Uma delas é ser transcendente, ou seja, não é um número algébrico, pois não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. A possibilidade de construção com régua e compasso de um quadrado de área igual a de um ćırculo dado é chamado de problema da quadratura do ćırculo. A solução desse problema dependia inteiramente de o π ser ou não algébrico. O teorema de Lindemann provou então a transcendência do π e que o problema da quadratura do ćırculo é imposśıvel pelas regras da Geometria grega. Portanto, a transcendência do π implica que não existe uma construção com régua e compasso para construir um quadrado com área igual à de um ćırculo dado. Considere um ângulo ˆBAC e, com centro em A, trace um ćırculo de raio qualquer, como na figura 114. A B C B 1 C 1 Fig. 114: O ângulo BÂC divide o ćırculo em dois arcos. Esse ćırculo intersecta os lados de ˆBAC em pontos B1 e C1. O ângulo ˆBAC divide o ćırculo em dois arcos. Como denotar cada um desses arcos? Note que os dois têm como extremidade os mesmos pontos B1 e C1. Quando houver dúvida, consideraremos dois outros pontos, X e Y , um em cada arco, e usaremos a notação _ B1XC1 para designar o arco que contém X, e _ B1Y C1 para designar o arco que contém Y (veja a figura 115). CEDERJ 80 Ćırculos MÓDULO 1 - AULA 7 • Toda reta tangente a um ćırculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência. • Toda reta perpendicular a um raio em sua extremidade é tan- gente ao ćırculo. Trataremos, agora, das posições relativas entre ćırculos. Posições relativas entre ćırculos Dados dois ćırculos, temos as seguintes possibilidades: os dois ćırculos não se intersectam, os dois ćırculos se intersectam em um ponto ou os dois ćırculos se intersectam em dois pontos. Porém, cada um desses casos pode ser subdividido, como veremos a seguir. Cı́rculos que não se intersectam Para o caso em que os ćırculos não se intersectam, há duas possibilida- des: cada ćırculo está contido no exterior do outro (veja figura 119) ou um dos ćırculos está contido no interior do outro (veja figura 120). O O' Γ Γ 1 2 Fig. 119: Ćırculo exterior a outro ćırculo. O O' Γ Γ 1 2 Fig. 120: Ćırculo interior a outro ćırculo. Cı́rculos secantes Dizemos que dois ćırculos são secantes quando eles se intersectam em dois pontos (veja figura 121). 83 CEDERJ Ćırculos O O' Γ Γ 1 2 A B Fig. 121: Ćırculos secantes. Nesse caso, prova-se que a reta que liga os dois centros O e O′ é a mediatriz do segmento determinado pelos pontos de interseção dos ćırculos. Com efeito, traçando-se os segmentos OA, OB, O′A, O′B e AB, for- mamos os triângulos isósceles OAB e O′AB, ambos de base AB (veja figura 122). Mas sabemos do exerćıcio 15 da aula 6 que num triângulo isósceles a mediatriz da base passa pelo vértice oposto. Assim, a mediatriz de AB passa por O e por O′, ou seja, a reta ←−→ OO′ é mediatriz de AB. O O' Γ Γ 1 2 A B O O' Γ Γ 1 2 A B O O' Γ Γ 1 2 A B Fig. 122: A reta contendo O e O′ é mediatriz de AB. Cı́rculos tangentes Dizemos que dois ćırculos são tangentes quando eles se intersectam em um ponto. Para ćırculos tangentes temos dois casos a considerar: ćırculos tangen- tes exteriormente e ćırculos tangentes interiormente. No primeiro caso, os dois ćırculos intersectam-se em um ponto e todos os outros pontos de cada um deles está no exterior do outro (veja figura 123). O O' Γ Γ 1 2 Fig. 123: Ćırculos tangentes exteriormente. CEDERJ 84 Ćırculos MÓDULO 1 - AULA 7 Nesse caso, o ponto de encontro pertence ao segmento OO′ e a reta perpendicular à reta ←−→ OO′ no ponto de encontro é tangente aos dois ćırculos (veja o exerćıcio 7). O ponto de encontro é chamado de ponto de tangência. Veja a figura 124. O O' Γ Γ 1 2 r T Fig. 124: r é tangente aos dois ćırculos. No caso de ćırculos tangentes interiormente, os dois ćırculos intersectam- se em um ponto e todos os outros pontos de um deles está no interior do outro (veja a figura 125). O Γ Γ 1 2 O' Fig. 125: Ćırculos tangentes interiormente. Nesse caso, O, O′ e o ponto de encontro são colineares e a reta tangente a um dos ćırculos no ponto de encontro é também tangente ao outro (veja o exerćıcio 8). O ponto de encontro é chamado ponto de tangência (veja a figura 126). O Γ Γ 1 2 O' r T Fig. 126: r é tangente aos dois ćırculos. 85 CEDERJ Ćırculos O A B C Fig. 130: Caso 2. Sabemos que BÂO + AB̂O + AÔB = 180o. Assim, BÂO + AB̂O = 180o − AÔB = BÔC Como BÔC é um ângulo central, sua medida é a mesma do arco que ele subentende. Como o triângulo OAB é isósceles com base AB (pois AO e BO são raios), temos que BÂO = AB̂O, e, portanto, BÂC mede a metade do arco que ele subentende. Caso 3: Um dos lados de BÂC é tangente ao ćırculo e o ponto O está fora de BÂC. Suponha que −→ AB seja o lado tangente e trace a semi-reta −→ AO. Seja D o ponto em que essa semi-reta intersecta Γ e escolha um ponto X em Γ que esteja no interior de ˆDAC (figura 131). O A C D X B Fig. 131: Caso 3. Pelo caso 1, ˆBAD = 90o. Pelo caso 2, ˆCAD = m( _ CXD ) 2 . Dáı, como ˆBAC = ˆBAD − ˆCAD, temos ˆBAC = 90o − m( _ CD ) 2 = m( _ ACD)−m( _ CXD) 2 . Dáı conclúımos que a medida de BÂC é a metade da medida do arco que ele subentende. CEDERJ 88 Ćırculos MÓDULO 1 - AULA 7 Caso 4: Um dos lados de BÂC é tangente ao ćırculo e o ponto O pertence ao interior de BÂC. Suponha que −→ AB seja o lado tangente e trace a semi-reta −→ AO. Chame de D ao outro ponto onde −→ AO intersecta Γ (figura 132). O A C D X B Y Fig. 132: Caso 4. Segue dos casos 1 e 2 desta demonstração que BÂD = 90o e ˆDAC = m( _ DXC) 2 , onde X é um ponto de Γ no interior do ângulo DÂC. Logo, BÂC = BÂD +DÂC = 90o + m( _ DXC) 2 = m( _ AYD) 2 + m( _ DXC) 2 = m( _ ADC) 2 . Os dois próximos casos têm demonstração muito parecida com a deste caso: em ambos deve ser traçada a semi-reta −→ AO. Vamos deixar as de- monstrações como exerćıcio. Procure usar os casos anteriores para prová-los. Abaixo seguem os enunciados. Caso 5: Os dois lados de BÂC são secantes e o ponto O está no interior de BÂC (figura 129). Caso 6: Os dois lados de ˆBAC são secantes e o ponto O está no exterior de BÂC (figura 129). Caso 7: Os dois lados de BÂC são tangentes a Γ. Nesse caso, ˆBAC é um ângulo raso (180o) e o arco subentendido por BÂC é a circunferência inteira (3600). Veja a figura 129. 89 CEDERJ Ćırculos Resumo Nesta aula você aprendeu... • Quais as posições relativas entre retas e ćırculos. • Quais as posições relativas entre dois ćırculos. • Que uma reta é tangente a um ćırculo em um ponto se, e somente se, ela é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. • Qual a medida de um ângulo inscrito. Exerćıcios 1. Faça as provas dos casos 5 e 6 da proposição 15. 2. Na figura 156, o arco _ AXD mede 110o e o arco _ BY C mede 40o. De- termine a medida do ângulo Ê. X C B A D Y E Fig. 133: Exerćıcio 2. 3. Na figura 157, o arco _ BXD mede 90o e o arco _ AY C mede 40o. Deter- mine a medida do ângulo ˆBED. X B C A D Y E Fig. 134: Exerćıcio 3. CEDERJ 90