Apostila de Geometria Analitica (ITA)

Apostila de Geometria Analitica (ITA)

(Parte 2 de 11)

CAB x +=

e2

CAB y +=

R3) Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contêm AC), tal que BCAB2=.

Solução:

R4) Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados, A(0, 8), B(2, 2). Solução:

Seja M o ponto médio de AB. Temos:12 202

R5) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB.

Solução: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o e segmento MN.

O comprimento de MN é dado pela distância de M à N5)23()35()()(2,=−+−=−+−=NMNMNMyyxxd

P6-) Sejam os pontos A(1,3) e B(2,5). Determine as coordenadas de um ponto C tal que C divida o segmento AB nas seguintes proporções:

AB c-) 3 4=BC

AB
AB

P7-) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao segmento AB com A(1,3) e B(2,5),

P8*-) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(2, 2) e C(6, 8). Determine o valor da base média relativa ao lado AB.

I.4 - Condição de alinhamento de pontos

Esse assunto é mostrado nos livros convencionais de uma forma que lhe permite verificar a condição de alinhamento de três em três pontos. Esse dispositivo prático que será apresentado, o OCAP (Operador Condição de Alinhamento entre Pontos), é capaz de verificar se “n” pontos estão alinhados ao mesmo tempo. Veremos mais a frente que o resultado numérico que é gerado por esse operador tem um significado muito pontos do plano. ,1P,2P,3P,4Pestarão alinhados ⇔ OCAP = 0. Veja a figura abaixo: colocar os pontos, numa ordem à sua escolha, um embaixo do outro e fazer as multiplicações nos sentido das setas (primeiro para cima) e quando forem feitas as multiplicações no sentido para baixo, troca-se o sinal do número resultante. No final soma-se tudo e esse é o resultado do OCAP.

OCAP == 21324314(xyxyxyxy+++−12233441)xyxyxyxy−−−.
a) 1P( 0, 1), 2P(-1, 0), 3P(4, 5)

P8-) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: b) 1P( 0, 2), 2P( 1, 3), 3P(4, 4) c) 1P( 0, 0), 2P(-1, 5), 3P(4, -20) .

P9-) Dados os pontos A(0, 0) e B(5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

P10-) Dados os pontos A(0, 2) e B(2, 0). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

P11-) Dados os pontos A(-1, 2) e B(1, 1). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

P12-) Dados os pontos A(2, 4) e B(2, 8). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

P13-) Dados os pontos A(3, 2) e B(2, 4). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s.

*P14-) O ponto P(r,s) é tal que está alinhado com Q e R. Q é o baricentro do triângulo formado por C(0, 0), D(3, 3) e E(6, 9). B é um ponto sobre o segmento AC tal que 3=BC AB em que A(3, 12).

Determinar uma relação entre r e s.

Capítulo I. Estudo da reta.

Podemos definir uma reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, distintos, alinhados. O fato de estarem alinhados confere a existência de uma direção constante. Assim sendo pode-se afirmar que para existir uma reta é necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes.

I.1 - Equações da reta

A partir do enunciado acima podemos determinar a equação de uma reta se soubermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, já sabemos que por eles vai passar uma reta única, e é justo que cada ponto que esteja nessa reta a relação do seu “x” com seu “y” seja constante. Veja a figura:

A no segmento formado por A e B todos os pontos estão alinhados, assim, podemos fazer o OCAP com os pontos dados e um ponto genético (x, y) e esse OCAP tem que resultar zero. Achar a equação de uma reta é relacionar as coordenadas genéricas x e y de tal forma que aplicando nessa relação a ordenada tem-se como resultado a abcissa ou vice versa.

a b x y x y x y xy

= baabaabbaxy xy xy- xy- xy -xy++= 0

0.ax by c equaç ão geral da reta++ =

Vamos agora partir da equação encontrada acima e isolar o termo “y”, ou seja, vamos escrever o y como uma função de “x”:

ba a b b a

ba a b mn y x y x yx

Esse novo formato de equação é muito utilizado e tem um nome específico, o chamamos de equação reduzida da reta.

retadareduzidaequaçãonmxy +=

Da figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo α que aparece como ângulo interno do triângulo ABC é exatamente o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas cortadas por uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto oposto a α, BD, tem valor bayy− e o cateto adjacente AD tem valor baxx−. Podemos então achar o valor da tangente de α da seguinte maneira:

ααα àajacentecat àopostocat.

.tan= = baba y y x x −∆==−∆m. Veja que interesante, o valor do coeficiente que multiplica o “x” na equação reduzida é numéricamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente recebeu um nome conveniente, m é chamado de COEFICIENTE ANGULAR. Trata-se da parte da reta que dá a sua direção. O outro coeficiente da equação reduzida “n” é chamado de coeficiente linear e ele tem um significado; veja que se substituirmos “x = 0” na equação reduzida, resulta-se em “y = n”, ou seja, esse “n” é exatamente o ponto em que a reta corta o eixo Oy, é chamado de

COERICIENTE LINEAR. Assim sendo, conhecendo-se o coeficiente angular e um ponto 0(,)Pxy em que uma reta passa é possível encontrar sua equação da seguinte maneira:

(y - yo) = m (x - xo) ⇒ y = mx + (yo – mxo).

A partir da equação geral da reta ou da equação reduzida da reta, podemos chegar a outro tipo de equação chamado equação segmentaria da reta.

Vejamos: 0,0axbyccaxbyc++=≠⇒+=−. Dividindo toda a equação por (-c) tem-se:

1xy equação segmentária da retapq+= .

R6) Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos P(0, 6) e Q(6, 0). Solução:

Aplicando o “L” aos pontos P e Q, temos:

R7) Dados dos pontos, A(0, 2) e B(-3, -1), determinar a equação da reta que contém o segmento AB. Solução:

Como por dois pontos passa uma única reta, temos: y = ax + b. a = 1 y, logo sua equação é:

y = x + n. Como o ponto (0, 2) pertence à reta esse satisfaz a sua equação. 2 = 0 + n, n = 2. e a equação da reta é: y = x + 2.

a) 0982=−+xyb) 010183=−+xy

R8) Dadas as retas abaixo na forma geral. Passe para forma reduzida. Solução:

R9) Sejam os pontos A(0, 0), B(0, 4), C(4, 4) e D(4, 0) os vértices de um quadrilátero. Determine: a) A reta suporte que contem a diagonal AC b) A reta suporte que contem a diagonal BD c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto médio do lado CD. d) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto médio do lado BC e o ponto médio do lado CD.

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