Apostila de Geometria Analitica (ITA)

Apostila de Geometria Analitica (ITA)

(Parte 3 de 11)

Solução: a)Reta suporte de um segmento é a reta que contem esse segmento. Assim, basta fazer o L com os pontos A(0,0), C(4, 4) e um ponto genérico (x, y).

b) Fazemos o mesmo feito no item a só que agora com os pontos B(0, 4), D(4, 0) e um ponto genérico (x, y). Aplicamos o L e obtemos que a equação da reta é: .4+−=xy c) Vamos achar o ponto médio de CD. C(4, 4) e D(4, 0). 42 442

Assim, M(4, 2). Vamos fazer o L com os pontos A(0, 0), M(4, 2) e um ponto genérico (x, y). achamos a d) Determinando os ptos médios de BC e CD, M e N respectivamente. M 

4 = N(4, 2). Fazendo L com M, N e um ponto genérico (x, y) encontramos a equação:

a) A(0, 0) B(2, 4)b) A(-1, 1) B(5, 5)
c) A(0, 3) B(-2, 1)d) A(2, 7) B(-2, -13)
e) A(8, 3) B(-6, -4)f) A(0, 0) B(-3, 0)

P14-) Determine as equações das retas que passam pelos pontos indicados abaixo:

P15-) Dado o triângulo com vértices A(0, 0), B(2, 3), C(1, 0). Determine: a) As coordenadas do baricentro. b) Os pontos médios dos lados AB, BC e CA. c) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice A. d) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice B.

e) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice C. f) A equação da reta suporte da base média relativa à base BC. g) A equação da reta suporte da base média relativa à base AB.

310). Ache um ponto E, sobre AC, tal que ligando B e E, cortamos o triângulo ABC em dois triângulos BCE e BAE, com 2=BAEBCEA A.

I.2 - Intersecção entre retas

Lembra quando, lá na 7º série do primeiro grau, aprendemos a resolver sistemas de equações do primeiro grau? Ali era dado um sistema de duas equações do 1ª grau e duas incógnitas e tínhamos que descobrir os valores das incógnitas que satisfaziam ao mesmo tempo, as duas equações. Pois é, vimos no item I.1, que as retas tem equação da forma 0=++cbyax, que são equações do 1º grau. Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar a sua intersecção é determinar o x e o y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equações, ou seja, voltamos à 7º série e vamos agora resolver sistemas de primeiro grau, de duas equações e duas incógnitas.

cybxa cybxa, temos que resolver esse sistema e achar o ponto (x, y)

que satisfaz essas duas equações ao mesmo tempo.

Obs.: Em alguns casos será necessário fazer intersecção com o eixo Ox ou com Oy. Nesses casos agimos da seguinte forma:

Intersecção com o eixo Oy: Qualquer ponto do eixo Oy tem abscissa 0, logo basta substituir o x da equação conhecida por 0 e ver o valor de y correspondente.

Ex: fazer a intersecção entre a reta 53+=xy com o eixo Oy: 5)0.(3=+=y. Logo essa reta corta o eixo Oy no ponto (0, 5).

Intersecção com o eixo Ox: Qualquer ponto do eixo Ox tem ordenada 0, logo basta substituir o y da equação conhecida por 0 e ver o valor de x correspondente.

Ex: fazer a intersecção entre a reta 53+=xy com o eixo Ox: 3 5530−=⇒+=x. Logo essa reta corta o eixo

Algumas considerações importantes

Nesse momento vale à pena discutirmos uma questão proposta pelo vestibular da Academia da Força

Aérea de 2001/2002. Acabamos de estudar a maneira de se proceder para determinar a intersecção de duas retas e como foi dito, trata-se da resolução de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. O vestibular da AFA propôs uma análise menos braçal e mais filosófica do assunto quando expandiu para a análise de um sistema de três equações e três incógnitas. Foi dito no enunciado que uma equação do tipo 0axbyczd+++=, equivale a uma equação de um plano, assim sendo, quando resolvemos um sistema desses, na verdade estamos analisando o resultado da intersecção de três planos. Veja a questão proposta:

(AFA-2001)O conjunto de soluções de uma única equação linear bzayaxa321=++ é representado por um plano no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a1, a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras a seguir.

(I) Três planos se cortando numa reta

(I) Três planos se cortando num ponto

(I) Três planos sem interseção

Assinale a opção verdadeira.

a) A figura I representa um sistema de três equações com uma única solução.

b) A figura I representa um sistema de três equações cujo conjunto solução é vazio.

c) A figura I representa um sistema de três equações com uma infinidade de soluções. d) As figuras I e I representam um sistema de três equações com soluções iguais.

Como pode ser vista, a figura (I) mostra três planos se interseccionando numa reta, ou seja, trata-se de um sistema que gera como solução muitas ternas (x, y, z) o que dá um caráter de infinitas soluções para o sistema, logo estamos diante de um sistema possível e indeterminado. Com relação à figura (I) têm-se três planos que se interseccionam num único ponto (x, y, z), o que confere um status de sistema possível e determinado. Já a figura (I) mostra uma intersecção dos planos gerando dois conjuntos disjuntos, ou seja, surgiram duas retas, paralelas que, por conseguinte não vão se cruzar, logo não se tem uma solução para esse sistema sendo ele um sistema impossível. Com essa análise podemos configurar como correta a opção “b” pois diz que (I) se trata de um sistema com três equações que tem conjunto solução representado pelo conjunto vazio.

R9) Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas: =−+−

yx

Solução:

b) y – 4x + 5 = 0 e o eixo Ox;
d) y – 5x + 2 = 0 e o eixo Oy;

P16-) Ache as intersecções entre os pares de retas abaixo: a) y = 3x – 4 e y – x + 6 = 0; c) y + 8x – 4 = 0 e y + x + 7 = 0; e) y – x + 2 = 0 e 3x – y + 1 = 0; f) x – 2y + 6 = 0 e 2x + 2y – 3 = 0; g) 5x – 3y + 2 = 0 e x + 3y – 2 = 0;

P17-) Ache as intersecções entre as retas abaixo e os eixos Ox e Oy: a) 2x + 3y – 2 = 0 b) 3x – 6y + 7 = 0 c) 2x – y = 0 d) 3x – 6y – 12 = 0 concorrem no mesmo ponto.

I.3 - Ângulo entre retas

Nessa seção vamos estabelecer uma relação que expressa exatamente uma informação sobre o menor ângulo formado por duas retas concorrentes. Como vimos antes, a parte da equação de uma reta que está vinculada

com a sua direção é o coeficiente angular, assim sendo, nada mais justo que esse resultado que estamos querendo saia em função desses coeficientes, que são de antemão conhecidos. São dadas duas equações de reta :rrrymxn=+r e :sssymxn=+r.

smtgeθ= rmtgβ=.

1. 1 . tg tg tg tgtg tg tg tg tg tg πθ β θ βπθ β θ βπ θβ θ β queremos o menor ângulo entre essas retas, temos que garantir que o resultado encontrado é positivo, assim, aplicamos o módulo sobre a expressão encontrada.

rs m

Para o caso particular em que se têm retas perpendiculares, 90ºα= e (90)tg→∞. Logo, a única maneira de se ter uma fração (com numerador finito) tendendo para o infinito é fazendo o denominador tender a zero.

Condição para que sr⊥:

I.4 - Condições de paralelismo entre retas

Sejam 21rer retas contidas no plano. 1:rymxn=+ e 2:rymxn=+. As condições expressas abaixo, são expressamente para equações na forma reduzida.

• paralelastasmmRe21⇒=; Veja que é necessário e suficiente que o componente responsável pela direção da reta seja igual para ambas as retas.

• 1212Remmenntascoincidentes==⇒; Aqui além de se ter a mesma direção elas devem passar pelo mesmo ponto, assim, tanto os “m’s” quando os “n’s” são iguais.

• esconcorrenttasmmRe21⇒≠; Basta que as direções sejam diferentes que em algum lugar essas retas vão se cruzar.

rs m

Sejam 21rer retas contidas no plano. 0:1=++cybxar e 0:2=++cybxar. Essas retas estão na sua forma geral, assim, veja como ficam as condições de paralelismo:

• paralelastasbab a

• escoincidenttas bcb c e bab

Para entender essas condições basta colocar 21rer no formato reduzido e aplicar as condições que vimos para o formato reduzido.

⇒Para que se tenha um feixe de retas concorrentes, basta que todos os coeficientes angulares sejam distintos, dois a dois, e que exista um único ponto que satisfaça as equações de todas as retas ao mesmo tempo.

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