Apostila de Geometria Analitica (ITA)

Apostila de Geometria Analitica (ITA)

(Parte 7 de 11)

• Para identificar se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo Ox ou Oy, basta olhar para a equação. Se o a2 (o maior de todos os elementos) estiver embaixo do termo x, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Ox. Se o a2 estiver embaixo do termo y, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Oy.

R13-) Dada a equação da elipse 19 )5(25 menor, as coordenadas dos focos, dos vértices, do centro e o valor da excentricidade. Solução:

Da equação temos que o semi-eixo maior( que é igual a a) vale 525==a o semi eixo menor vale:

39==b. Da relação fundamental tiramos que 416925222=⇒=−=−=cbac. Como o 25 que é o maior parâmetro

Coordenadas dos vértices: )5,3()50,25(−−=−+−=Ve )5,7()50,25(−=−+=V

Para calcular a excentricidade basta fazer: 8,05 4 === a ce

R14-) Encontrar a equação de uma elipse que está centrada na origem, com eixo focal coincidente com o eixo Ox , de excentricidade 0,5 e que passa pelo ponto (10,0).

Solução:

Foi dado que a excentricidade vale 0,5 então temos caa c 2 está sobre Ox, logo a sua equação é da forma: ⇒=+1 2 bya xsubstituindo ca2= e 3cb= na equação temos:

xcomo o ponto (10, 0) está na elipse, ele satisfaz a sua equação, então, aplicando esse ponto na equação achamos o valor de c. 541001304 c . Assim, a equação da

R15) Seja a elipse de equação 491898422=+++xy. Identificar as coordenadas dos focos, dos vértices do centro, o valor da sua excentricidade e determine também os valores de t para que a reta de equaçãotxy=seja tangente à essa elipse.

Solução:

Primeiramente, vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida: 1 xc analisar: Da equação, o centro C = (-1, -1). a = 3, b = 2 e da relação fundamental c =5. Como a está sob o termo do y, o eixo focal da elipse está paralelo ao eixo Oy. Logo, os focos são: F1(-1, -1-5) e F2(-1, -1 +5).

ce. Vamos agora achar os valores positivo e não pode ser zero. Assim, concluímos que não existe valor de t tal que uma reta da forma txy=, seja tangente à essa elipse.

P48-) Dada a equação da elipse a)As coordenadas do centro, dos focos e dos vértices. b) Dada a reta y = mx, determine os valores de m para que essa reta seja tangente à elipse.

c) Faça a intersecção dessa elipse com os eixos coordenados. Determine a área desse polígono formado.

P49-) Seja a elipse de equação 1 169144

Determine: a)As coordenadas dos vértices, dos focos e do centro. b)A excentricidade. c)A equação da circunferência que circunscreve essa elipse. d)A equação da circunferência que está inscrita nessa elipse.

P50-) Determine todos os valores de m tais que a reta y = mx seja tangente à elipse de equação

P51-) Dada a expressão que determina a área de uma elipse: abAπ= Determine a equação da elipse de área 20π, que possui excentricidade 0,6 e centro C(0,0). P52-) Determine o comprimento de uma elipse de excentricidade zero e valor de a igual a 10.

P53-) Dada a equação de uma circunferência. 0106822=+−−+yxyx. Determine a equação de uma elipse centrada no centro da circunferência e que possui a mesma área dessa circunferência. Atente que foi pedida uma equação, pois esse problema tem infinitas respostas.

P54-) Determine as coordenadas dos focos, dos vértices e do centro de cada elipse abaixo.

P55-) Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos do plano que são determinados pelos sistemas abaixo.

sentx

πb) 

tsenx

txd) 

tseny tsenx

P56-) A reta x-y-5=0 é tangente a uma elipse de focos F(3,0) e F’(-3,0). Determine uma equação desta elipse.

3º Desafio

São dadas as equações de duas elipses fixas.12 : 2 se que a expressão do coeficiente angular da reta tangente à uma elipse de equação xc para qualquer ponto dessa curva é dada por 2 )(

)( ayy bxx o valor de xc da equação de E2, para que ambas as elipses dadas sejam ortogonais. Dado: uma elipse é ortogonal a outra elipse se e somente se as retas tangentes à essas elipses

(no ponto de intersecção entre elas) forem perpendiculares.

Capítulo VII. Questões de Vestibular

01.(FUVEST - 2000) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: (A) –2 (B) 0

02.(FUVEST - 2000) Um circunferência passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é:

03.(FUVEST - 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (- a, 0). B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1

04.(FUVEST - 2000) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = log10x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos é:

(A) log102 (B) log103 (C) log104 (D) log105 (E) e)log106

05.(FUVEST - 2000) Das regiões hachuradas na seqüência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo o conjunto de desigualdades

(E) nda

06.(FUVEST - 1999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou um mapa com as seguintes indicações: o tesouro está enterrado num ponto da linha reta entre os dois rochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 20 m do rio (cujo leito é reto).

a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x do ponto (x,0) onde o tesouro está enterrado.

07.(FUVEST - 1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1,2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) Determine a equação de s. b) Calcule a área do triângulo ABC.

08.(FUVEST – 2003) A) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? B) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C.

B)3

09.(FUVEST – 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interseptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intersepta o eixo dos y no ponto (0, 3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: A) 2 C) 4 D) 5 E) 6

B)-2

onde 0 0c≠, admite uma solução (x , y) com x = 1. Então, o valor de c é: A) -3 C) -1 D) 1 E) 2

1.(FUVEST – 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:

D)

12.(UERJ - 1997) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que satisfazem o sistema de inequações abaixo:

0yx 4yx xy 1xy

Calcule: A- o ângulo formado entre as retas r e s.

B- a área total das regiões hachuradas.

B)isósceles, mas não equilátero.

13.(UNESP – 2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é A) equilátero. C) escaleno. D) retângulo. E) obtusângulo.

(Parte 7 de 11)

Comentários