Baixe Primeira Lei da Termodinámica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 5. Primeira Lei da Termodinâmica 5.1 A Primeira Lei para Mudança de Estado de um Sistema A Primeira Lei da Termodinâmica é uma lei, derivada da evidência experimental, que expressa a conservação da energia. Trabalho e calor somente aparecem como fenômenos de fronteira, como fluxo, de forma que é impróprio dizer-se que um sistema “possui” trabalho ou calor. Um sistema, porém, pode possuir energia numa multiplicidade de formas: energia cinética e potencial em relação a um sistema de coordenadas; energia associada com o movimento e posição das moléculas; energia associada com a estrutura do átomo; energia química, energia elétrica potencial, etc. No estudo da Termodinâmica é conveniente considerar-se separadamente as energias cinética e potencial e admitir que as outras formas de energia do sistema sejam representadas por uma única propriedade, denominada energia interna. Assim: E = U+Ec+Ep, (5.1) sendo: E, a soma das energias que o sistema possui, U, a energia interna, Ec, a energia cinética e Ep, a energia potencial. Como a evidência experimental nos diz que a energia se conserva, ou seja, VARIAÇÃO DA ENERGIA DE UM SISTEMA = FLUXO LÍQUIDO DE ENERGIA (O QUE SAI MENOS O QUE ENTRA), podemos escrever: ( ) ( ) WQzzmg 2 VelVelm∆U∆E 12 2 1 2 2 −=−+ − += . (5.2.a) O sinal negativo em frente ao símbolo que designa trabalho W, deve-se à convenção de sinais, já vista. Usualmente, a equação (5.2.a) aparece como: ∆EWQ += , (5.2.b) ou, se dividirmos todos os termos pela massa do sistema, como: e∆wq += . (5.3) Na forma diferencial a Primeira Lei da Termodinâmica é representada pelas equações: dEδWδQ += (5.4) e deδwδq += . (5.5) A variação da energia de um sistema depende somente dos estados inicial e final, sendo, portanto uma função de ponto. A diferencial é uma diferencial exata: dE = dU +dEc + dEp. (5.6) Em certas situações pode ser conveniente escrever a equação da Primeira Lei da Termodinâmica para sistemas em termos de quantidades dependentes do tempo. Assim, W dt dEQ && += . (5.7) A equação (5.7) estabelece que a taxa de variação da energia que um sistema possui, com o tempo, é igual à diferença entre os fluxos de energia para dentro e para fora do sistema, sob forma de calor e trabalho. Exercícios: 1) O estado de um gás que se encontra sob o êmbolo em um cilindro está determinado pelo ponto 1 na figura abaixo. O gás passa ao estado 2 uma vez pelo processo quase-estático 1a2 e outra vez pelo processo quase-estático 1b2. Determinar se diferirão nesses processos as quantidades de calor trocadas e, se diferirem, em quanto. As pressões nos pontos 1 e 2 são, respectivamente, iguais a 0,1 e 0,5 MPa. A variação do volume é V2 - V1 = 0,5 m3. R.: Q1a2 – Q1b2 = 200 kJ. Exercícios para Casa (Primeira Lei da Termodinâmica) 27 Obtemos: 12 2 1 HHQ −= . (5.12) A equação (5.12) nos diz que o calor total trocado por um sistema simples compressível, sofrendo um processo isobárico quase-estático, sem variações nas energias cinética e potencial, é igual à variação da sua entalpia total. Considerando o resultado expresso na equação (5.12), podemos considerar a entalpia como sendo nada mais que uma combinação conveniente de propriedades termodinâmicas. Dividindo-se a equação (5.11) pela massa do sistema, obtém-se a entalpia específica do sistema: pvuh += . (5.13) A energia interna e a entalpia específicas de uma mistura saturada podem ser calculadas da mesma maneira que o volume específico, ou seja: ( x1uxuu Lv −+= ) ) (5.14) e ( x1hxhh Lv −+= . (5.15) Nas tabelas termodinâmicas que não dispõem de valores para energia interna, a mesma pode ser obtida a partir da entalpia: u = h - pv. Exercícios 1) Determine a entalpia da água nos seguintes estados termodinâmicos: a) p = 0,60 MPa, x = 0,9 R.: 2548,174 kJ/kg b) p = 0,60 MPa, T = 160°C R.: 2759,4 kJ/kg 2) Determine, para a água, a temperatura, se a substância for um vapor superaquecido, ou o título se for uma mistura saturada: p = 0,50 MPa, h = 3000 kJ/kg. R.: 268,98 ºC 3) Determine o valor da energia interna específica do R-12 a T = 0°C e x = 0,5. R.: 103,134 kJ/kg 4) Considere um ciclo, constituído por quatro processos quase-estáticos, percorrido por 1 kg de vapor d’água. Os estados termodinâmicos são caracterizados pelas seguintes propriedades: T1 = 150ºC, p1 = 100 kPa; v2 = v1, p2 = 200 kPa; p3 = p2, T3 = 700ºC; v4 = v3, p4 = p1. Determine o calor total trocado, o trabalho total realizado e a variação da energia interna no ciclo. R.: 30,8 kJ 30 5.4 Calores Específicos a Volume e Pressão Constantes De modo semelhante à entalpia, duas outras propriedades termodinâmicas, também resultantes da combinação de propriedades, podem ser definidas. São elas o calor específico à pressão constante (cP) e o calor específico a volume constante (cV). O calor específico a volume constante é definido como: v v T uc       ∂ ∂ = . (5.16) Lê-se: calor específico a volume constante é igual à taxa de variação da energia interna específica com relação à temperatura, a volume constante. De modo semelhante define-se o calor específico à pressão constante: p p T hc       ∂ ∂ = . (5.17) Lê-se: calor específico à pressão constante é igual à taxa de variação da entalpia específica com relação à temperatura, à pressão constante. Para quaisquer substâncias sofrendo processos quaisquer, pode-se definir os calores específicos a pressão e a volume constante. Na maior parte das situações, não existe um significado físico diretamente associado às definições. Nesses casos considere apenas o calor específico como sendo a taxa de variação de uma variável dependente (h ou u) com relação a uma variável independente (T), quando uma terceira variável (p ou v) permanece constante. Entretanto, em dois casos bastante específicos, cP e cV possuem um significado físico bem claro, consistente com a definição de calor específico dado em cursos elementares de Física. Em tais cursos define-se calor específico como uma propriedade que relaciona o calor adicionado a (ou retirado de) uma unidade de massa de uma dada substância, com a variação da temperatura da mesma. Duas substâncias diferentes, de massas e temperaturas iniciais idênticas, recebendo a mesma quantidade de calor, terão variações em sua temperatura diferentes. Isso se deve a terem calores específicos diferentes. Tm.c.~Q ∆ ou Tc.~ m Qq ∆= ou 31 ∆T q~c . Seja a equação da 1ª Lei da Termodinâmica para um sistema compressível simples, sofrendo um processo quase-estático, sem variações das energias cinética e potencial: pdVdUδQ += . (5.18) Se o processo ocorrer a volume constante, o termo pdV será nulo. Portanto: dT du dT pdVdU m 1 dT δQ m 1c V v ≅      +≅     = . Se o processo ocorrer à pressão constante: dT dh dT dH m 1 dT δQ m 1c p p ≅     ≅     = . Vê-se claramente nos dois casos acima que a definição expressa nas equações (5.16) e (5.17), coincide com o significado físico acima referido. Apenas, por generalidade, deve-se substituir as derivadas totais pelas parciais, uma vez que as propriedades entalpia e energia interna podem não ser funções exclusivas da temperatura. 5.5 Calores Específicos para as Fases Sólida e Líquida Nas fases líquida e sólida, as substâncias são praticamente incompressíveis, ou seja, grandes incrementos na pressão resultam em variações desprezíveis no volume. Escrevendo a equação (5.13) na sua forma diferencial, d(pv)dudh += , (5.19.a) ou vdppdvdudh ++= (5.19.b) e considerando que, para substâncias incompressíveis, o termo pdV é nulo, resulta a seguinte equação: 32 dTcdh 0p = . (5.29) Como a energia interna e a entalpia de um gás perfeito dependem somente da temperatura, resulta: ( )Tcc 00 vv = (5.30) e ( )Tcc 00 pp = . (5.31) Os calores específicos a volume e pressão constante dos gases perfeitos têm padrões de variação com a temperatura que dependem do número de átomos que constituem as suas moléculas. Qualitativamente, tal comportamento pode ser assim resumido: • Gases monoatômicos (Ar, Ne, Xe, He, etc.): calores específicos praticamente não variam com a temperatura; • Gases diatômicos (H2, N2, O2, etc.): calores específicos aumentam com o aumento da temperatura; • Gases poliatômicos (CO2, H20 (vapor superaquecido), etc.): calores específicos aumentam muito com o aumento da temperatura. Uma relação importante entre os calores específicos à pressão e volume constante e a constante do gás perfeito pode ser deduzida, seguindo os passos abaixo: RdTdTcdTcRdTdudhRTuh 00 vp +=⇒+=⇒+= . Então: Rcc 00 vp += . (5.32) Existem três maneiras de se determinar a variação da entalpia de um gás perfeito, utilizando-se . (O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o cálculo da variação da energia interna utilizando-se ). Tais métodos são resumidos abaixo: 0p c 0v c 1) Considerar c constante: é uma aproximação razoável se o calor específico não variar significativamente com a temperatura, na faixa de temperaturas em consideração. Na tabela A5 de Van Wilen et al. são apresentados valores dos calores específicos de vários gases na temperatura de 25 ºC. 0p 35 ( 12p12 2 1 p 2 1 TTchhdTcdh 00 −=−⇒= ∫∫ ) ) ) . (5.33) De forma similar, para a variação da energia interna: ( 12v12 2 1 v 2 1 TTcuudTcdu 00 −=−⇒= ∫∫ . (5.34) 2) Usar equações empíricas para os calores específicos em função da temperatura. Na tabela A.6, calores específicos de vários gases são apresentados como polinômios em função da temperatura, cujas constantes são determinadas empiricamente. O uso de tais equações, na faixa de temperaturas recomendada produz resultados com muito boa precisão. ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++==−⇒= 2 1 cb2 1 p12 2 1 p 2 1 dT...C.TB.TAdTTchhdTTcdh 00 . (5.35) Para a variação da energia interna pode-se utilizar a equação (5.32), juntamente com a tabela A6: ( ) ( )( dTRTcuudTTcdu 2 1 p12 2 1 v 2 1 00 ∫∫∫ −=−⇒= . (5.36) 3) Usar os valores tabelados (tabelas A.8) para a função: dTch T T pT 0 0∫= , (5.37) sendo T0 uma temperatura de referência. Os valores hT são obtidos usando métodos da Termodinâmica Estatística, propiciando resultados com uma precisão excelente. A variação da entalpia é obtida do modo abaixo: 1 1 0 20 2 0 0 T T T Tp T T p12 hhdTcdTchh −=−=− ∫∫ . (5.38) Exercícios: 1) Calcular a variação da entalpia específica do N2, entre as temperaturas de 300 e 1800K, usando os seguintes métodos: a) Calor específico constante, valor dado pela tabela A.5; R.: 1562,4 kJ/kg b) Calor específico variável, integrando a equação da tabela A.6; R.: 1746,2 kJ/kg c) Calor específico variável, obtido das tabelas de gases perfeitos, tabelas A.8. R.: 1746,5 kJ/kg 36 2) Repetir o exercício anterior para a faixa entre 300 K e 400 K. Verificar se a diferença percentual entre os valores obtidos pelos três métodos de cálculo se mantém. 3) Num sistema constituído de 0,5 kg de ar realiza-se uma expansão isobárica quase-estática, que se processa até que o volume final seja o dobro do inicial. No início da transformação o ar está a 27 °C e 0,1 MPa Determinar: a) a temperatura e o volume do ar no final da transformação; R.: 600 K, 0,86142 m3 b) o trabalho realizado durante a transformação; R.: 43,07 kJ c) a quantidade de calor trocada pelo sistema; R.: 150,48 kJ d) a variação da energia interna do sistema. R.: 107,41 kJ Considere que a constante do gás do ar seja R = 287,14 J/(kg-K) e o calor específico à pressão constante do ar passa ser considerada igual a 1,0032 kJ/(kg-K). 4) Determinada massa de ar seco, ocupando um volume de 340 litros a uma pressão de 100 kPa, é comprimida isotermicamente num processo quase-estático, até atingir a pressão de 600 kPa. Determinar: a) a variação da energia interna do gás; R.: 0 kJ b) o trabalho de compressão; R.: -60,92 kJ c) o calor trocado durante o processo. R.: -60,92 kJ Admitir que o modelo do gás perfeito é adequado para transformação. Exercícios para casa (Calores Específicos, Energia Interna e Entalpia) 1) Uma hélice acionada por um motor de 1 HP é colocada em um tanque de água, como mostra a figura. O tanque contém 20 kg de água a 20°C na pressão de 0,1 MPa e a hélice atua durante 1h. Considerando que o volume seja perfeitamente isolado e que não se verifique mudança de fase no sistema, determinar a variação da energia interna da água e sua temperatura final. Admitir que o calor específico da água é igual a 4,18 kJ/(kg-K). R.: U2 – U1 =2684,5 kJ; T2 ≅ 52ºC 2) Um quilograma de dióxido de carbono é aquecido de 300 a 2200 K. Calcular a variação da entalpia pelos seguintes métodos: a) Calor específico constante, valor dado pela tabela A.5. c) Calor específico variável, integrando a equação da tabela A.6. d) Calor específico variável, obtido das tabelas de gases perfeitos, tabela A.8. 37 O N2 está inicialmente a 150 ºC e 507 kPa e pode ser considerado um gás perfeito com calores específicos a volume e a pressão constantes, respectivamente iguais a 741,1 J/(kg-K) e 1038,3 J/(kg-K). A massa molecular do gás nitrogênio pode ser considerada igual a 28 kg/kmol. Pede-se esboçar o diagrama pressão vs. volume (específico) e calcular o trabalho e o calor no ciclo. R.: 28,5 J 5.8 Transformações Termodinâmicas Politrópicas para Gases Perfeitos Uma transformação termodinâmica politrópica caracteriza-se por obedecer à seguinte equação: pVn = constante, (4.2) sendo n uma constante que, teoricamente, pode assumir qualquer valor entre - ∞ e + ∞. Conforme o valor que o expoente n assumir, a transformação politrópica coincidirá com algum dos seguintes casos particulares: 1) Processo isovolumétrico: V = constante [ ] [ ] 2n 1 n 1 1 n 1 n 1 n CVpCpVCpV =⇒=⇒= Se ±∞→n ⇒ V = constante; 2) Processo isobárico: pVn = constante. Se n = 0 ⇒ p = constante; 3) Processo isotérmico: mRTpV = = constante. Para n = 1, T= constante; 4) Processo adiabático: constante.pVk = Se n = k ⇒ Q=0, sendo k definido pela equação (5.40). À semelhança das relações obtidas para as transformações adiabáticas, pode-se demonstrar que, para transformações politrópicas quaisquer, envolvendo gases perfeitos: n 1n 1 2 n1 1 2 1 2 p p v v T T − −       =      = . (5.46) 40 5.9 A Primeira Lei da Termodinâmica para um Volume de Controle 5.9.1 A conservação da massa e o volume de controle Para um volume de controle qualquer, a lei da conservação da massa é expressa pela equação abaixo: ∑∑ =−+ 0mmdt dm es vc && , (5.47) sendo: : dt dm vc a taxa de variação instantânea da massa no interior do volume de controle, com o tempo; em& a taxa de ingresso de massa instantânea no volume de controle ou vazão mássica de entrada; sm& a taxa de massa que abandona o volume de controle, ou vazão mássica de saída. A equação (5.47) estabelece um balanço de massa para o volume de controle, ou seja, a diferença entre a quantidade de massa que ingressa e a quantidade de massa que abandona o volume de controle é igual, por unidade de tempo, à variação da massa no seu interior. O símbolo Σ designa um somatório, uma vez que podem haver múltiplas entradas e saídas de massa no volume de controle. Se os somatórios das vazões mássicas de entrada e de saída forem exatamente iguais, não serão verificadas variações da quantidade de massa no interior do volume de controle, ao longo do tempo. Tal situação, comum em problemas de engenharia, é expressa pelas equações abaixo, características do chamado regime permanente. 0 dt dm vc = (5.48.a) ∑∑ =− 0mm es && (5.48.b) A vazão mássica pode ser expressa por: ρ.A.Velm =& (5.49) 41 Demonstração: Figura 5.1. Volume de controle de seção transversal constante. A quantidade de massa que cruza a superfície A no intervalo ∆t é: ∆xρ.Aρ.∆V∆m == , sendo ρ a densidade do fluido e ∆V o volume ocupado pela referida massa. Dividindo-se a quantidade acima por ∆t e fazendo-se ∆t tender a zero, obtém-se3: .Vel.Aρ ∆t ∆xlimAρ. ∆t ∆mlim 0∆t0∆t =     =      →→ 5.9.2. A Primeira Lei da Termodinâmica e o volume de controle A equação (5.7) estabelece que a taxa de variação da energia que um sistema possui, com o tempo, é igual à diferença entre os fluxos de energia para dentro e para fora do sistema, sob forma de calor e trabalho: W dt dEQ && += . (5.7) Para volumes de controle, além das quantidades acima, um balanço de energia deve levar em conta a taxa de energia que entra e que sai do volume de controle com o tempo, associada à entrada e saída de massa no volume de controle. Na figura abaixo é representado um volume de controle, no qual estão indicadas as trocas de energia através da superfície de controle não associadas com fluxos de massa: Q (taxa de transferência de calor), (potência associada à rotação de um eixo) e (potência associada à deformação, ou mudança de volume, da superfície de controle). Com a massa, ingressa no volume de controle (ou o abandona), energia cinética, potencial e interna. Além destas três formas já conhecidas de energia, há ainda o chamado trabalho de fluxo ou de escoamento, como se verá em seguida. & RW& VW& 3 Supõe-se na equação, implicitamente, que a densidade e a área transversal não variam com o tempo. 42 Com as considerações acima, a equação da Primeira Lei para volumes de controle, representada pela equação (5.50), torna-se, então: W dt dE hg.zvel 2 1mhg.zvel 2 1mQ vc s ss 2 ss e ee 2 ee &&&& ++      ++=      +++ ∑∑ . (5.53) Na equação (5.53), o símbolo Σ representa um somatório, posto que pode haver múltiplas entradas e saídas de massa no volume de controle. 5.10 O Processo em Regime Permanente Os fluxos de energia em alguns equipamentos como turbinas, compressores, bocais, caldeiras, condensadores, etc., podem ser analisadas segundo a equação da Primeira Lei para volumes de controle, deduzida anteriormente. Na operação de tais equipamentos, existem períodos de tempo, definidos como transientes, nos quais, em cada uma das regiões nas quais o equipamento pode estar dividido, a massa presente e a energia associada à mesma podem variar com o tempo. Como conseqüência disto, as propriedades termodinâmicas variam com o tempo em um mesmo local. Os regimes transientes (ou transitórios) típicos são os de entrada em operação e de parada dos equipamentos. Para regimes transientes: 0 dt dm vc ≠ e/ou 0 dt dE vc ≠ . Entre estes períodos transientes (entrada em operação e parada), os equipamentos entram no que se convencionou chamar de regime permanente. O regime permanente é, por definição, o regime no qual nem a massa e nem a energia variam com o passar do tempo, numa dada região do interior do volume de controle (podendo variar, no entanto, de região para região): 0 dt dm vc = e 0 dt dE vc = . 45 Como resultado da invariância da energia e da massa com o tempo, o estado termodinâmico da substância (e as propriedades termodinâmicas que o caracterizam), em cada região do volume de controle, não varia com o tempo. Para que a energia não varie com o tempo no volume de controle, duas condições devem ser satisfeitas: 1) O volume de controle não se move em relação ao sistema de coordenadas: não há trabalho associado com a aceleração do mesmo. 2) Os fluxos de massa (e os estados termodinâmicos das mesmas) são constantes, bem como as taxas de calor e de trabalho. No regime permanente, a equação da continuidade torna-se: ∑∑ = es mm && (5.48.b) e a equação da Primeira Lei é simplificada: Whg.zvel 2 1mhg.zvel 2 1mQ s ss 2 ss e ee 2 ee &&&& +      ++=      +++ ∑∑ . (5.54) Para casos em que há uma única entrada e uma única saída de massa no volume de controle: mmm se &&& == , ficando a equação (5.54) reduzida a: ( ) ( ) Whhzzgvelvel 2 1mQ eses 2 e 2 s &&& +    −+−+−= . (5.55) Exercícios: 1) Um compressor recebe ar a 100 kPa e 20°C e descarrega-o em uma linha que tem 1 cm de diâmetro. A velocidade e a pressão do ar na seção de descarga são, respectivamente, 7 m/s e 350 kPa. Considerando que a compressão ocorre adiabaticamente, determinar a potência a ser fornecida ao compressor. Considere que a velocidade de tomada do ar seja semelhante a zero e que seja desprezível a variação da energia potencial. Considere cp0 = 1004 J/[kg-K] e R = 287 J/[kg-K]. R: -202,6 W 46 5.11 Relação entre a Primeira Lei da Termodinâmica para Volumes de Controle e a Equação de Bernoulli Seja a equação da Primeira Lei para regime permanente: Whg.zvel 2 1mhg.zvel 2 1mQ s ss 2 ss e ee 2 ee &&&& +      ++=      +++ ∑∑ . Na ausência de fluxos de calor e trabalho, e tendo o volume de controle uma única entrada e uma única saída, a equação acima se reduz a: ss 2 see 2 e hg.zvel2 1hg.zvel 2 1 ++=++ ou ssss 2 seeee 2 e uvpg.zvel2 1uvpg.zvel 2 1 +++=+++ . Na ausência de variações na energia interna entre a entrada e a saída do volume de controle e se o fluido for incompressível (v = constante) a equação acima se torna a conhecida equação de Bernoulli: ( ) ( ) ( ) 0vppzzgvelvel 2 1 eses 2 e 2 s =−+−+− . Em sua forma mais usual, a equação de Bernoulli é escrita em termos da massa específica (e não em termos do volume específico): ( ) ( ) 0 ρ pp zzgvelvel 2 1 es es 2 e 2 s = − +−+− . (5.56) Exercícios: 1) Vapor d'água a 700 kPa e 200°C entra em um bocal isolado com uma velocidade de 60 m/s. Sai a uma pressão de 150 kPa e uma velocidade de 600 m/s. Determine a temperatura na seção de saída, se o vapor no estado final for superaquecido, ou o título se for saturado. R.:T = 111,4ºC; x = 0,988 Obs.: notar a impossibilidade de uso da equação de Bernoulli, por ser o fluido compressível. 2) Uma turbina é alimentada com 100 kg/s de vapor d’água a 15 MPa e 600 ºC. Num estágio intermediário, onde a pressão é 2 MPa, e a temperatura é igual a 350 ºC, é realizada uma extração de 20 kg/s (ver figura abaixo). Na seção final de descarga a pressão e o título são, 47