Método Númerico - Aula 9

Método Númerico - Aula 9

Seja um PVI dado por:

== o yxy yxfdx

Analisemos também o gráfico abaixo, representativo da derivada f(x,y):

xxy y o dxyxfdy egrando dxyxfdy yxfdx

yyxfdxdy o

Repetindo o procedimento n vezes teremos:

FÓRMULA conhecida como Método de Euler. Seja também a série de Taylor onde y representa a solução do PVI:

n kn n x kyk x xy x xyxxxyxyxy ξ

Com xxn≤≤ξ Fazendo x=xn+1 e x-xn=h teremos:

y(xn+1)=y(xn)+hyn’ que representa a fórmula do Método de Euler.

Desta forma, o Método de Euler equivale à série de Taylor truncada em sua primeira derivada e teremos um erro de truncamento da ordem de:

Portanto k representa a ordem do método! Trabalhando com um delimitante superior para o erro teremos:

2 )(2hMxen≤ onde M=máx)(''xy com x pertenente ao intervalo []nxx,.

Exemplo: Seja o PVI dado por: = yxxy . Encontre y(2,1) pelo Método de

Euler utilizando a) h=0,1 b)h=0.025

MÉTODO DE EULER APERFEIÇOADO Seja a situação gráfica abaixo:

xxy y o dxyxfdy yxfdx dy o o x o

yxfhyyhxfhyy yyhyy dxyxfyy

Exemplo: Seja o PVI dado por: = yxxy . Encontre y(2,1) pelo Método de

Euler utilizando a) h=0,1 b)h=0.025

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEM QUATRO Este método segue a formulação:

kyhxhfk kyhxhfk kyhxhfk yxhfk ky

n n n n

Exemplo: Seja o PVI dado por: = yxxy . Encontre y(2,1) pelo Método de

Runge-Kutta de ordem quatro utilizando a) h=0,1 b)h=0.025

Como análise final determine a solução exata da equação diferencial e compare com os métodos aplicados.

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