Espaços de Hilbert, Notas de estudo de Matemática

Baixe Espaços de Hilbert e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ESPAÇOS DE HILBERT Gislan Silveira Santos Vitória da Conquista, Ba Julho de 2008 Gislan Silveira Santos ESPAÇOS DE HILBERT Monografia apresentada ao colegiado do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, como parte dos requisitos para obtenção do Grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Antônio Augusto O. Lima. Vitória da Conquista, Ba Julho de 2008 Resumo Iniciamos com uma introdução básica sobre Álgebra Linear e Espaços Métricos, para dar suporte no entendimento da definição de Espaços de Hilbert. Definimos que um Espaço de Hilbert é um espaço vetorial normado completo, em que a norma provém de um produto interno, ou seja, é um Espaço de Banach proveniente de um produto interno. Provamos que se F é um subespaço fechado de um espaço de Hilbert H, então H = F ⊕ F⊥, ou seja, o espaço de Hilbert H pode ser escrito como soma direta de um subespaço F com o conjunto de todos os vetores de H ortogonais a F , onde este conjunto é denominado por F⊥ = {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0,∀y ∈ F}. Além disso, mostramos o teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos, em que é enunciado da seguinte maneira: seja A um operador auto-adjunto compacto no espaço de HilbertH. Então a famı́lia de auto-espaço {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores (incluindo 0), é uma decom- posição ortogonal de H. Palavras-chave: Espaços de Hilbert, Bases Ortonormais, Operadores Auto-adjuntos e Teorema Espectral. Abstract We start with a basic introduction about Linear Algebra and Metric Spaces, to give support for the understanding of the definition of Hilbert Spaces. We define that a Hilbert Space is a complete normed vector space, in which the norm comes from an inner product, that is, it is a Banach Space proceeding from an inner product. We prove that if F is a closed subspace from an Hilbert space H, then H = F ⊕ F⊥, that is, the Hilbert space H may be written as the direct sum of a subspace F as a set of all the vectors from H orthogonal to F , where this set is denominated by F⊥ = {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0,∀y ∈ F}. Besides, we show the spectral theorem for compact self adjoint operators, in which it is enunciated in the following way: let A be a compact self adjoint operator on the Hilbert space H. Then the family of eigenspaces {Hc}, where c ranges over all eigenvalues (including 0), is an orthogonal decomposition of H. Key Words: Hilbert Space, Orthonormal Basis, Self Adjoint Operators and Spectral Theorem. Sumário Introdução 9 1 Breve Histórico de David Hilbert 10 2 Tópicos de Álgebra Linear 13 2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Bases e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Espaços Métricos 19 3.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Seqüências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Espaços Métricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Espaços de Hilbert 25 4.1 Definição e exemplos de Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Propriedades dos Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Bases Ortonormais em Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Funcionais e Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6 Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Considerações Finais 41 7 Caṕıtulo 1 Breve Histórico de David Hilbert David Hilbert nasceu no dia 23 de Janeiro de 1862, em Königsberg, na Prússia Oriental, (atual Kaliningrado, na Rússia) cidade em que surgiu o problema das sete pontes, resolvido por Leonhard Euler, em 1736. Hilbert recebeu seu Ph.D. na Universidade de Königsberg em 1885 e lecionou, na mesma, no peŕıodo de 1886 até 1894. Em 1895 tornou-se professor da Universidade de Göttigen, na Alemanha, onde permaneceu até sua aposentadoria em 1930. No dia 14 de Fevereiro de 1943, faleceu na cidade de Göttigen. Hilbert é considerado como um dos maiores matemáticos do século XX. Realmente, foi um matemático talentoso, contribuindo nas diversas áreas da matemática. Segue abaixo algumas de suas contribuições: • Teoria dos Invariantes (1885-1892); • Teoria dos números algébricos (1893-1899); • Fundamentos da Geometria (1898-1899); • Problema de Dirichlet e o cálculo de variações (1900-1905); • Equações Integrais, incluindo a teoria espectral e o conceito de espaço de Hilbert (até 1912). Talvez nenhuma contribuição a um Congresso Internacional seja tão famoso quanto a que Hilbert propôs, no Congresso Internacional de Matemática em Paris no mês de agosto do ano de 1900. Consistia numa lista de 23 problemas, dos quais alguns não foram resolvidos até hoje, o que resultou um grande enriquecimento para a matemática com o trabalho subseqüente de resolvê-los. Os 23 problemas de Hilbert são: 1. Provar a hipótese do continuum (HC) de Cantor; 10 11 2. Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética; 3. Pode-se provar que dois tetraedros têm o mesmo volume (sob certas condições)? 4. Construir todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas; 5. Todo grupo cont́ınuo é automaticamente um grupo diferencial? 6. Transformar toda a F́ısica em axiomas; 7. O número αβ, onde α é algébrico (6= 0 e 6= 1) e β é irracional e algébrico, é transcen- dente? 8. A Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach; 9. Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico; 10. Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução; 11. Classificar as formas quadráticas a coeficientes nos anéis algébricos inteiros; 12. Estender o teorema de Kroneker para os corpos não abelianos; 13. Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de sétimo grau através de funções de somente duas variáveis; 14. Provar o carácter finito de certos sistemas completos de funções; 15. Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert; 16. Desenvolver uma topologia de curvas e superf́ıcies algébricas; 17. Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de funções racionais; 18. Construir um espaço Euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas? 19. Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente anaĺıtico; 20. Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução? 21. Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrômico; 22. Uniformizar as curvas anaĺıticas através de funções automorfas; 23. Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações. 12 O nome de Hilbert é mais conhecido dos estudantes sobretudo nos seus famosos espaços de Hilbert, que entre 1909 e 1912 começou a introduzir durante seus trabalhos em análise sobre as equações integrais. Mas foi J. Von Neumann quem, por volta de 1930, introduziu a definição abstrata de espaços de Hilbert, a qual foi necessária na formulação matemática da Mecânica Quântica que acabara de surgir. 15 2.2 Subespaços 2.2.1 Definição. Seja V um espaço vetorial sobre K. Seja um subconjunto W 6= ∅ de V . Dizemos que W é subespaço vetorial de V se e somente se são válidas as seguintes condições: (i) 0 ∈ W ; (ii) se u, v ∈ W então u+ v ∈ W ; (iii) se λ ∈ K e v ∈ W então λ.v ∈ W . A restrição das operações de V a W torna esse subconjunto um K-espaço vetorial. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o póprio espaço V e o conjunto {0V }, chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais ou impróprios de V . Os demais subespaços de V são chamados de subespaços próprios de V . 2.2.2 Definição. Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . Dize- mos que a soma W1 +W2 é direta se W1 ∩W2 = {0} e, neste caso, escrevemos W1 ⊕W2. 2.2.3 Definição. Seja V um K-espaço vetorial e sejam W1, W2 subespaços de V . Dizemos que V é a soma direta de W1 e W2 se V = W1 ⊕W2. 2.2.4 Proposição. Seja V = W1 ⊕W2 um K-espaço vetorial. Então todo elemento v ∈ V se escreve de maneira única como uma soma v = w1 + w2 com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2. Demonstração: Veja a demonstração em [4].  2.3 Bases e Dimensão Nesta seção vamos discutir um dos conceitos mais importantes envolvendo a estrutura de espaço vetorial. Antes de definir o conceito de base, iremos definir os seguintes conceitos: combinação linear, conjunto gerador, indepêndencia linear e depêndencia linear. A partir do conceito de base definiremos dimensão. 2.3.1 Definição. Seja V um espaço vetorial sobre K. (i) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetores v1, . . . , vn ∈ V se existirem escalares α1, . . . , αn ∈ K tais que: 16 v = α1.v1 + . . .+ αn.vn = n∑ i=1 αi.vi. (ii) Seja B um subconjunto de V . Dizemos que B é um conjunto gerador de V (ou que B gera V) se, para todo v ∈ V , existirem (finitos) elementos v1, . . . , vn ∈ B e escalares α1, . . . , αn ∈ K tais que v = α1.v1 + . . .+ αn.vn. Denotamos por [B] = V . 2.3.2 Definição. Sejam V um K-espaço vetorial e B um subconjunto de V . (i) Dizemos que B é linearmente independente (L.I.) se α1.v1 + . . .+αn.vn = 0, para vi ∈ B e αi ∈ K, i = 1, . . . , n, implica que α1 = . . . = αn = 0 é a única solução. (ii) O conjunto B é linearmente dependente (L.D.) se não for L.I., ou seja, existe αi ∈ K∗, i = 1, . . . , n, tal que α1.v1 + . . .+ αn.vn = 0. 2.3.3 Definição. Seja V um K-espaço vetorial. Dizemos que um conjunto B ⊂ V é uma base de V se são válidas as condições seguintes: (i) B gera V ([B] = V ); (ii) B for L.I. 2.3.4 Definição. Um espaço vetorial V é de dimensão finita se e somente se V possui uma base finita. Ou seja, o número n de elementos de uma base finita de V chama-se dimensão de V, onde denotaremos por dim(V ). Caso contrário, dizemos que V tem dimensão infinita. Exemplo 2.6. Em R2, B = {(1, 0) , (0, 1)} é uma base de R2, também chamada de base canônica do espaço R2. Como esta base possui dois elementos, então dim(R2) = 2. Em geral, dim(Rn) = n. Uma base para o Rn pode ser a base canônica B = {e1, e2, . . . , en}, onde e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),. . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1). Exemplo 2.7. Exemplos de dimensão: (a) dim(Kn) = n (Kn é um K-espaço vetorial). (b) dim(Cn) = n, quando Cn é um C-espaço e dim(Cn) = 2n, quando for um R-espaço. (c) dim(Mm×n(C)) = m.n, quando Mm×n(C) é um C-espaço e dim(Mm×n(C)) = 2.m.n, quando for um R-espaço. 17 (d) dim(Pm(K)) = m+ 1 (Pm(K) é um K-espaço vetorial). 2.3.5 Proposição. Sejam V um espaço vetorial e U e W dois subespaços vetoriais de V, ambos de dimensão finita. Então dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ). Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [4].  2.4 Transformações Lineares 2.4.1 Definição. Sejam U e V K-espaços vetoriais. Uma aplicação T : U −→ V é uma transformação linear se são válidas as condições: (i) T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2), ∀u1, u2 ∈ U ; (ii) T (λ.u) = λ.T (u), ∀λ ∈ K e ∀u ∈ U . 2.4.2 Proposição. Sejam U e V K-espaços vetoriais. Então uma aplicação T : U −→ V é uma transformação linear se e somente se T (λ.u1 + u2) = λ.T (u1) + T (u2),∀u1, u2 ∈ U, ∀λ ∈ K. Demonstração: Deixada a cargo do leitor.  Observação 2.1. Sejam U e V K-espaços vetoriais. Seja T : U −→ V uma transformação linear. 1. Se W é um subespaço vetorial de U , então a imagem de W por T é um subespaço de V ; 2. Se U = V então T é chamado de operador linear; 3. Se V = K então T é chamado de funcional linear; 4. Se T for uma bijeção, dizemos que T é um isomorfismo e que os espaços U e V são isomorfos; 5. Se T é bijetiva e U = V então T é chamado de automorfismo. 20 d1(x, y) = √ (x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2 = [ n∑ i=1 (xi − yi)2 ]1/2 d2(x, y) = | x1 − y1 |+ . . .+ | xn − yn | = n∑ i=1 | xi − yi | d3(x, y) = max {| x1 − y1 | , . . . , | xn − yn |} = max 1≤i≤n | xi − yi | As funções d1, d2, d3 : Rn × Rn −→ R são métricas. Com isto o Rn é um espaço métrico. Exemplo 3.3. A métrica “zero-um”, definida por d : M ×M −→ R pondo d(x, y) =  0, se x = y1, se x 6= y O espaço métrico (M,d) que se obtém desta maneira é útil para contra-exemplos. Este espaço é também chamado de espaço métrico discreto. 3.2 Espaços Vetoriais Normados 3.2.1 Definição. Seja E um K-espaço vetorial. Uma norma em E é uma aplicação ‖ ‖ : E −→ K x 7−→ ‖ x ‖ chamado a norma de x, tal que ∀x, y ∈ E e ∀λ ∈ K, satisfaz as seguintes condições: (N1) ‖ x ‖ ≥ 0 e ‖ x ‖ = 0 ⇐⇒ x = 0 (N2) ‖ λ.x ‖ = | λ | . ‖ x ‖ (N3) ‖ x+ y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ (desigualdade triangular) 3.2.2 Definição. Um espaço vetorial normado é um par (E, ‖ ‖), onde E é um K-espaço vetorial e ‖ ‖ é uma norma em E. Em vez de usarmos (E, ‖ ‖) para designar espaço vetorial normado, usaremos apenas E, deixando a norma subtendida. 3.2.3 Proposição. Todo espaço vetorial normado é métrico. Demonstração: De fato, todo espaço vetorial normado E possui uma métrica natural, definida a partir da norma, dada por d(x, y) = ‖ x− y ‖. Com isso, verifica-se facilmente as condições (D1), (D2), (D3) e (D4) de espaços métricos.  21 A métrica d(x, y) = ‖ x− y ‖ diz-se proveniente da norma ‖ ‖. Exemplo 3.4. Em Rn as métricas d1, d2 e d3 são provenientes das normas ‖ ‖1 , ‖ ‖2 e ‖ ‖3, respectivamente, onde estas normas, para x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, são definidas da seguinte maneira: ‖ x ‖1 = √ (x1)2 + . . .+ (xn)2 = √ n∑ i=1 (xi) 2 ‖ x ‖2 = | x1 | + . . . + | xn | = n∑ i=1 | xi | ‖ x ‖3 = max {| x1 | , . . . , | xn |} = max 1≤i≤n | xi | 3.3 Espaços Vetoriais com Produto Interno Nesta seção iremos definir produto interno. Pois no Caṕıtulo 4, precisaremos desta definição para comerçarmos a trabalhar com os Espaços de Hilbert. 3.3.1 Definição. Seja E um K-espaço vetorial, onde K = R ou K = C. Um produto interno em E é uma aplicação 〈 , 〉 : E × E −→ K satisfazendo as seguintes propriedades: (P1) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 ,∀x, y, z ∈ E (P2) 〈λ.x, y〉 = λ.〈x, y〉 ,∀λ ∈ K,∀x, y ∈ E (P3) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ,∀x, y ∈ E (P4) 〈x, x〉 > 0, se x 6= 0 Se E for um espaço vetorial sobre os complexos, então E e o seu produto interno também são chamados, respectivamente, de espaço hermitiano e produto hermitiano. A partir do produto interno, podemos definir a norma de um vetor x ∈ E como sendo ‖ x ‖= √ 〈x, x〉, isto é, ‖ x ‖2= 〈x, x〉. As condições (N1) e (N2) são obviamentes satisfeitas. Enquanto que a condição (N3) decorre da chamada Desigualdade de Cauchy-Schwarz: | 〈x, y〉 | ≤ ‖ x ‖ . ‖ y ‖ Exemplo 3.5. O Rn é o exemplo mais natural de espaço vetorial com produto interno. Onde é definido por 〈x, y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn = n∑ i=1 xiyi, onde x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn). 22 As propriedades do produto interno são claramente satisfeitas. Este produto também é conhecido como produto canônico ou produto escalar. A norma ‖ x ‖= √ n∑ i=1 (xi) 2 provém deste produto interno. No caṕıtulo 4, mostraremos maiores detalhes sobre espaços com produto interno, que também são conhecidos como espaços pré-Hilbertianos. 3.4 Seqüências de Cauchy Antes de definirmos o que é uma seqüência de Cauchy, vamos definir como são as seqüências num espaço métrico. 3.4.1 Definição. Seja M um espaço métrico. Uma seqüência em M é uma aplicação x : N −→M , definida no conjunto N = {1, 2, . . . , n, . . .}. Denotamos por xn, em vez de x(n), o valor que a seqüência x assume no número n ∈ N, e chamamos este número de o n-ésimo termo da seqüência. A notação (xn) será a representação de uma seqüência. 3.4.2 Definição. Seja (xn) uma seqüência num espaço métrico M . Diz-se que o ponto a ∈M é limite da seqüência (xn) quando, ∀ε > 0,∃n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ d(xn, a) < ε. Neste caso, dizemos que (xn) é convergente emM e indicamos como limxn = a ou xn −→ a. Se não existe limxn em M , então dizemos que a seqüência é divergente em M . 3.4.3 Definição. Uma seqüência (xn) no espaço métrico M chama-se limitada quando ∃k > 0 tal que d(xm, xn) ≤ k para quaisquer m,n ∈ N. 3.4.4 Proposição. Toda seqüência convergente é limitada. Demonstração: Veja a demonstração em [10].  3.4.5 Proposição (Unicidade do limite). Uma seqüência não pode convergir para dois limites diferentes. Demonstração: Veja a demonstração em [10].  3.4.6 Definição. Seja M um espaço métrico. Uma seqüência (xn) em M chama-se uma seqüência de Cauchy quando, ∀ε > 0 dado, ∃n0 ∈ N tal que m,n > n0 =⇒ d(xm, xn) < ε. Caṕıtulo 4 Espaços de Hilbert Neste caṕıtulo iremos apresentar a definição de espaço de Hilbert e suas propriedades básicas. Mostraremos conceitos importantes de espaço com produto interno e alguns exemplos de espaços de Hilbert. No final, vamos demonstrar o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos compactos. 4.1 Definição e exemplos de Espaços de Hilbert 4.1.1 Definição. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial normado completo tal que a norma é definida a partir de um produto interno neste espaço, ou seja, um espaço de Hilbert é um espaço de Banach munido de um produto interno. No decorrer do caṕıtulo as notações H,H1,H2, . . . , sempre denotarão espaços de Hilbert. Exemplo 4.1. O Rn com o produto interno 〈x, y〉 = n∑ i=1 xi.yi é um espaço de Hilbert. Exemplo 4.2. Um dos exemplos importante de espaço de Hilbert é o espaço das seqüências de quadrados somáveis, ou espaço l2. Este espaço é constitúıdo por todas as seqüências x = (x1, . . . , xi, . . .) de números reais ou complexos tais que ∞∑ i=1 x2i < +∞. Dado x ∈ l2, escreveremos ‖ x ‖ = √ ∞∑ i=1 x2i . Assim é fácil ver que l 2 é um espaço de Hilbert. Antes de prosseguirmos com o tema deste caṕıtulo, a partir deste momento, vamos retomar aos espaços com produto interno (ou pré-Hilbertianos) para apresentar os seguintes conceitos: ortogonalidade, teorema de Pitágoras, lei do paralelogramo e bases ortonormais. Depois de mostrarmos tais conceitos, podemos continuar a apresentação dos exemplos de espaços de Hilbert e suas propriedades. 25 26 4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais 4.2.1 Definição. Sejam v, w ∈ E, onde E é um espaço com produto interno. Dizemos que v e w são ortogonais (ou perpendiculares) se 〈v, w〉 = 0. O śımbolo v ⊥ w indicará que esses vetores são ortogonais. Se F, S são subconjuntos de E, então F ⊥ S indica que v ⊥ w sempre que v ∈ F e w ∈ S. Além disso, se F e S forem subespaços, diz-se que eles são ortogonais. Denota-se por S⊥ o conjunto de todos os vetores de E ortogonais a S, ou seja, S⊥ = {v ∈ E : 〈v, w〉 = 0,∀w ∈ S}. 4.2.2 Proposição. Num espaço com produto interno, v ⊥ w se, e somente se, ‖ v + tw ‖ ≥ ‖ v ‖, ∀ t ∈ K. Demonstração: Veja a demonstração em [11].  4.2.3 Definição. Seja E um espaço com produto interno. Dizemos que um subconjunto X ⊂ E é ortonormal se for um conjunto ortogonal e ∀u ∈ X, u é unitário1. Observação 4.1. Se X = {u1, . . . , un} ⊂ E é um conjunto ortogonal com uj 6= 0, para j = 1, . . . , n, então { u1 ‖ u1 ‖ , . . . , un ‖ un ‖ } é um conjunto ortonormal. 4.2.4 Definição. Seja E um espaço com produto interno de dimensão n. Se {u1, . . . , un} formam um conjunto ortonormal, então diremos que {u1, . . . , un} formam uma base ortonor- mal de E. Num espaço com produto interno, temos duas identidades úteis, chamadas: o Teorema de Pitágoras e a Lei do Paralelogramo. Veja abaixo tais identidades: 4.2.5 Teorema (de Pitágoras). Sejam u,w ∈ E, onde E é um espaço com produto interno e ‖ u ‖ = √ 〈u, u〉. Se u ⊥ w, então ‖ u+ w ‖2 = ‖ u ‖2 + ‖ w ‖2. Demonstração: Basta desenvolver ‖ u+ w ‖2: ‖ u+ w ‖2 = 〈u+ w, u+ w〉 = 〈u, u〉+ 〈u,w〉+ 〈w, u〉+ 〈w,w〉 = ‖ u ‖2 + ‖ w ‖2, pois u e w são ortogonais.  4.2.6 Proposição (Lei do Paralelogramo). Em todo espaço com produto interno vale a lei do paralelogramo: ‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2 = 2 (‖ u ‖2 + ‖ w ‖2). 1Um vetor u diz-se unitário, se ‖ u ‖ = 1. 27 Demonstração: Basta desenvolver ‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2: ‖ u+ w ‖2 + ‖ u− w ‖2 = 〈u+ w, u+ w〉+ 〈u− w, u− w〉 = 〈u, u〉+ 〈w,w〉+ 2〈u,w〉+ 〈u, u〉+ 〈w,w〉 − 2〈u,w〉 = 2〈u, u〉+ 2〈w,w〉 = 2 (‖ u ‖2 + ‖ w ‖2).  4.2.7 Definição. Seja E um espaço com produto interno. Seja {vi}i∈I uma famı́lia dos elementos de E tais que ‖ vi ‖ 6= 0, ∀ i. Para cada subfamı́lia finita de {vi}i∈I , podemos tomar o espaço gerado por esta subfamı́lia, isto é, combinações lineares c1vi1 + c2vi2 + c3vi3 + . . .+ cnvin , com coeficientes complexos ci. A união de todos tais espaços é chamado o espaço gerado pela famı́lia {vi}i∈I . 4.2.8 Definição. Sejam E um espaço com produto interno e F o espaço gerado pela famı́lia {vi}i∈I . Dizemos que a famı́lia {vi} é total em E se o fecho2 de F é igual a todo E, ou seja, F = E. 4.2.9 Definição. Dizemos que a famı́lia {vi} é uma famı́lia ortogonal, se seus elementos são mutuamente perpendiculares, em que 〈vi, vj〉 = 0 se i 6= j, e se além disso ‖ vi ‖ 6= 0 ∀ i. E chamamos de famı́lia ortonormal quando for ortogonal e ‖ vi ‖ = 1, ∀ i. 4.2.10 Proposição. Seja {vi} uma famı́lia ortogonal em E. Seja x ∈ E e seja ci o coeficiente de Fourier3 de x com respeito a vi. Seja {ai} uma famı́lia de números (reais ou complexos). Então wwwwwx− n∑ k=1 ck.vk wwwww ≤ wwwwwx− n∑ k=1 ak.vk wwwww. Demonstração: Sabemos que x − n∑ k=1 ck.vk é ortogonal a cada um vi, i = 1, . . . , n. 2O fecho de um conjunto X num espaço métrico M , é o conjunto X dos pontos de M que são aderentes a X. Dizemos que um ponto a é aderente a um subconjunto X de um espaço métrico M quando d(a,X) = 0. 3Seja w ∈ E tal que ‖ w ‖ 6= 0, e seja v ∈ E. Existe um único número c tal que v − cw ⊥ w. Ou seja, 〈v − cw,w〉 = 0 ⇒ c〈w,w〉 = 〈v, w〉 ⇒ c = 〈v, w〉 〈w,w〉 . Este valor c é chamado de coeficiente de Fourier de v com respeito a w. 30 4.3.5 Proposição. Seja H um espaço de Hilbert. Seja (Fi), (i = 1, 2, . . .), uma seqüência de subespaços fechados que são mutuamente perpendiculares, isto é, Fi ⊥ Fj se i 6= j. Seja F o fecho do espaço F gerado por todo Fi. (Ou seja, F é o fecho dos espaços F que consiste em todas as somas x1 + . . .+ xn, xi ∈ Fi). Então cada elemento x ∈ F tem uma expressão única como uma série convergente x = ∞∑ i=1 xi, xi ∈ Fi. Seja Pi uma projeção ortogonal em Fi. Então xi = Pix, e para alguma escolha dos elementos yi ∈ Fi temos wwwwwx− n∑ i=1 Pix wwwww ≤ wwwwwx− n∑ i=1 yi wwwww. Demonstração: Desde que x− n∑ i=1 Pix é ortogonal a F1, . . . , Fn podemos usar o mesmo argumento que a Proposição 4.2.10, e o Teorema 4.2.5 para mostrar a desigualdadewwwwwx− n∑ i=1 yi wwwww 2 = wwwwwx− n∑ i=1 Pix wwwww 2 + wwwww n∑ i=1 (Pix− yi) wwwww 2 . Existe uma seqüência de F que tende para x. Conseqüentemente segue que as somas parciais n∑ i=1 Pix tendem para x igualmente. Se x = ∞∑ i=1 xi, com xi ∈ Fi, então aplicamos a projeção Pn (qual é cont́ınua!) para concluir que Pnx = xn, assim provando a unicidade.  4.4 Bases Ortonormais em Espaços de Hilbert Nesta seção vamos mostrar que, nos espaços de Hilbert, existem conjuntos ortonormais que podem ser usados para decompor vetores, ou seja, podemos falar em “coordenadas ortogonais”. O fato é que qualquer elemento no espaço de Hilbert pode ser “aproximado” por elementos destes conjuntos, em que iremos denominar como bases ortonomais em espaços de Hilbert. 4.4.1 Definição. SejaH um espaço de Hilbert. Uma base ortonormal emH é um conjunto ortonormal total. Exemplo 4.3. A base canônica {ej}nj=1 de K n é uma base ortonormal. Lembrando que, Kn é um espaço de Hilbert, onde K é um corpo. 31 Usando bases ortonormais, simplificamos muitas demonstrações em espaços de Hilbert. Dada uma seqüência (xn) L.I. em H, existem seqüências ortonormais que geram o mesmo subespaço vetorial, que são constrúıdas pelo processo de ortonormalização de Gram-Schmidt4, o qual demonstra a existência de bases ortonormais em H no caso de espaços separáveis. Em geral, para a demonstração da existência de tais bases, usamos o chamado Lema de Zorn5. 4.4.2 Teorema. Todo espaço de Hilbert possui uma base ortonormal. Demonstração: Seja H 6= {0} um espaço de Hilbert. Basta aplicar o Lema de Zorn para mostrar que a coleção de todos os conjuntos ortonormais, ordenado pela inclusão, tem um elemento maximal. Este elemento será uma base ortonormal de H.  4.4.3 Teorema (Desigualdade de Bessel). Se {vα}α∈J é um conjunto ortonormal em H, então para cada v ∈ H, ∑ α∈J | 〈vα, v〉 |2 ≤ ‖ v ‖2. Em particular {α ∈ J : 〈vα, v〉 6= 0} é enumerável6. Demonstração: Consideremos um conjunto contável ortonormal {vj}. Dado v ∈ H, seja xn = v − n∑ j=1 〈vj, v〉vj, o qual é ortogonal a todo vj com 1 ≤ j ≤ n. Vejamos que ‖ v ‖2 = ‖ xn ‖2 + n∑ j=1 | 〈vj, v〉 |2 ≥ n∑ j=1 | 〈vj, v〉 |2. Logo, se J for finito, o teorema está provado. Se J não for finito, então desta desigualdade segue que ‖ v ‖2 ≥ ∑ j | 〈vj, v〉 |2, para todo conjunto contável ortonormal {vj}. Para cada k ≥ 1, denotamos por Jk = {α ∈ J :| 〈vα, v〉 | ≥ 1/k}. 4Não demonstraremos aqui tal processo. Para entender como “funciona”o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt, recomendamos que verifique em [2], [4], [11], ou em qualquer livro de Álgebra Linear. 5Um conjunto não-vazio parcialmente ordenado, no qual todo subconjunto totalmente ordenado possui um limite superior, possui um elemento maximal. 6Um conjunto é enumerável se possui a cardinalidade ℵ0 de N = {1, 2, 3, . . .}, e é contável se for finito (incluindo zero) ou enumerável. 32 Da relação acima vem que Jk é finito para todo k. Como {α ∈ J : 〈vα, v〉 6= 0} = ∞⋃ k=1 Jk, conclúımos que para cada v ∈ H o conjunto de ı́ndices em que 〈vα, v〉 6= 0 é contável.  4.4.4 Corolário. Todas as bases ortonormais num espaço de Hilbert possuem a mesma cardinalidade. Demonstração: Veja a demonstração em [11].  4.4.5 Definição. A dimensão de Hilbert (dimensão Hilbertiana), ou simplesmente dimensão de um espaço de Hilbert, é a cardinalidade de uma base ortonormal desse espaço. 4.4.6 Definição. Dado um conjunto ortonormal {vα}α∈J em H, a famı́lia {〈vα, v〉}α∈J é chamada de coeficientes de Fourier de v ∈ H, e a soma ∑ α∈J 〈vα, v〉vα é chamada de série de Fourier de v em relação à {vα}α∈J . 4.4.7 Teorema. Seja {vα}α∈J um conjunto ortonormal emH. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) {vα}α∈J é uma base ortonormal de H. (ii) Se v ∈ H, então a série de Fourier de v, em relação à {vα}α∈J , converge em H para v, ou seja, v = ∑ α∈J 〈vα, v〉vα, ∀v ∈ H. (iii) (Identidade de Parseval) Para todo v ∈ H temos ‖ v ‖2 = ∑ α∈J | 〈vα, v〉 |2. Demonstração: Veja a demonstração em [3] ou [11].  4.4.8 Definição. Dado um espaço de Hilbert H, existe um conjunto J de forma que H é isomorfo ao espaço de Hilbert l2(J). 4.4.9 Proposição. Dois espaços de Hilbert são isomorfos se, e somente se, eles possuem a mesma dimensão de Hilbert. Demonstração: Sejam H1 e H2 espaços de Hilbert. Se existe existe um operador unitário7 U : H1 −→ H2, então a imagem de uma base ortonormal de H1 por U é uma base ortonormal de H2. Como U é bijetor, temos que esses espaços possuem a mesma dimensão. 7Um operador linear U : (X, 〈 , 〉) −→ (Y, [ , ]), entre dois espaços com produto interno, é unitário se for sobrejetor em Y e 〈x, y〉 = [Ux, Uy] para todos x, y ∈ X. 35 Por um operador damos significado a uma função cont́ınua de H nele próprio. Como sabemos, o espaço dos operadores L(H;H), que apenas denotaremos como L(H), é um espaço de Banach. Iremos denotar por Herm(H) o conjunto de todas as formas hermitianas cont́ınuas em H e Sesqu(H) o conjunto de todas as formas sesquilineares8 cont́ınuas em H. Verifica-se facilmente que estes dois conjuntos são espaços de Banach, e que Herm(H) é um subespaço fechado de Sesqu(H). Neste momento, relacionaremos formas sesquilineares cont́ınuas em H com operadores. Seja A : H −→ H um operador. Definimos ϕA por ϕA(x, y) = 〈Ax, y〉. Então ϕA é obviamente uma forma sesquilinear cont́ınua em H. Reciprocamente, seja ϕ tal forma. Para cada y ∈ H a função x 7−→ ϕ(x, y) é um funcional, e consequentemente existe um único y∗ ∈ H tal que, ∀x ∈ H temos ϕ(x, y) = 〈x, y∗〉. A função y 7−→ y∗ é verificada imediatamente para ser linear, usando a unicidade do elemento y∗ que representa ϕ. Além disso, da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, encontramos que | y∗ | ≤ ‖ ϕ ‖‖ y ‖. Se definirmos A∗ : H −→ H a função tal que A∗y = y∗, então conclúımos que A∗ é uma função linear cont́ınua de H nele próprio, isto é, A∗ é um operador. Por outro lado, se definimos ψ(y, x) = ϕ(x, y), então ψ é sesquilinear cont́ınua, pois vimos que existe um único operador A tal que ψ(y, x) = 〈y, Ax〉, ou seja, ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉. Deste modo, ϕ = ϕA para algum A. 4.5.2 Proposição. A associação A 7−→ ϕA é um isomorfismo que preserva a norma entre L(H) e Sesqu(H). Demonstração: Devemos mostrar que ‖ A ‖ = ‖ ϕA ‖. Mas | ϕA(x, y) | ≤ ‖ A ‖‖ x ‖‖ y ‖ 8Uma forma sesquilinear sobre dois espaços normados N1, N2 é uma aplicação s : N1×N2 −→ K, linear na segunda variável e antilinear na primeira variável. 36 de modo que ‖ A ‖ ≥ ‖ ϕA ‖. Sabemos que ‖ Ax ‖ = ‖ λAx ‖ e | λAx(y) | ≤ ‖ ϕA ‖‖ x ‖‖ y ‖. Logo, ‖ A ‖ ≤ ‖ ϕA ‖. Portanto, ‖ A ‖ = ‖ ϕA ‖.  Mostramos que a cada operador A podemos associar um único operador A∗ satisfazendo a relação 〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉, ∀x, y ∈ H. Chamamos A∗ de adjunto de A (ou transposto de A, se o espaço de Hilbert estiver sobre os reais). 4.5.3 Proposição. A função A 7−→ A∗ satisfaz as seguintes propriedades: (i) (A+B)∗ = A∗ +B∗ , (ii) (αA)∗ = αA∗ , (iii) A∗∗ = A , (iv) (AB)∗ = B∗A∗ , e para a norma, ‖ A∗ ‖ = ‖ A ‖, ‖ A∗A ‖ = ‖ A ‖2. Demonstração: As primeiras quatro propriedades são imediatas. Por exemplo, veja a propriedade (ii). Temos que, 〈αAx, y〉 = 〈Ax, αy〉 = 〈x,A∗αy〉 = 〈x, αA∗y〉. Da unicidade, conclúımos que (αA)∗ = αA∗. As outras equações são de fácil verificação. Quanto para às propriedades da norma, temos | 〈A∗x, y〉 | = | 〈x,Ay〉 | ≤ ‖ A ‖‖ x ‖‖ y ‖ de modo que ‖ ϕA∗ ‖ = ‖ A∗ ‖ ≤ ‖ A ‖. Uma vez que A∗∗ = A, segue que ‖ A ‖ ≤ ‖ A∗ ‖ assim ‖ A ‖ = ‖ A∗ ‖. Finalmente, ‖ A∗A ‖ ≤ ‖ A∗ ‖‖ A ‖ = ‖ A ‖2, e reciprocamente, ‖ Ax ‖2 = 〈Ax,Ax〉 = 〈A∗Ax, x〉 ≤ ‖ A∗A ‖‖ x ‖2 de modo que ‖ A ‖ ≤ ‖ A∗A ‖1/2.  37 4.5.4 Definição. Se ϕ é uma forma sesquilinear cont́ınua em H, definimos a função q(x) = ϕ(x, x) para ser sua forma quadrática associada. No caso complexo, podemos recuperar a forma sesquilinear para a forma quadrática. Expressamos isto, em termos dos operadores. 4.5.5 Proposição. Para um espaço de Hilbert complexo, se A é um operador e 〈Ax, x〉 = 0, ∀x, então A = 0. Demonstração: Isto segue do que é chamado de identidade de polarização, 〈A(x+ y), x+ y〉 − 〈A(x− y), x− y〉 = 2 [〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉]. Sob a suposição da Proposição 4.5.5, o lado esquerdo da identidade é igual 0. Substituindo x por ix, obtemos 〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉 = 0 i〈Ax, y〉 − i〈Ay, x〉 = 0 . Dáı segue que 〈Ax, y〉 = 0 e portanto A = 0.  4.5.6 Definição. Dizemos que um operador A é auto-adjunto (ou apenas hermitiano) se A = A∗. Se H é um espaço de Hilbert real, então dizemos que o operador A é simétrico. Observação 4.2. Se A for invert́ıvel, então vemos imediatamente que (A−1)∗ = (A∗)−1. 4.5.7 Definição. Um operador A é chamado de unitário se A∗ = A−1. 4.5.8 Proposição. Para um espaço de Hilbert complexo, as seguintes propriedades são equivalentes, a respeito de um operador A: (i) A = A∗. (ii) ϕA : (x, y) 7−→ 〈Ax, y〉 é uma forma hermitiana. (iii) 〈Ax, y〉 são números reais, ∀x ∈ H. Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [8].  4.5.9 Lema. Seja A um operador e c um número tal que | 〈Ax, x〉 | ≤ c ‖ x ‖2, ∀x ∈ H. 40 4.6.5 Teorema (Espectral). Seja A um operador auto-adjunto compacto no espaço de Hilbert H. Então a famı́lia de auto-espaço {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores (incluindo 0), é uma decomposição ortogonal de H. Demonstração: Seja F o fecho do subespaço gerado por todo Hc (como na Proposição 4.3.5) e seja H′ o complemento ortogonal de F . Então H′ é A-invariante, e A induz um operador auto-adjunto compacto em H′, no qual não tem nenhum autovalor. Devemos mostrar que H′ 6= {0}. Isto resulta no seguinte lema. 4.6.6 Lema. Seja A um operador auto-adjunto compacto no espaço de Hilbert H′ 6= {0}. Seja c =‖ A ‖. Então c ou −c é um autovalor para A. Demonstração: Existe uma seqüência (xn) em H′ tal que ‖ xn ‖ = 1 e | 〈Axn, xn〉 | → ‖ A ‖. Selecionando uma subseqüência, caso necessário, podemos supor que 〈Axn, xn〉 → α para algum número α e α = ± ‖ A ‖. Então 0 ≤ ‖ Axn − αxn ‖2 = 〈Axn − αxn, Axn − αxn〉 = ‖ Axn ‖2 − 2α〈Axn, xn〉+ α2 ‖ xn ‖2 ≤ α2 − 2α〈Axn, xn〉+ α2. O lado direito tende para 0 quando n tende ao infinito. Como A é compacto, após ter selecionado uma subseqüência, podemos supor que (Axn) converge para algum vetor y e então (αxn) deve convergir para y igualmente. Se α = 0, então ‖ A ‖ = 0 e A = 0. Se α 6= 0, então (xn) deve convergir para algum vetor x e então Ax = αx de modo que α seja o autovalor desejado para A, assim provando o lema e o teorema.  Observamos que cada Hc possui uma base ortonormal consistindo de autovetores, a saber toda base ortonormal em Hc, pois todos os elementos não-nulos de H são autove- tores. Portanto, o próprio H tem uma base ortonormal consistindo de autovetores. Assim recuperamos precisamente a analogia do teorema no caso de dimensão finita. Além disso, temos algumas informações que seguem claramente: Cada Hc é de dimensão finita, se não um subconjunto enumerável de uma base ortonor- mal forneceria uma seqüência que contradiz a compacidade de A. Uma maneira semelhante, dado r > 0, há somente um número finito de autovalores c tal que | c | ≥ r. Portanto 0 é um limite da seqüência dos autovalores se H é de dimensão infinita. Considerações Finais O que realizamos neste trabalho, foi uma introdução ao estudo dos Espaços de Hilbert usando os conceitos de norma, produto interno, bases ortonormais e operadores auto-adjuntos. Durante o desenvolvimento deste texto, tivemos o cuidado de não tornar uma leitura muito complicada, ou seja, todo o texto foi produzido para leitores que tenham uma fa- miliaridade com Álgebra Linear e Análise no Rn. Com isso, dividimos em dois caṕıtulos parte dos conteúdos que consideramos como pré-requisitos para estudar o tema deste docu- mento. Tais caṕıtulos foram divididos da seguinte maneira: a primeira, um curso de tópicos de Álgebra Linear, para que o leitor pudesse ter as ferramentas necessárias para o entendi- mento do restante do texto, e a segunda, foi uma exposição de conceitos relacionados aos Espaços Métricos como principal requisito para a definição de Espaços de Hilbert. Assim, com a apresentação de alguns resultados básicos e substanciais do tema deste documento, tivemos a finalidade de tornar o texto uma espécie de ferramenta básica para um curso de iniciação à análise funcional e mecânica quântica. 41 Referências Bibliográficas [1] BOYER, Carl B. História da Matemática. Traducão de Elza F. Gomide. 2a ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. [2] BUENO, Hamilton P. Álgebra Linear: Um Segundo Curso. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. [3] CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Análise I. Dispońıvel em: <http://www.alunospgmat.ufba.br/>. Acesso em: 10 de Maio de 2008. [4] COELHO, Flávio U.; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2001. [5] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. [6] FIGUEIREDO, Djairo G. de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC; Braśılia: Editora Uni- versidade de Braśılia, 1975. [7] LANG, Serge. Analysis I. New York: Addison Wesley Publishing Company, 1968. [8] LANG, Serge. Analysis II. New York: Addison Wesley Publishing Company, 1968. [9] LIMA, Elon L. Elementos de Topologia Geral. 2a ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976. [10] LIMA, Elon L. Espaços Métricos. 3a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977. [11] OLIVEIRA, César R. de. Introdução à Análise Funcional. 3a impressão da 2a ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008. [12] PEIXOTO, Rafael; SOUZA, Jairo M. e; BONFIM, Valdair. Introdução a Topologia e Aplicações. Dispońıvel em: <http://www.famat.ufu.br/revista/revistaset2004/artigos/ArtigoRafaelJairoValdair.pdf>. Acesso em: 07 de Junho de 2008. 42