Espaços de Hilbert

Espaços de Hilbert

(Parte 1 de 7)

ESPACOS DE HILBERT Gislan Silveira Santos

Vitoria da Conquista, Ba Julho de 2008

Gislan Silveira Santos

Monografia apresentada ao colegiado do curso de Licenciatura em Matematica da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, como parte dos requisitos para obtencao do Grau de Licenciado em Matematica.

Orientador: Prof. Antonio Augusto O. Lima.

Vitoria da Conquista, Ba Julho de 2008

Em memoria do meu querido pai,

Gileno Messias Santos, e da minha maravilhosa avo,

Maria Jose dos Santos. Eternos amigos.

Agradecimentos

Neste momento importante de minha vida, varias pessoas merecem os meus verdadeiros agradecimentos. Antes de cita-las, peco desculpas por alguns esquecimentos.

• Agradeco a Deus por ter me dado forcas para alcancar os meus objetivos.

• A minha mae, Luzia da Silveira Lopes, que tem contribuıdo com tudo durante toda minha vida.

• A minha noiva, Arlana Thaıse, a qual tem me apoiado, com muito amor e carinho, em minhas escolhas.

• Aos meus irmaos, Darlan e Leticia, pelo apoio incondicional durante esta caminhada.

• Aos meus tios e tias, primos e primas, a todos os meus familiares, obrigado pelo apoio.

• A todos os professores do curso de Matematica da UESB responsaveis pela minha formacao, em especial, aos professores: Benedito Melo Acioly e Wallace Juan Teixeira Cunha por estarem sempre disponıveis a me ajudar.

• A todos os colegas do curso, especialmente a Luiz, Adson e Bruno Rafael, ou melhor, “Seu Lunga”, “Um Milhao” e “Carlitos Tevez”, pela amizade e companheirismo.

• A minha amiga, Dani Lora, por me ajudar no ingles durante a realizacao deste trabalho.

• Aos meus amigos Gleyton, Darlan, Moises, Joaquim e Robson, a galera do “sinuca”, que sempre estiveram comigo em todos os momentos.

• A todos os funcionarios da UESB, em especial aos funcionarios da Biblioteca, do DCE, do Laboratorio de Matematica e do Colegiado do curso de Matematica, pela paciencia, gentileza e disposicao.

• Ao meu orientador, Prof. Antonio Augusto Oliveira Lima, o maior responsavel pelos frutos positivos deste trabalho, agradeco pela disposicao, paciencia e amizade. Uma pessoa excepcional.

Resumo

Iniciamos com uma introducao basica sobre Algebra Linear e Espacos Metricos, para dar suporte no entendimento da definicao de Espacos de Hilbert.

Definimos que um Espaco de Hilbert e um espaco vetorial normado completo, em que a norma provem de um produto interno, ou seja, e um Espaco de Banach proveniente de um produto interno. Provamos que se F e um subespaco fechado de um espaco de Hilbert H, entao H = F ⊕ F⊥, ou seja, o espaco de Hilbert H pode ser escrito como soma direta de um subespaco F com o conjunto de todos os vetores de H ortogonais a F, onde este conjunto e denominado por F⊥ = {x ∈ H : 〈x,y〉 = 0,∀y ∈ F}. Alem disso, mostramos o teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos, em que e enunciado da seguinte maneira: seja A um operador auto-adjunto compacto no espaco de Hilbert H. Entao a famılia de auto-espaco {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores (incluindo 0), e uma decomposicao ortogonal de H.

Palavras-chave: Espacos de Hilbert, Bases Ortonormais, Operadores Auto-adjuntos e Teorema Espectral.

Abstract

We start with a basic introduction about Linear Algebra and Metric Spaces, to give support for the understanding of the definition of Hilbert Spaces.

We define that a Hilbert Space is a complete normed vector space, in which the norm comes from an inner product, that is, it is a Banach Space proceeding from an inner product. We prove that if F is a closed subspace from an Hilbert space H, then H = F ⊕ F⊥, that is, the Hilbert space H may be written as the direct sum of a subspace F as a set of all the vectors from H orthogonal to F, where this set is denominated by F⊥ = {x ∈ H : 〈x,y〉 = 0,∀y ∈ F}. Besides, we show the spectral theorem for compact self adjoint operators, in which it is enunciated in the following way: let A be a compact self adjoint operator on the Hilbert space H. Then the family of eigenspaces {Hc}, where c ranges over all eigenvalues (including 0), is an orthogonal decomposition of H.

Key Words: Hilbert Space, Orthonormal Basis, Self Adjoint Operators and Spectral Theorem.

Sumario

Introducao 9

1 Breve Historico de David Hilbert 10

2.1 Espacos Vetoriais13
2.2 Subespacos15
2.3 Bases e Dimensao15
2.4 Transformacoes Lineares17

2 Topicos de Algebra Linear 13

3.1 Espacos Metricos19
3.2 Espacos Vetoriais Normados20
3.3 Espacos Vetoriais com Produto Interno21
3.4 Sequencias de Cauchy2
3.5 Espacos Metricos Completos23
4.1 Definicao e exemplos de Espacos de Hilbert25
4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais26
4.3 Propriedades dos Espacos de Hilbert28
4.4 Bases Ortonormais em Espacos de Hilbert30
4.5 Funcionais e Operadores34
4.6 Teorema Espectral39

4 Espacos de Hilbert 25 Consideracoes Finais 41

Introducao

O objetivo principal deste trabalho e apresentar, de uma “maneira simples”, a definicao de Espacos de Hilbert e algumas de suas propriedades. Com intuito de servir como um “auxılio”para um estudo de iniciacao em analise funcional.

No Capıtulo 1, sera apresentado um breve historico da vida e obra do matematico

David Hilbert, mostrando seus principais trabalhos e suas contribuicoes para o avanco da matematica.

No Capıtulo 2, mostraremos conceitos basicos da Algebra Linear, com uma abordagem proxima de [2] e [4]. Tais assuntos mencionados neste capıtulo, servirao como pre-requisitos para o entendimento do restante do texto.

O Capıtulo 3 e dedicado ao estudo geral de Espacos Metricos. Veremos as definicoes de espacos vetoriais normados, espacos com produto interno, sequencia de Cauchy, espacos metricos completos e uma nocao de espaco de Banach. Este capıtulo esta baseado em [10] e alguns livros de analise citados nas referencias.

O tema central deste trabalho se encontra no Capıtulo 4, em que consiste em definir

Espacos de Hilbert e mostrar algumas propriedades e aplicacoes destes espacos. Alem disso, sera demonstrado alguns teoremas importantes, como o Teorema da representacao de Riesz e o Teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos. A fundamentacao deste capıtulo pode ser encontrada em [3], [8], [9], [1] e [12].

Capıtulo 1

Breve Historico de David Hilbert

David Hilbert nasceu no dia 23 de Janeiro de 1862, em Konigsberg, na Prussia Oriental, (atual Kaliningrado, na Russia) cidade em que surgiu o problema das sete pontes, resolvido por Leonhard Euler, em 1736. Hilbert recebeu seu Ph.D. na Universidade de Konigsberg em 1885 e lecionou, na mesma, no perıodo de 1886 ate 1894. Em 1895 tornou-se professor da Universidade de Gottigen, na Alemanha, onde permaneceu ate sua aposentadoria em 1930. No dia 14 de Fevereiro de 1943, faleceu na cidade de Gottigen.

Hilbert e considerado como um dos maiores matematicos do seculo X. Realmente, foi um matematico talentoso, contribuindo nas diversas areas da matematica.

Segue abaixo algumas de suas contribuicoes:

• Problema de Dirichlet e o calculo de variacoes (1900-1905);

• Equacoes Integrais, incluindo a teoria espectral e o conceito de espaco de Hilbert (ate 1912).

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