Apostila de análise extrutural 1

Apostila de análise extrutural 1

(Parte 1 de 2)

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil

Apostila de Análise Estrutural I

Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX Programa Especial de Treinamento - PET

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil

Apostila de Análise Estrutural I

Ângela do Valle Henriette Lebre La Rovere

Colaboração dos Bolsistas PET:

Alexandre Garghetti

André Ricardo Hadlich

Talita Campos Kumm Vanessa Pfleger

1. INTRODUÇÃO
1.1Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais
1.2Classificação das peças estruturais quanto à geometria
1.3 Tipos de Vínculos
1.4 Estaticidade e Estabilidade
1.5Reações de apoio em estruturas planas
1.6Reações de Apoio no Espaço
2.ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
2.1 Treliças
2.1.1 Método de Ritter
2.1.2 Método Cremona
2.2 Vigas
2.2.1 Método Direto para Diagramas
2.2.2 Vigas Gerber
2.2.3 Vigas Inclinadas
2.3 Pórticos
2.3.1 Estruturas Aporticadas
2.3.2 Pórtico Simples
2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante
2.3.4 Pórticos Compostos
2.3 Cabos
2.4.1 Reações de Apoio para Cabos
2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos
2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo
2.5 Arcos
2.5.1 Arcos Biapoiados
2.5.2 Pórticos com Arcos
2.5.3 Arcos Triarticulados
3.ESTUDO DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
3.1 Cargas Móveis – Trem-Tipo
3.2 O Problema a Resolver
3.3 Linhas de Influência – Definição
3.4 Obtenção dos Efeitos, Conhecidas as L.I
3.5 Exemplos em Estruturas Isostáticas Simples
3.6 Análise de Efeitos
3.6.1 Teorema Geral
de Cargas Concentradas

SUMÁRIO 3.6.2 Obtenção de Momento Fletor Máximo em uma Seção S de uma Viga Biapoiada para um dado Trem-tipo Constituído

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1 – INTRODUÇÃO

1.1 - Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais

A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são:

-Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes)

x Projeto arquitetônico: -Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior,...) xCarregamento atuante: -Permanente

-VariávelAcidental
Efeito do vento

xCondições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de aceso, içamento) xMaterial estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se:

1º.) Identificar as possíveis opções; 2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ;

1.2 - Classificação das peças estruturais quanto à geometria

Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural.

Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais:

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Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção.

Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas: carregamento contido no plano médio. Cascas: superfície média curva.

Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

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Mz=0 xy Ry

1.3 – Tipos de Vínculos

Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação.

1.3.1 – Vínculos no plano:

No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em duas direções e rotação.

a)Apoio simples ou de primeiro gênero:

Reação na direção do movimento impedido. Exemplo de movimento: rolete do skate. b)Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero:

Exemplo de movimento: dobradiça. c)Engaste: ou apoio de terceiro gênero:

Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.

Ry=0Mz=0 x

Ry Rx=0

Tz x x x Mz Rx

Ry z

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Vínculos no Plano

Tipo de vínculoSímbolo Reações

Cabo

Ligação esbelta

Roletes

Rótula
luva com articulação

Articulação _

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Apoio deslizante

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Rigidez de uma Ligação

Rigidez à Rotação xLigação Articulada Ko 0

xLigação Rígida KofT| 0o

xLigação Semi-Rígida 0 < K<f geometria indeformada geometria deformada

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Exemplos de Vínculos

Apoio rotulado em viga de ponte Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes

ponte rodoviária

Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma

Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares.

A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio

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1.4 –Estaticidade e Estabilidade: a)Estrutura é restringida e número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b)Estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c)Estrutura não é restringida ou número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA.

Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Número de incógnitas: -Externas: reações de apoio ou vinculares

-Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações de apoio) – estruturas fechadas.

Número de equações de equilíbrio:

-Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e três no plano).

-Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos (ex.: rótula). g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações.

Sussekind: g = ge + gi, sendoge= número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno.

gi, = número de incógnitas internas. ge = grau de hiperestaticidade externa gi= grau de hiperestaticidade interna Tipos de Equilíbrio:

Estável Instável Indiferente

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Exemplos: Estruturas Planas Vigas g = número de incógnitas – número de equações = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 ou g = ge + gige= 4 – 4 = 0 gi = 0 Como resolver: 4 incógnitas: VA,HA, VB, VD .

i)¦ FX = 0 HA+= 0
¦ FY = 0 VA + VB + VD= 03 Equações
¦ MA= 0 d1.VB+d2.VD--... = 0

(qualquer ponto)

Uma equação adicional:

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MC= 0 (Parte da direita ou da esquerda da viga) Ex.: À Direita

MC + Rxd + F1Yx(d/2) - VDxd = 0VD= 0

¦ Mo= 0 i) Separar em diversas vigas isostáticas

Estrutura Isostáticag = 0

Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1 Restringida a movimentação de corpo rígido

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Exemplos:Pórticos, Arcos, Quadros. Pórticos:

(Tri-articulado)
g = ge= 3 – 3 = 0 g = ge= 3 – 3 = 0 g = ge= 4 – (3 + 1) = 0
(Tri-articulado) Hiperestática Hiperestática
g = ge= 4 – (3 + 1) = 0 g = ge= 4 – 3 = 1 g = ge= 4 – 3 = 1
4 Incóg.: VA, HA, VB(Ext) Incog(Ext) = 0g = ge + gi
NF10(Int) Incog(Int) = 1 ge= 3 – 3 = 0
ge= 3 – 3 = 0Eq(Ext) = 3 gi= 1
gi= 1Eq(Int) = 1 g = 0
g = ge + gi= 1g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática
Hiperestáticaou ge = 3 - 4= -1 Restringida
Isostática

g =0gi= 1

MC= 0 (À direita ou à esquerda)

MCD= MCE= 0

Teoria das Estruturas 1Departamento de Engenharia de Produção Civil-CEFET/MG 1 b) Cargas Verticais com Linha de Fechamento Inclinada

A resultante das reações RA e RB dos apoios do 2º gênero são decompostas em 2 direções: - Vertical - Paralela a AB (conforme mostra a figura a seguir) vÆ ângulo que AB faz com o eixo dos x.

Analogamente ao que foi visto para linha de fechamento horizontal, será utilizado o artifício da viga de substituição para o cálculo das reações verticais e esforços em uma seção genérica S. Cálculo das reações:

I.6Fx = 0 HA = HB= H'; -- 1 --

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I. 6MA = 0 l.VB = ¦ Pi xi VB = ¦ Pi xi/ l -- 2 --

I.6Fy = 0 VB + VA = ¦ Pi

VA = ¦ Pi - VB -- 3 -- Observa-se que as equações obtidas são idênticas às obtidas no item a.

IV.6MGE = 6MGD = 0 ( Momento Fletor na Rótula é nulo), pela esquerda:

Da viga de substituição, temos que:

1i1ag¦-- 5 --

)xl(PlVMi1il logo:

Mg - H'f cos v = 0 parav = 0 Æ cos v = 1, teremos:

Mg - H'f = 0 -- 6 -- que também equivale a equação encontrada no item a.

Esforços em uma seção S (y Æ medido a partir da linha AB)

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Pela viga de substituição, tem-se:

Linha de Pressões: Igualando a equação 9 a zero vem:

y = MS / H' cos v -- 10 -- Forma do arco que coincide com a linha de pressões, arco submetido apenas a esforço normal.

Vamos mostrar que VS será sempre nulo também: Derivando a equação 10 em relação a x:

D cos'H Vdx dy s

D cos'Hdx dyVs

Levando em conta que y = Y - y * :

Teoria das Estruturas 1Departamento de Engenharia de Produção Civil-CEFET/MG 4 dy, logo, substituindo em 7:

Portanto se MS = 0 então VS = 0 também.

O único esforço atuante no arco é o esforço normal, NS, que pode ser obtido por:

Projetando-se inicialmente H' nas direções horizontal e vertical e em seguida calculandose a resultante em módulo, da composição vetorial das forças horizontais e verticais à esquerda da seção S na direção normal à seção. (NS será de compressão para arcos com concavidade e cargas para baixo).

Pode-se também obter da figura anterior a inclinação da tangente ao arco S:

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g = 1 g = 2

Momento fletor é nulo cos'H sen'HVtg s

Resumindo, linha de pressões:

y = MS / H' cos v onde H' = Mg / f cosvD cos'H sen'HVtgs e, quando a linha de fechamento é horizontal, v = 0:

y = MS / H'

Vtgs M

onde H' = Mg / f'H

Arcos:

g = ge= 3 – 3 = 0 g = ge= 4 – 3 = 1 ge= 4 – (3 + 1) = 0
Isostática Hiperestática Isostática
g = ge= ((3 + 2) – 3)= 2 ge= 3 – 3 = 0 ge= 4 – 3 = 1
gi= 1gi= 1
Hiperestática Hiperestática

Quadros: Conhecidos N1, V1 e M1 obtem-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção.

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1.5 0m

1.50m

2.00m 2.00m 3.00m D

ge= 3 – 3 = 0gi= 3
Não é possível traçar osg = ge + gi = 0 + 3 = 3

diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente as reações de apoio HA, VA, VB.

g = ge + gi = 0 + 6 = 6 Hiperestática internamente

1.5 – Reações de apoio em estruturas planas: 1)

CosD =4/5

SenD =3/5

Decompor a força de 10kN nas direções x e y:

i)¦FX = 0 HA + 6kN = 0 ?HA = - 6kN i)¦FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN i)¦MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0

?7VB = 190 ? VB = 27,14N Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN

Outra maneira seria:

10x(3/5)=6kN

10x(4/5)=8kN 10kN

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Departamento de Engenharia de Produção Civil-CEFET/MG 7 m D

4.00m 4.00m

¦MA = 0

7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 ?7VB = 165+25 = 190

?VB = 27,14kN

Verificação: ¦MB = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) = 0

76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 i)¦FX = 0 -HA + 40 = 0 ?HA = 40kN i)¦FY = 0 VA + VB = 60kN i)¦MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 ?8VB= 400 ? VB=50kN

?VA= 60 – 50 = 10kN

Verificação: ¦MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0

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1.50m 1.50m i)¦FX = 0 HB + 4 -12 = 0?HB = 8kN i)¦FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN i)¦MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 ?3VA= 16 + 12 – 24 = 4

?VA= (4/3) = 1,33kN

?VB= 12,67kN

Verificação: ¦MA = 0 r=3; b=5; n=4. r + b = 2n

4) Pórtico Tri-articulado

5 + 3= 2x4

4.0 0m i)¦FX = 0 HA + HB +20 -12 = 0 ?HA+ HB = -8kN i)¦FY = 0 VA + VB = 10x4 = 40kN i)¦MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0 ?4VB= 80 – 24 + 80 ? VB=34kN

?VA= 40 – 34 = 6kN iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.) x4 Incógnitas (Reação) x3 Equações Estáticas x1 Equação interna xMCD = MCE = 0

Isostática

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2.00m 4.00m

Verif.¦MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 48 + 24 +24 – 80 = 0

Determinar a reação de apoio 2.00m 6.00m

¦FX = 0 (o+) RAX - RBX = 0? RAX = RBX (I)

¦FY = 0 (n+) RAY - RBY - 20 - 112= 0 ? RAY + RBY = 132

¦MA = 0(20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0
6

RBX= 160 + 448 ? RBX=101,33kN

MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0 Ou MC =(6x2) – (20x1) – (4HA)

Mas MC=0o 4HA= 12 – 20 = -8

?HA= – 2kN

?HB= –8 + 2 = -6kN

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RBY = 132 - RAY ? RBY=30,67kN

RAX = RBX(I)? RAX=101,33kN RAX = RBY(45º)? RAY=101,33kN

RA = RAX/cos 45º ? RA= (RAX)x2 =143,30kN

2 Conferindo

¦MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0 10 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0

-184 + 184 – 608 + 608 =0 184 – 184 = 0

12.00m 3.00m

6.00m 6.00m i)¦FX = 0 RAX = RBX i)¦FY = 0 RAY – 12(12) – 30 RAY= 174kN i)¦MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0

12

RBX = 600 + 864 RBX= 122kN RAX= 122kN

Conferindo

¦MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0

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3.00m3.00m6.00m3.00m kN210

¦MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0

732 + 2016 + 732 – 3480 = 0

Achar as reações de apoio para a viga abaixo :

Balanço

Determinar as reações de apoio para a viga:

72nn (144/2) = 72 34nn 10 + 24 = 34 (8x3)/9 = 2,67 n (8x6)/9 = 5,3

108,67nn 1,3

6nn (12/2) = 6 6nn 6 + 8 = 14 2,67nn (20-12)/3=2,67

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1.6 – Reações de apoio no espaço: 6 Equações de Equilíbrio:

¦FX = 0; ¦FY = 0; ¦FZ = 0; ¦MX = 0; ¦MY = 0; ¦MZ = 0

1) TreliçaIsostáticar + b = 2n

Restringida

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Departamento de Engenharia de Produção Civil-CEFET/MG 13 r = 3x3 = 9 b = 3 h = 4 r + b = 3xh 9 + 3 = 3x4 12 = 12

3 incógnitas N1, N2, N3

3 equações: ¦FX = 0, ¦FY = 0, ¦FZ = 0

5.0 0m

Inicia-se pelo equilíbrio do nó D:

Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio.

2) Pórtico Espacial

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Isostática6 reações 6 equações de equilíbrio Restringida i)¦FX = 0 RAX – 2tf = 0 ?RAX = 2tf i)¦FY = 0 RAY – 4tf = 0 ?RAY= 4tf i)¦FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 ?RAZ= 1tf iv)¦MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 ?MAX= 17tfm v)¦MY = 0 MAY + (2x3) + (1x4) = 0 ?MAY= -10tfm vi)¦MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 ?MAZ= 6tfm

2 – ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

2.1 – Treliças

Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direção é predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós).

Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas somente a esforços axiais.

Estaticidade e Estabilidade: Condições para obtenção de uma treliça isostática: 1.equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 2.número de incógnitas (*) igual ao número de equações de equilíbrio da estática (**).

(Incógnitas Externas)(Incógnitas Internas)

* O número de incógnitas é dados por: - número de reações (r) + número de barras (b). ** Número de equações de equilíbrio é o resultado do:

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- número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência de uma equação no eixo x e outra no y).

Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 1a. Condição 2a. Condição Classificação indeslocável e r + b = 2n Isostática indeslocável e r + b > 2n Hiperestática deslocável our + b < 2n Hipostática

Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 1.Equilíbrio dos Nós; 2.Ritter; 3.Cremona (Maxwell).

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