Matemática ensino fundamental

Matemática ensino fundamental

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ConteúdoPág.

Conjunto dos números naturais; 02

Operação em N : adição e subtração , expressão numéricas em N, multiplicação e divisão , potenciação e radiciação; 02

Múltiplos e divisores: MMC e MDC 05

Número fracionários: redução e comparação de frações . operação com frações; 07 Numerais decimais: operação de frações , operação com frações : 08

Razões e proporções: aplicação das proporções, grandeza proporcional, regra de três: 20

Expressões algébricas: operações algébricas, produtos notáveis, fatoração; 10

Conceito de Função 14 Função do 1º grau 16

Taxa de Porcentagem 24 Juros Simples 26 Ângulos congruentes 27

Equações do 2º Grau 28 Comprimento da Circunferência 31 Medida de Superfície 32

Relações Métricas no Triângulo Retângulo 39 Ângulos agudos e ângulos obtusos 4

Ângulos complementares 45 Ângulos suplementares 47 Ângulo opostos pelo vértice 48

Classificação dos polígonos 51 Bibliografia a Consultar 56

Número Natural

Não levando em conta a qualidade dos elementos que constituem os conjuntos que estão em correspondência biunívoca, verificamos que eles possuem uma propriedade comum – a quantidade de elementos ou o número de elementos.

A propriedade comum aos conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca é o que chamamos de número natural. Os números naturais constituem um conjunto denominado conjunto dos números naturais .

N = { 0, 1 ,2, 3 , 4}
N* = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5} é o conjunto dos números naturais excluído o 0.

indica-se pela letra N.

Operações fundamentais com números naturais Adição

A reunião de dois conjuntos A e B disjuntos ( sem elementos comuns ) é constituída pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Sejam :

n(A) = 6 – número de elementos do conjunto A n(B) = 5 – número de elementos do conjunto B

Daí resulta: n(A U B ) = 1 número de elementos do conjunto reunião.

Vemos que : n(A) + n(B) = n (A U B ou 6 + 5 = 1

A operação que fizemos chama-se adição, 6 e 5 são as parcelas e o resultado da operação , 1 , é a soma .

A adição faz corresponder a dois números dados em certa ordem ( par ordenado ) um único número que é a soma do primeiro com o segundo.

Atividade de Classe 1. Responda:

a)Como se chamam os termos de uma adição? b) Na igualdade 36 + 64 = 100 , como é chamado o número 100 ? c) Na igualdade 21 + 69 = 90 , como se chamam os números 21 e 69 ?

2. Calcule:

a) 85 + 135 b) 3025 + 4975 c) 2001 + 299 d) 3025 + 4975 e) 10906 + 3286 f) 43205 + 16895

3. Resolva os problemas: a) Helena tinha um saldo de Cr$ 172 906,0 na sua caderneta de poupança.. No último trimestre, recebeu Cr$43 218,0 de juros e correção monetária. Com que saldo ficou? b) Júnior comprou um aparelho de som para o seu carro por Cr$ 165 40,0. A seguir, pagou Cr$ 13 50,0 para a sua instalação . Quanto gastou ao todo? c) De acordo com o censo de 1980, Rondônia , o mais novo estado da Federação, tem uma população urbana de 233 301 habitantes e uma população rural de 259 509 habitantes. Qual é a população total de Rondônia ?

Propriedade estruturais a) Fechamento : A soma de dois números naturais é um número natural .

5 N , 6 N ( 5 + 6 ) N b) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.

4 + 8 = 12 8 + 4 = 12 c) Elemento neutro: No conjunto dos números naturais , zero é chamado elemento neutro da adição. 5 + 0 = 5; 0 + 7 = 7 d) Associativa: A adição de três parcelas pode ser feita associando –se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas indiferentemente. ( 5 + 13 ) + 4 = 5 + ( 13 + 4 )

Atividade de Classe

1. Nas relações abaixo, diga qual é a propriedade estrutural que está sendo empregada: a) 9 N , 15 N ( 9 + 15 ) N b) 8 + 7 = 7 + 8 c) 18 + 0 = 18 d) (2 + 15) + 17 = 2 ( 15 + 17 ) e) 0 + 9 = 9 f) 32 + 18 = 18 + 32

a) Numa adição, a ordem das parcelas não altera a
b) O elemento neutro da adição é o número
c) A soma de dois números naturais é um número

2. Copie as sentenças seguintes, completando-as para que fiquem verdadeiras: Multiplicação

Produto de dois números Consideremos a soma de 5 parcelas iguais a 3.

3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15 Esta soma pode ser indicada por 3 x 5 = 15 ( ou 3 . 5 = 15 ) que se lê : “3 vezes 5 igual a 15”, e recebe o nome de produto. Pode –se dizer que produto é a soma de parcelas iguais e a operação é a multiplicação . Então:

A parcela que se repete, chama-se multiplicando; o número de parcelas repetidas, multiplicador e o resultado, produto.

} 4 + 8 =8 + 4

3 x 5 = 15 produto multiplicador são também chamados fatores multiplicador

Não se pode falar em produto, se o multiplicador for 1 ou 0 . Entretanto , aceita-se que a multiplicação de qualquer número por 1 dá o próprio número e a multiplicação de qualquer número por zero dá zero. Assim:

3 x 1 = 3; 3 x 0 = 0

Pode-se dizer que a multiplicação faz corresponder a dois números dados em certa ordem ( par ordenado ) um terceiro número que é o produto do primeiro pelo segundo.

Assim: ( 3 , 5 )15

ao par ordenado ( 3, 5 ) , a multiplicação faz corresponder o número 15 qual é o produto de 3 por 5

3. Calcule: a) 83 x 35 b) 123 x 42 c) 75 x 39 d) 209 x 78 e) 47 x 26 f) 625 x 25

4. Resolva os problema: a) Em junho de 1983, o litro de álcool hidratado custava Cr$ 178,0. O tanque de um Volkswagem

Voyage comporta 52 litros. Quanto se gastava para encher o tanque de um Voyage? b) Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos. Quantos segundos há em 15 minutos c) O salário – família recebido por um trabalhador é de Cr$ 1 738,0 por filho menor de 14 anos .

Quanto receberá um operário que tem 56 filhos nessa condições?

Propriedade estruturais a) Fechamento : O produto de dois números naturais é sempre um número natural. 2 N, 5 N 2 x 5 N b) Comutativa : A ordem dos fatores não altera o produto. 7 x 4 = 28

4 x 7 = 28 c) Elemento neutro: O numero 1 multiplicado por qualquer número e em qualquer ordem, dá por produto aquele mesmo número. 5 x 1 = 1 x 5 = 5 d) Associativa: Numa multiplicação de três fatores , podem-se associar os dois primeiros ou os dois últimos, indiferentemente .

} 7 x 4 = 4 x 7

( 4 x 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40 4 x ( 5 x 2 ) = 4 x 10 = 40

Atenção! Se um produto de três ou mais fatores um deles é zero, o produto é igual a zero:

3 x 3 x 5 = 0 ; 8 x 12 x 0 x 7 = 0 e) Distributiva da multiplicação em relação à adição ( ou subtração ):

O produto de um número por uma soma ( ou diferença ) pode ser obtido, multiplicando –se o número por cada um dos termos da soma ( ou diferença ) e adicionando-se ( ou subtraindo –se ) os produtos parciais. Assim:

9 x ( 3 + 2 ) = 9 x 5 = 45 9 x 3 + 9 x 2 = 27 + 18 = 45

4 x (7 – 3 ) = 4 x 4 = 16 4 x 7 – 4 x 3 = 28 – 12 = 16

Máximo Divisor Comum

Consideremos os conjuntos dos divisores, respectivamente, dos números 40 e 16. D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40} D(16) = {1,2,4,8,16}

Observando que D(40)D(16) = { 1,2,4,8}, podemos afirma que : a) Os divisores comuns de 40 e 16 são 1,2,4,8.

b) O maior divisor comum de 40 e 16 é 8. Então, o número 8 é chamado máximo divisor comum de 40 e 16, que será representado por mdc (

40 , 16 ) = 8. Daí podemos dizer que :

Dados dois ou mais números , não simultaneamente nulos, chama-se máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores comuns.

Atividade de classe

a) D (15) b) D (32) c) D (54)
D (18)D (28) D (42)
D (15) D (18)D (32) D (28) D (24)
mdc (15,18)mdc ( 32 , 28 ) D (54) D (42) D (24)
mdc( 54, 42, 24 )

Determine:

d) D ( 45 ) D ( 36 ) D ( 27 )

} ( 4 x 5 ) x 2 = 4 x (5 x 2 )

} 9 x ( 3 + 2 ) = 9 x 3 + 9 x 2 } 4 x ( 7 – 3 ) = 4 x 7 - 4 x 3

Técnicas para o cálculo do mdc Vamos determinar o máximo divisor comum de 60 e 24. Á sabemos que:

D (60) D (24 ) = {1,2,3,4,6,12} mdc ( 60 , 24 ) = 12.

Mínimo Múltiplo Comum

M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60}
M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64}
M(12) = { 0,12,24,36,48,60}
Observando que M (6) M(8) M(12) = {0,24,48}, podemos afirmar que :
a) Os múltiplos comuns de 6,8 e 12 são 0,24,48

Consideremos os conjuntos dos múltiplos, respectivamente, dos números 6,8 e 12: b) O menor múltiplo comum, diferente de zero, de 6 ,8, e 12 é 24.

Então , o número 24 é chamado mínimo múltiplo comum de 6,18 e 12 , que representaremos pr mmc (6,8,12) = 24

Dados dois ou mais números, diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum desse números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.

Atividade de Classe.

a)c)
M (9)M(10)
M(6)M (8)
M(9) M(6)M (10) M (8)
mmc (9,6)mmc (10,8)
d)d)
M (6 )M(12)
M (15 )M(18)
M (10 )M(9 )
M (6) M(15) M(10)M(36)
mmc ( 6,15,10)M(12) M(18) M(9) M(36)

Determine o que pede: mmc ( 12,18,9,36)

Técnicas para o cálculo do mmc

Podemos determinar o mmc de dois ou mais números diferentes de 0 pelo processo da decomposição em fatores primos, conforme a seguinte regra:

a) Decompõe-se cada número em fatores primos. b) O mmc será o produto de todos os fatores comuns e não comuns, cada um deles elevados ao maior expoente.

MMC = 23 x 3 = 24

A idéia de número fracionário Para exprimirmos o número de elementos de um conjunto finito, empregamos um só número natural.

Para expressarmos, matematicamente , uma parte ou algumas parte iguais de um todo, vamos usar um par ordenado de números naturais.

Lê-se: meio ou um meioLê-se: três quintos
Indica-se:1 . indica-se : 3 .
25
25

Os pares de números naturais 1 , 3 são chamados frações ou números fracionários. Então:

Chama-se fração todo par ordenado de números naturais com o segundo 0 onde:

a) o primeiro número indica quantas partes tomamos do inteiro. b) O segundo número indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

Atividade de Classe Observando os exemplos dados, expresse qual fração da figura toda é a parte colorida:

a)b) c)

Operações

23 6 6
Subtração 3 - 1 =3 - 2 = 1 mmc = 4
42 4 4
Multiplicação 2 x 3 =6 .
57 35
Divisão 3 :4 = 15 .
75 28

Adição 1 + 2 = 3 + 4 = 7 mmc = 6

Expressões literais ou algébricas

Sabemos que podemos usar letra (a, b, c, x, y) para representar números e que são

Introdução denominados numerais literais.

Assim, observe as seguintes situações: 1ª situação: A figura abaixo nos mostra um retângulo cujas dimensões são 5 cm e 3 cm.

Expressões deste tipo são chamadas expressões numéricas. 5 cm

A medida do perímetro do retângulo é dada pela expressão 2.(5) + 2 .(3), que contém apenas números.

2º situação: A figura abaixo nos mostra um retângulo cujas dimensões são x e y.

Expressões deste tipo são chamadas expressões numéricas. 3º situação: A figura abaixo nos mostra um bloco retangular cujas dimensões são a, b, e c

Expressões deste tipo são chamadas expressões literais.

Expressões literal ou algébrica Uma expressão matemática que contém números e letra, ou somente letras, é denominada expressão literal ou algébrica.

5x – 1 , a2 + ab , x2 – 2x + 1 , a - b

Exemplos 2a

As letras ( ou numerais literais ) representam, indistintamente, um número qualquer de um conjunto numérico é , por isso, são chamadas variáveis . Usaremos, daqui por diante, a expressão número a, em vez da expressão y A medida do perímetro do retângulo é dada pela expressão 2.x + 2 . y, que contém números e letras.

A medida do volume do bloco é dada pela expressão a . b . c que contém apenas letras.

A expressão algébrica inteira e fracionária

Observe as expressões algébricas abaixo. Identifique com a letra I as que não apresentam variáveis no denominador, e com a letra F as que apresentam variáveis no denominador:

a) 3x - 2yb) x + y c) x - y
2x
d)1 . e) √a + √b f) a + 1
a + b2x
g) 3 + 1h) x + y i) x2 y
xx2 2 3 10

você assinalou com a letra I as expressões algébricas:

22 3 10

3x – 2y , x + y , √ a + √ b , x + y , x2 y você assinalou algébricas que não contêm varáveis no denominador são denominadas expressões algébrica inteiras.

x - y ,1 , a + 1 , 3 + 1 .
xa + b 2x x x2

Você assinalou com a letra F as expressões algébrica :

Expressões algébricas que apresentam variáveis no denominador são denominadas expressões algébricas fracionárias

Produtos Notáveis

Existem certas igualdades matemáticas, de uso freqüente no cálculo algébrico, que são denominadas produtos notáveis.

Os principais produtos notáveis são : Quadrado da soma de dois termos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

De fato , pois: (a + b )2 = ( a + b ) (a + b ) = a2 + 2ab + b2

2º termoduas vezes o produto dos termos

quadrado do 2º termo 1º termo quadrado do 1º termo

Daí , a seguinte Regra

O quadrado da soma de sois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termos.

 Quadrado da diferença de dois termos( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

De fato, pois: (a – b )2 = ( a – b ) ( a - b) = a2 – 2ab + b2

2º termoquadrado do 2º termo
1º termoduas vezes o produto dos termos

quadrado do 1º termo

Daí, a seguinte

Regra

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos: 1) ( 3x – 1)2 = (3x)2 – 2. (3x) (1) + (1)2 = 9x2 – 6x +1 cubo da soma de dois termos (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 de fato, pois : ( a + b )3 = ( a + b )2 . (a + b ) = ( a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplos

cubo da diferença de dois termos ( a – b )3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3

De fato . pois: ( a – b )3 = ( a – b )2 . (a – b ) = ( a2 – 2ab + b2) ( a – b ) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Produto da soma de sois termos Pela sua diferença ( a + b ) (a - b) = a2 – b 2

De fato , pois 1º termo ( a + b ) ( a - b ) = a (a – b ) + b (a – b ) = a2 – b2 quadrado do 2º termo quadrado do 1º termo

Daí, a seguinte Regra

O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos: 1) ( x + 3 ) ( x - 3 ) = (x)2 - (3)2 = x2 - 9

Exercício de fixação

Fatoração

Introdução Consideremos os seguintes problemas: 1º) Escrever o número 90 na forma de um produto indicado.

Para isso, decompomos 90 em fatores primos:

2º) Escrever a expressão 3 + 12 na forma de um produto indicado. Para isso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação:

3 + 12 = 3 . ( 1 + 4 ) 3 . ( 1 + 4 ) = 3 . 1 + 34 = 3 + 12

forma fatorada da expressão

Assim, que escrevemos um número ou uma expressão na forma de um produto indicado, dizemos que estamos escrevendo o número ou a expressão na forma fatorada

Fatorar um número u uma expressão significa decompor o número ou a expressão num produto indicado.

Surgem , então , as perguntas: a) será que podemos fatorar um polinômio? b) Quando podemos fazê-lo?

As respostas serão dadas no estudo desta Unidade, importantíssima pela sua aplicação no cálculo algébrico.

Fatoração de Polinômios

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou de monômios e polinômios.

Estudaremos os caso simples de fatoração de polinômios

1º Caso: Colocação de um fator comum em evidência

Observe as seguintes situações: A figura abaixo nos mostra um retângulo cujas dimensões são x e y.

A medida do perímetro do retângulo pode ser representada pela expressão: 2x + 2y ou 2 . ( x + y ) propriedade distributiva da multiplicação então :

2x + 2y = 2 . ( x + y ) Nesta igualdade, destacamos:

2( x + y) é a forma fatorada da expressão 2x + 2y,. 2 é chamado fator comum aos termos da expressão 2x + 2y e que foi colocado em evidência.

A figura seguinte nos mostra três retângulos: o retângulo ABCD, o retângulo AMND e o retângulo MBCN.

x y a b

ac + b . c = ( a + b ) . c

Facilmente , observamos que : Área do retângulo AMND + Área do retâgulo MBCN = Área do retângulo ABCD ou seja: ac + ac = ( a + b ) c nesta igualdade , destacamos:

( a + b ) c é a forma fatorada da expressão ac + bc. C é chamado fator comum aos termos da expressão ac + bc e que foi colocado em evidência

Consideremos, agora, o polinômio ax + bx ax + bx = x ( a + b ) pela propriedade distributiva da multiplicação

O conceito intuitivo de função

O conceito de função é um dos mais importantes da matemática, tendo destaque não openas na maioria das teorias nela desenvolvida, mas também no nosso quotidiano. Por isso, vamos apresentar esse conceito primeiro informalmente, para depois formalizá-lo.

Suponha que a tabela de preços a seguir corresponda às passagens do Metrô de São Paulo:

Passagens Preço a

Observe que essa tabela fixa uma dependência entre o número de passagens e o preço a pagar. Se chamarmos de x o número de passagens e de y o preço a pagar, esses duas grandezas estarão relacionadas de tal forma que para cada valor de x existe, um correspondência , um único calor de y, dado pela expressão y = 50x. Dizemos, então, que y é função de x.

Definição

Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B qualquer relação entre tais conjuntos que faça corresponder , a cada elemento de A, um e um só elemento de B.

Indica-se a função de A em B com a notação.

f f: A B ou A B

Isto que dizer que existe uma lei f que leva os elementos de A aos elementos de B, de tal modo que : Todo elemento de A tem corresponde em B;

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