INTEGRAIS TRIPLAS

INTEGRAIS TRIPLAS

  • As INTEGRAIS TRIPLAS são ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume, centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros.

APLICAÇÃO 1 Nestaaplicação iremoscalcular o volume de um cilindro circular reto de duas maneiras. Primeiro usaremos a fórmula da geometria e depois faremos o cálculo deste volume usando integrais triplas.

Observe abaixo o cilindro com altura h = 5 cm e raio da base r = 2 cm.

  • Observe abaixo o cilindro com altura h = 5 cm e raio da base r = 2 cm.

  • cuja equação é x + y = 4 no espaço tridimensional.

Sabemos que seu volume V é dado pela equação

  • Sabemos que seu volume V é dado pela equação

  • Volume = (área da base).(altura)

  • V = (π.2 ).(5) cm = 20π cm

  • Agora realizaremos o cálculo usando integrais iteradas. Note que podemos dividir o sólido em quatro partes. Vamos considerar a parte do sólido que está no primeiro octante e depois multiplicaremos o resultado por 4.

Observe que a variável z é maior ou igual a zero e menor ou igual a 5.

  • Observe que a variável z é maior ou igual a zero e menor ou igual a 5.

  • 0 ≤ z ≤ 5

  • No plano xOy, usaremos coordenadas polares.

V = ∫ ∫ ∫ rdrdθdz

  • V = ∫ ∫ ∫ rdrdθdz

  • Primeiro resolveremos a integral ∫ rdr = 2

  • Agora vamos calcular ∫ 2 dθ = π

  • Iremos calcular ∫ π dz = 5 π

  • Por último multiplicamos o resultado por 4.

  • Donde concluimos que V = 20π.

  • “ Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível.”

  • São Francisco de Assis.

Comentários