(Parte 4 de 5)

Em x = 0 (centro da chapa), o campo elétrico é nulo devido à simetria da distribuição da carga em torno dessa região. Portanto, o fluxo de campo através da base do cilindro gaussiano é nulo. Ao longo da área lateral do cilindro o fluxo também é nulo, pois nessa região o campo elétrico é ortogonal ao vetor dA. Portanto, somente há fluxo de campo através do topo do cilindro.

Vdd d ρε++ =∫∫ ∫EA EA EA

0 xEρε=

No interior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo cresce linearmente com a distância a partir do seu plano mediano.

(a) Considere o esquema a seguir:

x De maneira semelhante:

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Vdd d ρε++ =∫∫ ∫EA EA EA

No exterior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo é constante.

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47. Uma esfera sólida não condutora, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme, a densidade de cargas sendo dada por ρ = ρe r/R, onde ρe é constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total na esfera é Q = πρeR3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera é determinado por

(Pág. 53)

Solução. (a) Considere o esquema abaixo:

dA E

Carga total na esfera:

dV R ρρ==

3πρρπ==(1)

(b) Carga no interior da esfera de raio r, partindo-se de (1): 4

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(2)

Qr Aplicação da lei de Gauss à superfície esférica de raio r:

.qdε=∫EAv(3)

Substituindo-se (2) em (3):

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49. Ernest Rutherford disse, num artigo científico, em 1911: "A fim de ter uma idéia das forças necessárias para provocar grandes desvios numa partícula alfa, suponhamos que uma carga puntiforme positiva Ze esteja no centro do átomo, circundada por uma distribuição de

Eem um ponto dentro do átomo, à distância r do seu centro, [é]

eletricidade negativa −Ze, uniformemente distribuída numa esfera de raio R. O campo elétrico

(Pág. 53)

Verifique essa equação

Solução.

Considere o seguinte esquema, que mostra a seção transversal de um átomo esférico de raio R, que possui carga positiva Ze concentrada no centro e densidade ρ de carga negativa homogeneamente distribuída no volume da esfera. Foi construída uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada no átomo.

− dA E

Aplicando-se a lei de Gauss:

.qZeVdρεε−==∑∫EAv(1)

Na Eq. (1), a carga líquida no interior da casca esférica gaussiana, q∑, corresponde à carga do núcleo, +Ze, mais a carga eletrônica contida nessa região, −ρV, em que V é o volume da casca esférica gaussiana.

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ZeZer R EA

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50. A Fig. 38 mostra o modelo de Thomson para o átomo de hélio (Z = 2). Dois elétrons em repouso estão enterrados dentro de uma esfera uniforme de carga positiva 2e. Determine a distância dentre os elétrons para que a configuração fique em equilíbrio.

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Solução. (a) Considere o esquema abaixo:

dA E+

Para que haja equilíbrio eletrostático nesse sistema, a resultante das forças sobre cada elétron deve ser nula. Cada elétron está sujeito a duas forças: repulsão devido ao outro elétron e atração devido à camada esférica de cargas positivas de raio d/2. As cargas positivas da camada esférica com raio maior do que d/2 não exercem força sobre os elétrons.

0(1) −+=+F

Repulsão elétron-elétron: 2

dπε−=Fr(2)

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E(3) e+=−+F

Carga positiva na esfera de raio r = d/2:

q e

V d Rρ ππ

=(4)

Campo produzido pela esfera de raio r = d/2 em sua superfície (lei de Gauss):

(5) 20.4Edπε+=q

Substituindo-se (4) em (5): 3

Em termos vetoriais:

Rπε=+Er(6)

Substituindo-se (6) em (3): 2

Rπε+=−Fr(7)

Substituindo-se (2) e (7) em (1): 2 ed e Rdπεπε−+r=

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