exercicios analise numerica

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(Parte 1 de 8)

MATEMATICA COMPUTACIONAL Exercıcios

Filipe J. Romeiras

Departamento de Matematica Instituto Superior Tecnico

Junho de 2008

1. REPRESENTAC AO DE NUMEROS E TEORIA DE ERROS1

[1.1] Represente x num sistema de ponto flutuante com 4 dıgitos na mantissa e arredondamento simetrico, nos seguintes casos:

Determine os respectivos erros absolutos e relativos, bem como as percentagens de erro. Comente sobre os valores obtidos.

(a) Obtenha aproximacoes x e y de x e y, respectivamente, num sistema de ponto flutuante com 4 dıgitos na mantissa e arredondamento simetrico. Obtenha ainda z = fl(x − y).

(b) Calcule os erros absolutos e relativos de x, y e z, bem como as percentagens de erro. Comente.

(c) Com o objectivo de ilustrar a influencia nos resultados da precisao utilizada repita as alıneas(a) e (b) usando um sistema de ponto flutuante com 6 dıgitos na mantissa.

Determine o numero de algarismos significativos que se pode garantir a x × y, x ÷ y, x + y, x − y, ao efectuar as operacoes num sistema de ponto flutuante FP(10, 7, -38, 38) com arredondamento simetrico.

(a) Obtenha aproximacoes x e y para x e y, respectivamente, num sistema de ponto flutuante FP(10, 6, -10, 10) com arredondamento simetrico.

1O asterisco ∗ a seguir ao numero do exercıcio indica “exercıcio recomendado”.

(b) Calcule os erros absolutos e relativos de x e y.

(c) Calcule, efectuando as operacoes num sistema FP(10, 6, -10, 10) com arredondamento simetrico, valores aproximados das quantidades

(d) Calcule os erros absolutos e relativos as quantidades calculadas na alınea anterior.

(e) Determine o numero de algarismos significativos que se pode garantir a cada um das quantidades calculadas na alınea (c).

(f) Repita as alıneas (a) e (b) e a parte respeitante a quantidade x − y das alıneas (c)-(d)-(e) considerando um sistema FP(10, 9, -10, 10) com arredondamento simetrico.

[1.6] Determine o erro absoluto cometido no calculo do determinante da matriz

se utilizar um sistema de ponto flutuante com 6 dıgitos na mantissa e arredondamento simetrico.

Com a finalidade de calcular

dois indivıduos, usando uma maquina com 3 dıgitos na mantissa e com arredondamento simetrico, efectuaram esse calculo de forma distinta, mas aritmeticamente equivalente.

O indivıduo X calculou A + B, depois C + D, somou os valores, e dividiu por E, obtendo F = 0.

Por seu turno, indivıduo Y calculou A+C, depois B+D, somou os valores, e dividiu por E, obtendo F = −100.

Verifique os calculos efectuados pelos dois indivıduos e comente a disparidade de resultados obtidos, atendendo a que se usaram processos matematicamente equivalentes.

[1.8] Sendo x e y numeros positivos considerados num sistema de ponto flutuante decimal tais que x > y e

mostre que pelo menos p e no maximo q dıgitos significativos sao perdidos ao efectuar a diferenca x − y.

(a) Determine para que valores de x o calculo de f(x) conduz a um problema mal posto.

(b) Determine as expressoes dos erros relativos dos dois algoritmos. (c) Determine para que valores de x os algoritmos sao numericamente instaveis.

[1.1] Sejam x, y, z valores aproximados de x,y,z, respectivamente, com erros relativos δx,δy,δz. Determine uma estimativa do erro relativo cometido no calculo de v = xy + z num sistema de ponto flutuante com unidade de arredondamento u e usando os valores aproximados.

(a) Determine as expressoes dos erros relativos dos tres algoritmos.

(b) Supondo que x e y sao representados exactamente no sistema de ponto flutuante utilizado, determine para cada algoritmo condicoes para as quais este algoritmo e numericamente de mais confianca que os outros.

onde θ1,θ2,...,θp,ψ sao p+1 funcoes elementares. Determine a expressao do erro relativo de z em termos dos erros relativos das componentes de x e dos erros de arredondamento

[1.14] Considere o metodo iterativo a um passo com funcao iteradora g : R → R:

Determine o erro relativo de zn+1 expresso em termos do erro relativo do valor inicial z0 e dos erros relativos de arredondamento no calculo dos sucessivos valores da funcao g.

[1.15]∗ Suponha que pretende calcular a soma de tres numeros reais a,b,c, S = a+b+c, usando os dois seguintes algoritmos:

calcule o valor exacto de S.

(b) Para os valores de a,b,c da alınea (a), e supondo que efectua os calculos num sistema FP(10, 8, -10, 10), com arredondamento simetrico, calcule valores aproximados de S usando os dois algoritmos indicados.

(c) Determine os erros relativos dos valores obtidos na alınea (b).

(d) Determine a expressao do erro relativo do algoritmo (1) em termos dos erros relativos das parcelas e dos erros de arredondamento das duas operacoes. Utilize este resultado para concluir qual a ordem por que deve proceder a soma por forma a minimizar os efeitos dos erros de arredondamento.

FP(10, 3, -10, 10), com arredondamento simetrico, calcule valores aproximados de f(4.71) usando os dois algoritmos indicados.

(c) Determine os erros relativos dos valores obtidos na alınea (b).

(d) Determine a expressao do erro relativo do algoritmo de Horner em termos dos erros relativos de a,b,c,x e dos erros de arredondamento das operacoes efectuadas.

com coeficientes b e c reais positivos. Considere os dois seguintes algoritmos para o calculo das raızes x1 e x2 da equacao:

(b) Para b = 34.56, c = 1, e supondo que efectua os calculos num sistema FP(10, 4, -10, 10), com arredondamento simetrico, obtenha valores aproximados para as raızes usando os algoritmos indicados.

(c) Determine os erros relativos dos valores obtidos na alınea (b).

(d) Determine as expressoes dos erros relativos dos dois algoritmos indicados em termos dos erros relativos dos coeficientes b,c e dos erros de arredondamento das operacoes efectuadas. Suponha que a raiz quadrada e uma operacao elementar.

(a) Resolva o sistema pelo metodo da eliminacao de Gauss.

(b) Suponha que o sistema e resolvido numa calculadora onde os numeros sao representados num sistema de ponto flutuante com 6 dıgitos na mantissa. Que solucao obteria nesse caso? Compare com a solucao exacta.

(c) Suponha que o sistema e resolvido na mesma maquina, mas usando pesquisa parcial de pivot. Qual e o resultado nestas condicoes? Compare com o resultado da alınea anterior e comente.

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