Relação de Equivalencia - Algebra Moderna

Relação de Equivalencia - Algebra Moderna

Eunápolis-Bahia 2010

Ana Cátia Macedo

Dárli Almeida de Sousa Leila dos Santos Câmara Zainne Oliveira do Rosário

Trabalho de Álgebra Moderna, no curso de Licenciatura em Matemática, 3º Semestre, orientado pelo professor Jailson de Araújo.

Eunápolis-Bahia 2010

Dois elementos são equivalentes quando são relacionados por uma relação de equivalência.

Como exemplo de relação de equivalência podemos observar um conjunto B, como o de pessoas no banco e a relação “q está na mesma fila r que t” em horário de expediente. Se indicarmos através desta relação todas as pessoas de B que se relacionam com as outras, teremos o conjunto B formado pelos subconjuntos correspondentes a cada fila.

Desta forma, cada relação de equivalência particiona o conjunto no qual é definida. Os blocos de partição são os subconjuntos que formam esta partição, e são formados pelo grupamento dos elementos que se relacionam.

Definição: Uma relação R sobre o conjunto A não vazio é chamada de relação de equivalência sobre A se, e somente se, ela satisfazer as condições de ser reflexiva, simétrica ou transitiva. Então, deve cumprir as seguintes propriedades:

(i) Se a Є A, então aRa;

(i) Se a, b Є A, então bRa;

(i) Se a, b, c Є A, e aRb e bRa, então aRc.

Exemplo:

Podemos perceber:

Reflexiva: R é reflexiva, pois {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) C R; Simétrica: Já que a Є R(b) b Є R(a); Transitiva: Já que b Є R(a) e c Є R(b) c Є R(a).

Uma relação de equivalência permite dividir o conjunto nas chamadas classes de equivalência. Definição: Seja R uma relação de equivalência sobre A. Dado a, com a Є A, chama-se classe de equivalência determinada por a módulo R o subconjunto a de A constituído pelos elementos xRa. Simbolicamente:

a= {x Є R l xRa}

A construção das classes de equivalência é importante para gerar o conjuntoquociente.

Definição: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por A/R e chamado conjunto-quociente de A por R. Exemplo:

Definição: Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: (i) Dois membros quaisquer da classe P(A) ou são iguais ou são disjuntos; (i) A união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

2. Sejam A= {x Є Z l x é par}

B = {x Є Z l x é ímpar}

Então M = {A,B} é uma partição de Z.

RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ARITMÉTICA SOBRE Zm

Vamos provar que Zm é grupo abeliano, para isso, definiremos neste tópico as operações da adição e da multiplicação num conjunto Zm (conjunto das classes de equivalência de módulo m), de classes de restos, de modo que (m>1). Também serão mostradas algumas das propriedades dessas operações. 1. As propriedades da adição em Zm são definidas por:

(soma) ba+ = ba+ (classe) 2. As propriedades da multiplicação em Zm são definidas por:

(soma) ba. = ba. (classe)

De acordo com Hygino Domingues (citado nas referências) Se a = 'a Є Zm e

'.b= Є, então a ≡ a’ (mod m) e b ≡ b’ (mod m); portanto, a+b ≡ a’+b’ (mod m) e a. b ≡ a’. b’ (mod m) e, consequentemente, ba+ = ''ba+ e ba. = ''.ba. O que mostra que a soma e o produto das classes, conforme as definições 1 e 2, não dependem dos representantes das classes. Dessa forma, garante-se que ba+ é única e ba. também é única, ou seja, as aplicações ,(a)b → ba+ e ,(a)b

→ ba. são operações sobre Zm, denominadas adição e multiplicação, respectivamente.

Para provarmos que (Zm, +) se trata de um grupo abeliano, devemos mostrar, que este mesmo grupo esta sujeito as propriedades da adição que são de associatividade, comutatividade e existência de simétricos.

1. Associativa: para toda terna ,a,b,c de inteiros módulo m, tem-se que:

2. Comutativa: para todo par ,abde Zm, tem-se que:

(a+b) = (b+a) 3. Elemento neutro: Existe um único elemento neutro em Zm, que é precisamente O, a classe do elemento 0, tal que: a+ O = O para todo a Є Zm

4. Elementos simétricos: Dado a Є Zm, procuremos seu simétrico 'a.

Devemos ter (a+'a) = ('a+'b) = O e, portanto, a + a’ ≡ 0 mod m ou a’ ≡ - a mod m. De onde, 'a = am−.

O que mostra que todo elemento a Є Zm é simetrizável ou simétrico para adição e seu simétrico é am−.

Como Zm, satisfaz todas as propriedades, então Zm é um grupo abeliano.

Veja abaixo a as tábuas de Z5 e Z6.

Estamos sempre querendo contrastar ou comparar elementos de conjuntos, seja por alguma característica ou por semelhança. A estrutura matemática usada para a descrição dessa organização de conjuntos é chamada de teoria da relação.

Podemos concluir que relação de equivalência é aquela em que possui propriedades simétricas, reflexiva e transitiva, sendo que esta permite a divisão de conjuntos em classes de equivalência e as construções destas classes geram conjuntos quocientes.

A descoberta das relações de equivalência é imprescindível para os matemáticos entenderem certas classes como, por exemplo, a congruência dos números inteiros importante para alguns teoremas da teoria dos números e a congruência dos triângulos, na geometria.

HIGINO, H. Domingues, Gelson Iezzi – Álgebra Moderna, Volume único, 4ª Edição reformulada, 2003 Atual Editora , São Paulo http://mathfire.sites.uol.com.br/RelacaoDeEquivalencia.htm http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/algebra/relacoes/relacoes. htm#rela04 http://www.cesariof.xpg.com.br/tn/alglog_21.htm http://www.algosobre.com.br/matematica/conjuntos.html

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