Equações de Maxwell

Equações de Maxwell

(Parte 1 de 2)

Equações de Maxwell1

Equações de Maxwell

As Equações de Maxwell são um grupo de quatro equações, assim chamadas em honra de James Clerk Maxwell, que descrevem o comportamento dos campos elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria.

As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas elétricas produzem campos elétricos (Lei de Gauss), a ausência experimental de cargas magnéticas, como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de Ampère), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos (Lei da indução de Faraday). Maxwell, em 1864, foi o primeiro a colocar todas as quatro equações juntas e perceber que era necessária uma correção na lei de Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo campos magnéticos.

Além disso, Maxwell mostrou que as quatro equações, com sua correção, predizem ondas de campos magnéticos e elétricos oscilantes que viajam através do espaço vazio na velocidade que poderia ser predita de simples experiências elétricas—usando os dados disponíveis na época, Maxwell obteve a velocidade de 310.740.0 m/s .

Maxwell (1865) escreveu:

Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si (incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.

Maxwell estava correto em sua hipótese, embora ele não tenha vivido para ver sua comprovação por Heinrich Hertz em 1888. A explicação quantitativa da luz como onda eletromagnética é considerada um dos grandes triunfos da física do século XIX. Na verdade, Michael Faraday postulou uma descrição similar da luz em 1846, mas não foi capaz de dar uma descrição quantitativa ou predizer a velocidade. Além disso, serviu como base para muitos desenvolvimentos futuros na física, tais como a relatividade restrita e sua unificação entre os campos magnético e elétrico como uma única quantidade tensorial e a Teoria de Kaluza-Klein da unificação do eletromagnetismo com a gravidade e a relatividade geral.

Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade

As formulações de Maxwell em 1865 estavam em termos de 20 equações de 20 variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares do que chamamos de "Equações de Maxwell" — a Lei de Ampère corrigida (equação de três componentes), Lei de Gauss para carga (uma equação), a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento (três equações), a relação entre campo magnético e o vetor potencial (equação de três componentes, que implica a ausência de carga magnética), o relacionamento entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial (equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday), o relacionamento entre campos elétrico e de deslocamento (equações de três componentes), Lei de Ohm relacionando intensidade de corrente e campo elétrico (equações de três componentes), e a equação de continuidade relacionando intensidade de corrente e densidade de carga (uma equação).

Deve-se a formulação matemática moderna das equações de Maxwell a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema de equações original em uma representação mais simples utilizando cálculo vetorial. (Em 1873 Maxwell também publicou notação de base de quaterniões que acabou se tornando impopular.) A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.

No final do século XIX, por causa do surgimento da velocidade,

Equações de Maxwell2 nas equações, as equações de Maxwell foram tidas como servindo apenas para expressar o eletromagnetismo no referencial inercial do éter luminífero (o meio postulado para a luz, cuja interpretação foi consideravelmente debatida). O experimento conduzido por Edward Morley e Albert Abraham Michelson produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentze outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.

As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de considerações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades (em relatividade, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo anti-simétrico de ordem 2, o que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto).

Kaluza e Klein demonstraram na década de 1920 que as equações de Maxwell podem ser derivadas ao se estender a relatividade geral a cinco dimensões. Esta estratégia de se usar dimensões maiores para unificar diferentes forças é uma área de interesse ativo na pesquisa da física de partículas.

Sumário das equações

As variáveis em negrito nas equações representam campos vetoriais ou vetores, as integrais são integrais de superfície sobre uma superfície "fechada" , as integrais são integrais de superfície em uma superfície aberta e as integrais são integrais de linha em um caminho fechado .

Caso geral

NomeDiferencial parcialIntegral Forma integral Lei de Gauss:

Lei de Gauss para o magnetismo (ausência de monopolos magnéticos): Lei da indução de Faraday: Lei de Ampère + extensão de Maxwell:

onde:

é a densidade volumétrica de carga elétrica (unidade SI: coulomb por metro cúbico), não incluindo dipolos de cargas ligadas no material é a densidade superficial de fluxo magnético (unidade SI: tesla), também chamada de indução magnética.

é o campo elétrico de deslocamento ou densidade superficial de campo elétrico (unidade SI: coulomb por metro quadrado).

é a intensidade de campo elétrico (unidade SI: volt por metro), é a intensidade de campo magnético (unidade SI: ampère por metro) é a densidade superficial de corrente elétrica (unidade SI: ampère por metro quadrado)

é o operador gradiente que em coordenadas cartesianas pode ser escrito como

Equações de Maxwell3

é o divergente do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro), é o rotacional do campo vetorial (unidade SI: 1 por metro).

Unidades

Note que embora as unidades SI sejam dadas aqui para os vários símbolos, as equações de Maxwell permanecem inalteradas em muitos sistemas de unidades (e com somente minutas alterações em todas os outros). O sistema mais usualmente empregado é o de unidades SI, usadas em engenharia, electrônica e a maior parte dos experimentos práticos de física, e as unidades de Planck (também conhecidas como "unidades naturais"), usadas em física teórica, física quântica e cosmologia. Um sistema mais antigo de unidades, o Sistema CGS de unidades, é algumas vezes usado também.

A segunda equação define a inexistência de monopólos magnéticos. A força exercida sobre uma partícula carregada por um campo elétrico e um campo magnético é definida pela equação de força de Lorentz:

no qual é a carga da partícula e a velocidade da partícula. Note que esta equação é expressa de outra forma no sistema CGS, abaixo.

É importante notar que as equações de Maxwell são geralmente aplicáveis a "médias macroscópicas" dos campos, os quais podem variar violentamente numa escala microscópica na vizinhança de átomos individuais (onde eles também se submetem a efeitos quânticos). É somente nesse sentido de média que se podem definir grandezas tais como a permissividade e a permeabilidade de um material, abaixo. (As equações microscópicas de Maxwell, desprezando-se efeitos quânticos, são aquelas simplesmente do vácuo; mas se necessita incluir todas as cargas atômicas e assim por diante, o que é normalmente um problema intratável.)

Em materiais lineares Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:

nos quais: ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica. μ é a permeabilidade magnética.

(Isto pode também ser estendido para lidar com materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependendo da intensidade do campo; veja, por exemplo, o efeito Kerr e o efeito Pockels, e ainda para materiais não-isotrópicos, nos quais ε e μ passam a ser tensores que mudam a direção do campo ao qual são aplicados.)

Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a

Em um meio uniforme (homogêneo) ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais.

Mais geralmente, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem (matrizes 3×3) descrevendo materiais birrefringentes (anisotrópicos).

Equações de Maxwell4

Além disso, embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada, todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da freqüência (e a causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig).

No vácuo, sem cargas ou correntes

O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε0 e μ0 (desprezando pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos). Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

Mas: O que permite obter a equação da onda eletromagnetica:

De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnetica (c):

Maxwell percebeu que essa quantidade "c" é simplesmente a velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a luz é uma forma de radiação eletromagnética.

Equações de Maxwell5

Detalhamento

Densidade de carga e campo elétrico A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:

pela teorema da Divergência: e pela Lei de Gauss:

logo

onde é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:

onde é a densidade de carga elétrica livre (em unidades de C/m3), não incluindo dipólos de cargas ligadas no material, e é o campo deslocamento elétrico (em unidades de C/m2). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.

Em um material linear, é diretamente relacionado ao campo elétrico via uma constante dependente do material chamada permissividade :

Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como , e aparece em:

onde, novamente, é o campo elétrico (em unidades of V/m), é densidade de carga total (incluindo as cargas ligadas), e (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade no vácuo. também pode ser escrito como , onde é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.

Compare com a equação de Poisson.

A estrutura do campo magnético é a densidade de fluxo magnético (em unidades de tesla, T), também chamada a indução magnética. Forma integral equivalente:

é a área de um quadrado diferencial com uma normal superficial apontando para fora definindo sua direção.

Nota: semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação somente funciona se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.

Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque afirma que àquele dado elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. Estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético

Equações de Maxwell6 devem ser linhas (trajetórias) fechadas. Outra maneira de se afirmar isso é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar; tentando seguir as linhas de volta à sua fonte de volta à posição original. Portanto, esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopólos magnéticos.

Campos magnéticos e elétricos variáveis

Forma integral equivalente: Usando o teorema de Stokes temos:

e como pela lei de Faraday :

onde logo

onde

ΦB é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação

E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio. S é a superfície enlaçada pela curva c.

A força eletromotriz (algumas vezes denotada como , não deve ser confundida com a permissividade acima) é igual ao valor desta integral.

Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.

Nota: alguns livros-textos mostram o lado direito do sinal da integral com um N (representando o número de espiras de fio que estão a volta da aresta de A) na frente da derivada do fluxo. O N pode ser tomado com cuidado no cálculo de A (múltiplas espiras de fio significam múltiplas superfícies que o fluxo deve atravessar), e isto é um detalhe de engenharia tal que isto foi omitido aqui.

Note o sinal negativo; isto é necessário para manter a conservação da energia. Isto é tão importante que tem seu próprio nome, lei de Lenz.

Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas. Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto demonstra que a "voltagem" pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético fixado.

Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores empregam a configuração contrária.

Nota: As equações de Maxwell aplicam-se a um sistema de coordenada destro. Aplicá-las inalteradas a um sistema de coordenadas esquerdo significaria uma troca de polaridade dos campos magnéticos (não inconsistentemente, mas confusamente contra a convenção).

Equações de Maxwell7 A fonte do campo magnético

onde H é a intensidade de campo magnético (em unidades de A/m), relacionado ao campo magnético B por uma constante chamada permeabilidade magnética, μ (B = μH), e J é a densidade de corrente, definida por:

onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar .

Utilizando o Teorema de Stokes temos:

logo:

Lei de Ampere: Contribuição de Maxwell:

Icirculada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: .

(Parte 1 de 2)

Comentários