Matriz Jacobiana

Matriz Jacobiana

Matriz jacobiana1

Matriz jacobiana

A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa de ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição

Seja . Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é

denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

A Jacobiana é representada por ou A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de

Determinante Jacobiano

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos Seja . A jacobiana de F é:

O Jacobiano é . Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

A Jacobiana é dada então por: O Jacobiano é . portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos

Matriz jacobiana2

Aproximação Linear

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto pode ser aproximada por:

sendo um ponto próximo de . Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver Também •Matriz Hessiana

Fontes e Editores da Página3

Fontes e Editores da Página Matriz jacobiana Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20962910 Contribuidores: Gunnex, JCSantos, JohnR, Samir rodrigues, Tiago Vasconcelos, Usien, 4 edições anónimas

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