Apostila de matemática 1 - ensino médio - ceesvo

Apostila de matemática 1 - ensino médio - ceesvo

(Parte 1 de 3)

1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio.

Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios.

As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de

Aprendizagem na Sala de Matemática.

Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade.

Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.

Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente.

No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.

Não escreva na apostila, use seu caderno!

“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”.

OBJETIVOS (Módulos 1 e 2 )

Nesta U.E. você será capaz de;

- Fazer uso das operações básicas da matemática (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação no conjunto dos números racionais);

- Aplicar as técnicas de resoluções da equação do 1º grau em soluções de problemas;

- Reconhecer figuras geométricas e aplicar suas respectivas fórmulas no cálculo das áreas;

- Aplicar o conceito do Teorema de Tales na resolução de problemas que envolvam triângulos semelhantes;

- Aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações–problemas que envolvam medidas dos lados do triângulo retângulo.

MÓDULO 1

Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida.

Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus cálculos estejam sempre corretos.

Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando as quatro operações.

Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio.

Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia.

Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No total quanto ele andou nesses dois dias?

Um tênis que custa R$ 37,0 foi pago com uma nota de R$ 50,0. De quanto foi o troco?

Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 12 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?

Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? RESPOSTAS:

1- Soma 2- Subtração 3- Multiplicação 4 - Divisão

Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão no Conjunto Z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... que se chama Conjunto dos Números Inteiros.

As quatro operações fundamentais:

1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou mais grandezas que identificam a mesma coisa.

Exemplo1: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola?

Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. Assim:

10 + 17 + 18 =45
parcelassoma ou total

Existem, portanto, 45 alunos nesta escola.

Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama-se parcela e o resultado é a soma ou total

Exemplo 2: Devo R$ 12,0 na padaria e devo R$ 17,0 no açougue. Qual é o total da minha dívida?

Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo.

2. SUBTRAÇÃO: É usada sempre que quisermos saber a “sobra” ou a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E a sobra será representada pela quantidade maior.

Exemplo 1: Continuando com o exemplo anterior.

Devemos usar o sinal negativo ( -) quando queremos representar uma dívida e o sinal positivo ( + ) quando queremos representar o dinheiro para pagar essa dívida.

Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 50,0 para pagar essa dívida, devo representar assim: - 29 + 50 = + 21

Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal positivo (+) para representar o dinheiro.

Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21.

Exemplo 2: Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,0 levando consigo R$10,0. Como podemos representar essa situação?

– 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+).

Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de - .

No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40 poderíamos.

Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os números e manter o mesmo sinal

Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os números e manter o sinal do número maior.

Observe agora outros exemplos:

Exemplo 3: João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

Descubra o saldo bancário de João. Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 0, parabéns! Veja abaixo como se faz:

Exemplo 4: Se você tem R$120,0 no banco, e compra uma geladeira de R$ 10,0 e um televisor de R$90,0 e paga com cheque como fica seu saldo bancário se você fez um deposito de R$30,0? +1200 – 10 – 900 +300 = +1500 – 2000 = – 500

Exercícios: 1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno:

a) 37 + 43 =d) – 8 + 4 –12 +7=
b) 37 – 47 =e) – 30 + 45 =
c) –9 – 6 =f) + 24 –72 + 1 =

Dia Saldo inicial Depósito Retirada

Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é “juntar”, somando os números positivos (depósitos) e “juntar”, somando, os números negativos (retiradas). Depois efetuar a subtração entre os dois e verificar se “sobrou” positivo ou negativo.

3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO: Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades em partes iguais, observe: 4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que é igual a vinte.

Exemplo 1: Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: (- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6.

Exemplo 2: Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa?

204 ou 20 : 4 = 5 ou 20
05 4

Devo colocar 5 lápis em cada caixa.

E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas?

26

Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros

(positivos e negativos) (–5) • (– 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) (–8) • (+3) = – 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) (+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) (+81): (– 3) = –27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo)

Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. O resto é sempre positivo e menor que o divisor.

divisor dividendo quociente resto

(Como os dois primeiros sinais são iguais o resultado é positivo, como o outro sinal é diferente,o resultado fica negativo)

Conclusão: As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas em:

Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo.

Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo.

Resolva os exercícios abaixo em seu caderno e confira as respostas no GABARITO

a) (-20): (+ 4) =e) (+ 40) • (-3)=
b) (+10) : (-5) =f) (- 100) : (-20) =
c) (–3) • (+ 2) =g) (+ 80) • (- 4) =
d) (–4) • (–3) =h) (5 – 8) • (+ 2)=

2) Efetue as operações indicadas:

Obs: lembre-se que no último exercício o parêntese deve ser resolvido em primeiro lugar.

4: POTENCIAÇÃO

Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação.

POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma multiplicação com o mesmo número.

Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais: 5.5 = 52 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao quadrado) 5.5.5 = 53 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo)

Veja os nomes: expoente

potência base

Mostra quantas vezes se repete à multiplicação do número que está na base.

Assim, 42 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 • 4 = 16 Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais: 42 : quatro ao quadrado; 43 : quatro ao cubo ;

A potência também tem regras de sinais quando estamos operando (fazendo conta) com números positivos e negativos.

Casos especiais de potenciação:

Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3)0 = 1

= –9

Expoente 1= resultado o próprio nº da base = (–9)1

Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o expoente indica.

= 10102
= 100103
= 1000104

Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário de 10 e vice-versa)

= 0,110-2
= 0,0110-3

Veja alguns exemplos:

= (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = +16
= (-3) • (-3) • (-3) = – 27

Casos especiais:

= -5(-8)0

Regras de sinais da potenciação Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo)

Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base

3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais.

=c) (-8)2
=e) (+5)o
=d) (-4)3
=f) (- 10)1
A fração que representa essa situação é 2onde o nº 5

Fração quer dizer pedaços do mesmo tamanho. Você tem um chocolate dividido em 5 partes iguais. Dessas 5 partes você comeu 2. 5 (denominador) mostra em quantas partes foi dividido o inteiro (chocolate) e o nº 2 (numerador) quantas partes foi considerado (comido)

do denominador)5

O chocolate inteiro é representado por 5 (nº do numerador igual ao nº Partes comidas (duas)

Total de partes divididas (cinco)

TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO. O traço de fração indica que você pode fazer a divisão do numerador pelo denominador.Veja o exemplo abaixo:

Imagine que você precisa dividir R$ 25,0 igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma receberá?

Você pode representar essa situação em forma de fração como 4

Resposta: Cada pessoa receberá R$ 6,25 (seis reais e vinte e cinco centavos)

Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar: 25 = 6,25 4

Representação: 2numerador

5 denominador

2 =4 = 12
36 18

São frações que têm números diferentes mas, representam o mesmo tamanho de pedaços do inteiro.Veja o desenho abaixo:

“Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número”.

6: 23 3 . 3 9

1. SOMA E SUBTRAÇÃO: Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores:

Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços.

33 3

Quanto sobrou? 3 - 2 = 1

Logo, sobrou 1 da pizza. 3

Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador.

3

PIZZA INTEIRA = 3 simplificação

2º caso – As frações têm denominadores diferentes:

Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos?

Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas.

Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração.

2. MULTIPLICAÇÃO: Para multiplicarmos duas ou mais frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si.

Exemplos:

• 1 =3 b) – 2 • + 5 = –10
45 20 3 3 9
c) 1 • 9 = 9d) - 6 • -3 • 1 = 18
55 7 5 35

OBSERVAÇÃO: Quando aparecem números que não apresentam denominadores, devemos considerar esse denominador valendo 1, veja:

5 = 510 = 10 3 = 3
11 1
2+ 3 =
8+ 9 = 17
1212 12

divid e multipli ca

3,42
3,22
3,13 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12
1,1Observe as flechas ao lado

Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 elas mostram as operações que você deve fazer

3. DIVISÃO: Para dividirmos duas frações, devemos copiar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração. Exemplos:

: 3 = 4 • 2 = 8b) 5 : 2 = 5 • 8 = 40
72 7 3 21 3 8 3 2 6

a) 4

4. Resolva as operações conforme as explicações acima:

: 6 =b) 6 – 7 =
25 4 3

a) 8

+ 3 =d) 3 • 5 =
94 2 6

5. Resolva os problemas de acordo com o exemplo: Exemplo: Você vai fazer uma viagem de 1000 km. No primeiro dia anda

55

3 dos 1000 km e no 2º dia, anda 1 dos 1000 km . Quantos km faltam?

OBSERVAÇÃO: Para calcular o valor ou a quantidade de uma fração em relação ao inteiro basta efetuar a multiplicação dos numeradores e em seguida efetuar a divisão.

55
55

Agora resolva estes: a) Seu irmão tem R$ 224,0. Você tem 5 do que ele tem. Quanto em dinheiro você tem? 7 b) Você foi às compras levando R$ 12,0. Gastou 1 na padaria e 1 no açougue. Quanto lhe restou?

Você encontra cálculos de porcentagem em toda parte, no seu dia-a-dia. Mas o que significa e como calcular a porcentagem?

A porcentagem (%), compreende todos os problemas que se referem a tantos por cento, como as comissões, a corretagem, o desconto, etc.

Observe que uma porcentagem é uma fração de denominador 100, ou seja, é “dividir por 100 e multiplicar pelo valor”.

Quando queremos calcular uma porcentagem de algum número transformamos a porcentagem em fração e multiplicamos a fração por esse número:

100100

Exemplo 2: 150 kg de semente de algodão dão 32% de seu peso de azeite. Quantos quilos de azeite podemos obter?

100100

Resolução: 32% de 150 = 32 • 150 = 4800 = 48 Resposta: Podemos obter 48 Kg de azeite.

O que fazer para transformar uma fração em uma porcentagem?

O mais prático é usar a calculadora para dividir o numerador pelo denominador e depois multiplicar o resultado por 100.

6. Resolva o problema: Você recebeu um aumento de 20% no seu salário que é de R$ 190,0. a) Qual o valor do aumento? b) Quanto ficará o novo salário?

7) Copie e complete a tabela (use a calculadora).

1/2 6/100

Forma fração

0,50,75

Forma Decimal

Você pode resolver porcentagens, regras de três e vários outros problemas através de proporções.

Exemplo: Vamos comparar o número de pára-choques, e o número de pneus de carros de passeio:

um automóvel:

4 pneus4 2

2 pára-choques = 2 = 1 dois automóveis:

4 pára-choques =4 = 1
8 pneus8 2

simplificando

1 = 0,25 = 25%
2 4 8 12
1 = 21 = 6 2 = 6 4 = 6
24 2 12 4 12 8 12

As razões: 1, 2, 4 , 6 são equivalentes, pois simplificando são iguais.

Cada uma dessas igualdades chama-se proporção.

Ex:20 = 8 Extremos = 20 . 2 = 40
52 Meios = 5 . 8 = 40

Proporção é a igualdade de duas razões.

Exemplo 1 : Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, quanto consumirá esse mesmo carro para percorrer 840 Km?

Monte a proporção separando as grandezas em colunas.

LitrosKm
= 600600 x = 50 . 840
x840 x = 42000

Resposta :O carro consumirá 70 litros.

Diretamente proporcional, quando as duas grandezas aumentam ou as duas diminuem.

a um e nt a a um e nt a

Exemplo 2: Para construir uma casa em 24 dias preciso de 10 pedreiros. Quantos dias são necessários para construir a mesma casa com 15 pedreiros?

Diaspedreiros
2410 x = 10
x15 24 15

Neste caso devemos inverter a grandeza onde está a letra x. Resposta : São necessários 16 dias.

8 - Resolva em seu caderno: a) No curso de Medicina, para cada 2 moças, estudam 5 rapazes. Sabendo-se que há 100 moças, quantos rapazes estudam medicina? b) Em uma fábrica de calçados, para cada 5 homens empregados são também admitidas 3 mulheres. Sabendo-se que há 600 mulheres empregadas, qual o nº total de empregados que a fábrica possui? c) Numa velocidade média de 80 Km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 Km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem?

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