Análise Combinatória

Análise Combinatória

(Parte 5 de 7)

4! maneiras de dispor essas pessoas em fila 3! maneiras de dispor essas pessoas em fila 7! maneiras de dispor essas pessoas em fila

Prof. Gerson Henrique 31

Quando encontramos o que tomamos no numerador foi a quantidade de filas com 7 pessoas 7!. No denominador como um “fator corretor” tomamos a quantidade de filas com as quatro pessoas mencionadas 4! e a quantidade de filas com as três pessoas restantes 3!. Assim a partir de uma fila, encontramos o conjunto desejado. Para encontrarmos a quantidade de pessoas que restaram tomamos o total de pessoas 7 e subtraímos as pessoas já mencionadas 4. Assim a quantidade de pessoas restantes sempre será igual ao total de pessoas menos as já mencionadas. Podemos, dessa maneira substituir 3!, nas contas acima por ()47−! , observe:

Feito isso podemos generalizar essa idéia para uma quantidade qualquer de elementos.

Considere um grupo (ou conjunto) de n elementos. Queremos a partir dele, formar um subgrupo (ou subconjunto) com p elementos. Qual a quantidade de grupos distintos que podemos formar?

Resolução: Como estamos trabalhando com qualquer quantidade de elementos (n e p) devemos tomar alguns cuidados. Primeiro n e p devem ser números naturais. Se, por exemplo, o número n for menor que o número p (n<p) isso significa que não podemos formar um subgrupo a partir do grupo dado, pois, a quantidade de elementos a serem tomadas é maior que a quantidade que dispomos. Por exemplo, não é possível formar um grupo de 5 elementos a partir de um grupo de 3. Teríamos dessa maneira 0

(zero) grupos formados. Portanto, o símbolo 53C é igual a zero (0C5 3=)

Se, por outro lado n for maior ou igual a p ()pn≥, poderemos formar grupos sem dificuldade e a quantidade será nCp n

=, se, por exemplo, n for igual a 10 e p igual a 6, teríamos !4!6

Exercícios resolvidos

1) Dentre 9 livros distintos que estão em oferta em uma livraria, Fátima deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes Fátima pode escolher os 5 livros? Resolução:

Fórmula Geral de combinações simples

A partir de um conjunto com n elementos devem-se formar um subconjunto com p elementos. A quantidade de subconjuntos é igual a pnC

Se pn<, pnC= 0 e se pn≥,)!(!!

pnp nCp n

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Repare que nessa situação o que Fátima deve fazer é escolher 5 livros dentre 9, isto é, formar um grupo de 5 livros a partir de um grupo de 9. Desse modo ela pode realizar esse processo de 59C maneiras diferentes. Esse símbolo resulta em:

obtemos 3, com 6 e 8 com 24 ,5! com 5! ndosimplifica 5

= ⋅ maneiras.

2) Sobre uma circunferência são marcados 8 pontos distintos. Quantos triângulos com vértices nos pontos dados é possível construir?

Resolução: Primeiro vamos construir a circunferência com os pontos. Em seguida devemos observar que para formamos um triangulo devemos ter três pontos não alinhados. Mas quaisquer três pontos de uma circunferência nunca estão alinhados. Assim podemos tomar quaisquer três pontos dessa circunferência. Se queremos tomar três pontos a partir de 8, o que temos a fazer é formamos um grupo de três pontos a partir de 8. A quantidade de maneiras de realizar esse processo é 38C. ( acostume com esse símbolo, ele representa uma situação de contagem, as contas vêm depois)

=⋅=− =Ctriângulos diferentes

3) Observe está figura, e marque a alternativa que representa o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J:

a) 20 b) 21 c) 25 d) 30 e) 35

Resolução: Para formamos triângulos devemos ter três pontos não alinhados. Dessa maneira não podemos tomar três pontos sobre uma mesma reta. Pontos tais como D, E e F estão alinhados e não formam um triângulo. Para garantirmos que sempre formaremos triângulos devemos tomar, como vértices de um triângulo dois pontos em uma reta e um em outra, como o exemplo abaixo:

r s r s

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Assim devemos considerar dois casos. O primeiro é tomar dois pontos sobre r e um sobre s e o segundo caso é tomar um sobre r e dois sobre s.

1º caso: Tomar dois pontos sobre a reta r e um sobre s.

Sobre a reta r temos 3 pontos disponíveis e devemos escolher 2, podemos fazer isso de 23Cmaneiras e em seguida sobre s escolher 1 dentre 4 disponível, temos 14Cmaneiras de fazer isso. Assim teremos 1423CC⋅triângulos com 2 vértices sobre r e 1 sobre s, que resulta em:

=⋅triângulos

2º caso: Tomar um ponto sobre a reta r e dois sobre s.

De forma análoga do caso anterior devemos escolher 1 ponto dentre 3 disponíveis sobre r e 2 sobre s dentre 4 disponíveis. Na primeira ação temos 13C e na segunda ação 24Cmaneiras de realizar esse processo. Assim podemos formar 2413CC⋅triângulos com dois vértices sobre s e um sobre r, que resulta em:

=⋅triângulos

Para finalizar basta somar os resultados, para obter 12 + 18 = 30 triângulos distintos, portanto letra d.

4) Na série A do campeonato brasileiro de futebol edição 2006, 20 times disputam a competição. Nesse tipo de torneio há duas fases, e em cada uma todos os times jogam contra todos. Quem obter mais pontos vence. a) Quantos jogos serão disputados em 2006 na primeira fase? b) Quantos jogos serão disputados entre os times paulistas na primeira fase sabendo que há 7 times de São Paulo?

Resolução: a) Como temos 20 times, para formar um jogo devemos escolher 2 deles, isto é, formar um grupo de 2 times a partir de um grupo de 20. Assim teremos 2 20C jogos diferentes. Calculando o valor desse número obtemos:

=Cjogos distintos.

b) Como queremos que os jogos tenham necessariamente 2 paulistas, devemos escolher esses dois dentre os 7 que dispomos, podemos fazer isso de 27C, que é igual a:

=Cjogos entre os paulistas.

5)A partir de um grupo de 5 pessoas, desejam-se formar grupos com quantidade de pessoas igual ou inferior a 5. Quantos grupos distintos podem ser formados.

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Resolução: Como devemos formar grupo de pessoas a partir de um grupo de 5. Teremos vários casos a considerar, repare:

• 1º CASO: Formar um grupo de 0 (Zero) pessoas a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 05C . • 2º CASO: Formar um grupo de 1 (uma) pessoa a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 15C .

• 3º CASO: Formar um grupo de 2 (duas) pessoas a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 25C .

• 4º CASO: Formar um grupo de 3 (três) pessoas a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 35C .

• 5º CASO: Formar um grupo de 4 (quatro) pessoas a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 45C .

• 6º CASO: Formar um grupo de 5 (cinco) pessoas a partir de 5, a quantidade de grupos é igual a 55C

Listamos todas as formas possíveis de montagem dum grupo de pessoas a partir de 5 indivíduos. Assim para obter o total de grupos com quantidade de pessoas de 0 até 5 pessoas devemos somar os resultados parciais acima:

554535251505CCCCCC+++++. Repare que os cálculos desses valores é o que menos importa na questão. Cada símbolo indica uma situação combinatória, por exemplo, 45C indica que formamos um grupo de 4 pessoas a partir de um grupo de 5. Para finalizar obteremos a resposta fechada, isto é, realizando os cálculos, obteremos:

Finalmente podem-se formar 32 grupos a partir de um grupo de 5 pessoas.

Para você resolver PARTE I

62) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 8 pessoas?

63) De um grupo de animais de um zoológico deseja-se selecionar quatro para exames. Sabendo que esse processo pode ser realizado de 35 maneiras distintas, quantos animais há no zoológico? a) 7 b) 6 c) 10 d) 41

64) Nas eleições nacionais de quatro em quatro , dentre outros cargos elegemos, em eleições alternadas, dois senadores da república. Supondo que em Minas Gerais em 2002 (último ano que isso ocorreu) candidataram-se 12 pessoas para o cargo. Quantas maneiras distintas têm um eleitor para escolher seus senadores? a) 120 b) 132 c) 24 d) 6

65) Dispomos de um conjunto com 8 elementos distintos. Sabendo disso calcule quantos subconjuntos podemos formar com:

Prof. Gerson Henrique 35 a) 1 elemento b) 2 elementos c) 3 elementos d) 5 elementos e) 6 elementos f) 8 elementos g) quaisquer quantidade de elementos h) pelo menos 5 elementos i) No máximo 4 elementos j) Até 3 elementos k) No mínimo 6 elementos

6) (FCMMG) Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é

A) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 60

67) (MAUÁ) Calcular p, sabendo que p,mCp,Am= qualquer que seja m e mp0≤≤.

68) (MACK) Separam-se os números de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos, o valor de n é: a) 20 b) 35 c) 70 d)140 e) 200

69) A partir de um grupo de 5 pessoas calcule quantos subgrupos podemos formar com:

a) 30 pessoas b) 70 pessoas c) 21 pessoas d) até 10 pessoas e) pelo menos 50 pessoas

70) (FEl) Caminhando sempre para a direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras se pode ir do ponto A até a reta BC? a) 8 b) 64 c) 256 d) 1024 e) nenhuma das anteriores 71)Simplifique k h) n j)

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72) Sabendo-se que 10C2,n= calcule n.

73) (CESCEM) O valor de p na equação 12

A) 12 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5

74) (MACK) Se 2,x3,xA3C=, então x é: a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12 calcular n.

76) (MAUÁ) Sabendo que o número de combinações de n + 2 objetos tomados cinco a cinco, vale 3 n28 ,calcule o valor de n.

7) (CESCEM) Um conjunto A possui n elementos, sendo n > 4. O número de subconjuntos de A com 4 elementos é:

78) (Fafi-MG) Se existem 1 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a a) 5 b) 65 c) 110 d) 121

79) Em um polígono regular de 5 vértices podemos definir n diagonais. O valor de n2 + 25 é a) 35 b) 110 c) 15 d) 30 e) 50

80) (UNESP-SP-adaptada) A diretoria de uma empresa compõe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as comissões de três membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não o incluem, o valor de n é:

a) 10 b) 7 c) 12 d) 15 e) 6

81) (CESCEM) Sobre uma circunferência, marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos, O número de triângulos que podemos formar com vértices nos pontos marcados é;

82) (MACK) O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos. O número de elementos de A é: A) 10 B)15 C) 45 D)90 E) impossível determinar com a informação dada

83) (UFMG) Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. O número de maneiras possíveis de se retirar simultaneamente, dessa urna, grupos de 6 bolas que contém pelo menos uma bola de cada cor, é: a) 84 b) 252 c) 805 d) 924

84) (UFMG) Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala estão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las é:

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A) 1225 B) 2450 C) 250 D) 49! E) 50!

85) (UFMG) Formam-se comissões de três professores entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formados é:

A) 35 B) 45 C) 210 D) 73 E) 7!

86) (Diamantina-MG) Numa congregação de 30 professores, 14 lecionam matemática, O número de comissões com 14 professores que podem ser formadas de modo que, em cada uma, tenha apenas um professor de matemática é a) 7540 b) 7840 c) 8040 d) 8340

87) (FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formados, contendo no mínimo um diretor?

A) 500 B) 720 C) 4500 D) 25 E) 5

8) (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12

89) (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 2 42

90) (FGV) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? a) 126 b) 98 c) 115 d) 165 e) 122

91) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é

A) 71 B) 86 C) 131 D) 61

92) (FUNDAÇÃO LUSÍADA) O número de produtos positivos de três fatores distintos, que podem ser obtidos com os elementos do conjunto {1, -1, 4, -4, 5, -5, 7, 8}, é:

A) 336 B) 273 C) 56 D) 26 E) 25

93) (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120 b) 108 c) 160 d) 140 e) 128

94) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? a) 90 b) 21 c) 240 d) 38 e) 80

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95) A figura abaixo representa uma loja vista de cima com 5 prateleiras e cada uma contém 6 compartimentos.

De quantas maneiras possíveis pode-se a acomodar, de forma eqüitativa, um lote de produto alimentício nessa loja de modo que fiquem sempre numa mesa prateleira e em exatamente três compartimentos?

96) (CEFET-MG) Num plano, existem vinte pontos dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão sobre uma mesma reta. O número de retas determinado pelos vinte pontos é a) 150 b) 176 c) 185 d) 205 e) 212 97) Observe a figura:

Nela está representado um quadro retangular subdividido em retângulos menores para acomodar fotos. Sabendo disso de quantas maneiras uma pessoa pode escolher os retângulos para acomodar:

a) Cinco fotos; b) Sete fotos; c) No máximo cinco fotos; d) De cinco até dez fotos; e) No mínimo 30 fotos;

98) Uma sala tem 7 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala é:

a) 12 b) 126 c) 127 d) 128

9) (MAPOFEI) A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Ouantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados?

100) (MAPOFEI) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?

101) (FCMMG) Sejam e s duas retas distintas e paralelas. Marcam-se n pontos distintos P1, P2, P3,, Pn,

sobre r e dois pontos distintos Q1 e Q2 sobre s. O número máximo de triângulos distintos que podem ser formados com vértices nesses n + 2 pontos é 121. O número n é igual a

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