Teoria do Raciocínio Lógico

Teoria do Raciocínio Lógico

TEORIA DO RACIOCÍNIO LÓGICO
 
Material extraído de apostila do Professor Josélias
Raciocínio Lógico - Joselias@uol.com.br - Prof. :Joselias
 
PROGRAMA DE RACIOCÍNIO LÓGICO: Objetivo:
A prova de Raciocínio Lógico objetiva testar as habilidades de raciocínio envolvendo:
a) elaboração de argumentos;
b) avaliação de argumentações;
c) formulação ou avaliação de planos de ação.
Não é necessário conhecer o assunto envolvido na questão, como Biologia, Engenharia, Economia etc.
Programa:
•    Construção de argumentos: reconhecimento da estrutura básica de um argumento; conclu­sões apropriadas;
•    hipoteses subjacentes; hipóteses explicativas fundamentadas; analogia entre argumentos com estruturas semelhantes.
•    Avaliação de argumentos: fatores que reforçam ou enfraquecem uma argumentação; erro de raciocínio; método utilizado na exposição de razões.
•           Formulação e avaliação de um Plano de Ação: reconhecimento da conveniência, eficácia e eficiência de diferentes planos de ação; fatores que reforçam ou enfraquecem as perspectivas de sucesso de um plano proposto; hipóteses subjacentes a um plano proposto.
 
Lógica
Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio” , pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluimos que a lógica estuda as formas ou estru­turas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relções formais entre as proposições.
Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.
DEFINIÇÃO:
Proposição:
Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Sendo assim, vejamos os exemplos:
a) O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo.
b) O Brasil é um País da América do Sul.
c) A Receita Federal pertence ao poder judiciário.
Evidente que você já percebeu que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, e portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como:
“Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro”.
 
Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:
1 – Princípio da não-contradição:
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
2 – Princípio do Terceiro Excluido:
Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.
Logo, voltando ao exemplo anterior temos:
a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira.
b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.
c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.
As proposição serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . . As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:
    corresponde a “não”
∧ corresponde a “e”
∨ corresponde a “ou”
⇒ corresponde a “então”
⇔ corresponde a “se somente se”
 
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)
• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b)
• Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b)
• Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)
 
Exemplo:
Seja a sentença:
“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”
Sejam as proposições:
p = “Cacilda é estudiosa”
q = “Ela passará no AFRF”
Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:
Se p então q ( ou  p ⇒q )
TABELA VERDADE
Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo.
a. Valor verdade de  
P

V
F
F
V
 
A negação da proposição P é a proposição , de maneira que se P é verdade então
é falso, e vice-versa.
 
b. Valor verdade de P ∧ Q
P
Q
P ∧ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
 
O valor verdade da molécula P ∧ Q é tal que VAL (P ∧ Q) é verdade se somente se VAL (P) e VAL (Q) são verdades.
 
c. Valor verdade de P ∨ Q
P
 Q
P ∨ Q
V
 V
 V
V
 F
 V
F
 V
 V
F
 F
 F
O valor verdade da molécula P ∨ Q é tal que VAL (P ∨ Q) é falso se somente se VAL (P) e VAL (Q) são falsos.
 
d. Valor verdade de P ⇒ Q
P
 Q
P ⇒ Q
V
 V
V
V
 F
 F
F
 V
V
F
 F
 V
O valor verdade da molécula P ⇒ Q é tal que VAL (P ⇒ Q) = F se somente se VAL (P) = V e VAL (Q) = F
 
e. Valor verdade de P ⇔ Q
 P
Q
P ⇔ Q
 V
V
V
 V
F
F
 F
V
F
 F
F
V
 
O valor verdade da molécula P ⇔ Q é tal que VAL ( P ⇔ Q ) = V se somente se VAL (P) e VAL (Q) tem os mesmos valores verdades.
Então teremos a tabela verdade completa da seguinte forma:
 

 
Exemplo
Determinar o valor verdade da sentença (P ∧ Q) ⇒ R Sabendo que VAL (P) = V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F
Solução

Logo analisando a tabela acima temos VAL ((P ∧ Q) ⇒ R) = F
 
 
EXERCÍCIOS
a. Determine o valor verdade da sentença  
Sabendo-se que VAL(A) = V, VAL(B) = F e VAL (C) = V
 
Obs.: Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.
 
b. Determinar o valor verdade da sentença
 
Sabendo que:
VAL(A) = V, VAL(B) = F, VAL(C) = F, VAL(D) = V

 
TAUTOLOGIA
São moléculas que possuem cada uma delas o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem.
Exemplo
a. (p ⇒q) ⇔( p ∨q) é uma tautologia pois
 

 
CONTRADIÇÕES
São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposi­ções (átomos).
 
Exemplo
a. p ⇔ p é uma contradição pois
 

 
CONTINGÊNCIA
São moléculas em que os valores lógicos independem dos valores das proposições (átomos)
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade.
Exemplo
p ⇒ q é equivalente a  p ∨ q
 
 

 
ARGUMENTOS
Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição q.
Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento.
 
Podemos representar por:
p1
p2
p3
.
.
.
pn
                                                            ______________       
∴ q
Exemplos:
 
1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.
Passei no concurso
_____________________________
∴ Irei Trabalhar
 
 
2. Se ele me ama então casa comigo.
Ele me ama
___________________________
∴ Ele casa comigo
3. Todos os brasileiros são humanos.
Todos os paulistas são brasileiro.
____________________________________________
∴ Todos os paulistas são humanos
 
4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.
Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .
___________________________________________________
∴ Todos os jogadores receberão o bicho
 
NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.
Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.
Premissa:     Todos os sais de sódio são substâncias soluveis em água.
Todos os sabões são sais de sódio
_________________________________________________
Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias soluveis em água.
 
VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.
 
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (es­trutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas.
Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:
 
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.
Exemplo:
Todos os apartamentos são pequenos. ( V )
Todos os apartamentos são residências. ( V )
___________________________________________________
∴ Algumas residências são pequenas. ( V )
 
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.
Exemplo:
Todos os peixes têm asas. ( F )
Todos os pássaros são peixes. ( F )
____________________________________
∴ Todos os pássaros têm asas. ( V )
 
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.
 
Exemplo:
Todos os peixes têm asas. ( F )
Todos os cães são peixes. ( F )
__________________________________________
∴ Todos os cães têm asas. ( F )
 
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam.
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento é não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.
 
Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.
 
Exemplos:
Todas as mulheres são bonitas.
Todas as princesas são mulheres.
__________________________________
∴ Todas as princesas são bonitas.
 
Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e prince­sas por A, B e C respectivamente e teremos:
Todos os A são B.
Todos os C são A.
∴ Todos os C são B.
 
Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqü­ência da forma do argumento.
O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.
 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Os argumentos são divididos em dois grupos:
• dedutivos
• indutivos
 
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completa­mente derivada das premissas.
Exemplo:
Todo ser humano tem mãe.
Todos os homens são humanos.
___________________________
∴ Todos os homens têm mãe.
 
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.
 
Exemplo:
O Flamengo é um bom time de futebol.
O Palmeiras é um bom time de futebol.
O Vasco é um bom time de futebol.
O Cruzeiro é um bom time de futebol.
_____________________________________________
∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.
 
Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.
O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do an­tecedente” , (também conhecido como modus ponens).
Então vejamos:
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.
José foi reprovado no concurso.
____________________________________
∴ José será demitido do serviço.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

 
 
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como modus tollens).
Obs.: Vimos nas páginas anteriores que p ⇒ q é equivalente a . Esta equivalência é chamada de contra-positiva.
 
Exemplo:
“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.
Então vejamos o exemplo do modus tollens.
• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.
• Não há inflação
____________________________________________
∴ Não aumentamos os meios de pagamentos.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geral­mente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.
 
Exemplo:
João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.
Eis o dilema de João:
• Ou João passa ou não passa no concurso.
– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.
– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.
________________________________________________________________
∴ Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de trabalho.
 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS
Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das pre­missas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão.
Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclu­sões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão.
 
Exemplo:
Todos os mamíferos são mortais. ( V )
Todos os gatos são mortais. ( V )
__________________________________
∴ Todos os gatos são mamíferos. ( V )
Este argumento tem a forma:
Todos os A são B
Todos os C são B
∴ Todos os C são A
 
Podemos fácilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não sus­tentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.
Todos os mamíferos são mortais. ( V )
Todos os as cobras são mortais. ( V )
______________________________
∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F )
 
Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca pode ocorrer que o argumento seja válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. A seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”.
 
Por exemplo:
Se ele me ama então ele casa comigo.
Ele casa comigo.
_____________________________
∴ Ele me ama.
 
Podemos escrever este argumento como:
 

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”.
 
Exemplo:
 
Se João parar de fumar ele engordará.
João não parou de fumar.
______________________________
∴ João não engordará.
Observe que temos a forma:

 
 
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclu­são falsa.
 
PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES
As proposições serão classificadas em:
• universais
• particulares
 
As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do conjunto.
 
Exemplo:
“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.
Nesta definição incluimos o caso em que o sujeito é unitário.
 
Exemplo:
“O cão é mamífero”.
As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.
 
Exemplo:
“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.
PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS
As proposições também classificam-se em:
• afirmativas
• negativas
 
 
No caso de negativa podemos ter:
1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “ne­nhum S é P”.
2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.
 
No caso de afirmativa consideramos o ítem anterior.
Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos:
“Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.
Então teremos a tabela:
 
AFIRMATIVA
NEGATIVA
UNIVERSAL
TODO S É P ( A )
NENHUM S É P ( E )
PARTICULAR
ALGUM S É P ( I )
ALGUM S NÃO É P ( O )
 
SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).
Teremos também três termos:
• Termo menor –     sujeito da conclusão.
• Termo maior –      predicado da conclusão.
• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão.
 
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor.
 
Exemplo:
Todas as mulheres são bonitas.
Todas as princesas são mulheres.
____________________________________
∴ Todas as princesas são bonitas.
Termo menor: as princesas
Termo maior: bonitas
Termo médio: mulheres
Premissa menor: todas as princesas são mulheres.
Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.
 
ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO:
1.Todo silogismo deve conter somente três termos;
2. O termo médio deve ser universal pelo menos um vez;
3. O termo médio não pode constar na conclusão;
4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é válido.
5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;
6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;
7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.
 
DIAGRAMA DE EULER
Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.
 
 
 

 
 

 
 
3. Algum S é P ( particular afirmativo – I )

 
 
 
4. Algum S não é P ( particular negativa – O )
S       P

 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.       Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:
AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou”
JOAQUIM: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”
CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”
Pede-se:
1.         Exprimir simbolicamente os depoimentos
2.         Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros
3.         Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.
 
Solução
a. Sejam as proposições
A = “Auro pagou a matrícula”
J = “Joaquim pagou a matrícula”
C = “Cláudia pagou a matrícula”
Depoimentos

a.      Tabela Verdade

 
b. Verificamos que se todos os depoimentos são verdadeiros estamos na terceira linha, logo VAL (A) = V, VAL (J) = F, VAL (C) = V
 
Portanto:
Os pagantes são Auro e Cláudia.
O não pagante é o Joaquim
c. Se todos pagaram a matrícula temos que VAL(A) = V, VAL(J) = V e VAL(C) = V, logo estamos na primeira linha, daí os depoimentos mentirosos são do Auro e Cláudia.
 
 
02.       (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.
a.         Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b.         Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c.         Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d.         Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e.         Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
 
Solução
Lembramos que a Contra-positiva de p → q é equivalente a
 
Daí teremos,
Se Raul não briga com Carla, então
Carla não fica em casa.
 
Se Carla não fica em casa, então
Glória não vai ao cinema
Se Glória não vai ao cinema, então
Beto não briga com Glória
Logo a única opção correta é:
a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
 
03.       (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:
a. Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.
b. Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.
c. Carlos e João são mais moços do que Pedro.
d. Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.
e. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.
 
Solução
Se Carlos não é mais velho do que Maria, então
João não é mais moço que Pedro
Se João não é mais moço que Pedro, então
Maria e Julia não tem a mesma idade
Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então
Carlos não é mais velho que Pedro
Logo, a única opção correta é:
e. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.
 
04.    (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enga­nado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verifi-cou-se que Maria está certa. Logo,
 
a. O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.
b. Luis e Julio não estão enganados.
c. Julio está enganado, mas Luis não.
d. Luis está enganado, mas Julio não.
e. José não irá ao cinema.
 
Solução
Se Maria está certa, então
Julio está enganado
Se Julio está enganado, então
Luis está enganado
Se Luis estiver enganado, então
O Filme não está sendo exibido.
Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema.
Logo, concluimos que:
José não irá ao cinema.
Resposta “E”
 
 
O texto abaixo refere aos exercícios de 05 a 08:
Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.
A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a flo­resta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outro dias da semana.
(Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck IME - USP
- publicado na revista do professor de Matemática)
 
 
05.    Um dia Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram: Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir. Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir. A partir dessas afirmações, Chapéuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era?
 
06.       Em outra ocasião Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações: Eu menti ontem. Eu mentirei daqui a 3 dias. Qual era o dia da semana?
07.       Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações? Eu menti ontem. Eu mentirei amanhã.
08.       Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações: a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã. b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã. c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã. d) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã.
 
Resolução:
Problema 05
Pela resposta da Raposa, pode ser 2ª ou 5ª.
Pela resposta do Lobo Mau, pode ser 5ª ou domingo.
Portanto, como os dois se referiam a um mesmo dia da semana, este era quinta-feira.
Problema  06
Por (1), o dia poderia ser 2ª ou 5ª.
Por (2), como a Raposa mentirá 3 dias depois de hoje, hoje pode ser 2ª, 3º, 4ª, 6ª, sábado, domingo.
 
Logo, o dia da semana era segunda-feira.
Problema  07
– A afirmação (1) pode ser feita 2ª ou 5ª.
– A afirmação (2) pode ser feita 4ª e domingo.
 
Portanto, não existe um dia na semana em que seja possível a Raposa fazer as duas afirmações.
Problema 08
a. Esta afirmação (que é uma conjunção) é uma mentira quando alguma das suas com­ponentes for falsa, logo, como mentira, a Raposa pode afirmá-la 2ª ou 4ª. Por outro lado, ela será verdadeira somente quando suas duas componentes o forem, logo a Raposa não poderá afirmá-la em nenhum dia em que fala a verdade.
 
Resposta: 2ª ou 4ª (compare este exercício com Problema 05 e explique por que eles são diferentes).
b. Esta afirmação (que é uma disjunção) é mentirosa quando as suas duas componen­tes forem falsas, logo a Raposa não poderá afirmá-la nos dias em que mente. Por outro lado, ela será verdadeira quando pelo menos uma das suas componentes o for, assim a Raposa poderá afirmá-la na 5ª ou no domingo.
Resposta: 5ª ou domingo.
c. Esta afirmação (que é uma implicação), composta de duas outras, só é falsa quando, sendo a primeira (premissa) verdadeira, a segunda (conclusão) for falsa. Logo, a Raposa poderá afirmá-la mentirosamente somente na 4ª (na 2ª e na 3ª a afirmação é verdadeira - tabela verdade). Pelo mesmo motivo acima a Raposa não poderá dizê­la na 5ª, dia em que fala a verdade. Nos demais dias de verdade ela poderá afirmá­la (6ª, sábado e domingo), já que, a premissa sendo falsa, a implicação é verdadeira.
Resposta: 4ª, 6ª, sábado ou domingo.
d. Esta afirmação (que é uma equivalência) é verdadeira quando suas duas componen­tes forem verdadeiras ou quando forem as duas falsas. Assim, ela é uma mentira, dentre os dias em que a Raposa mente, somente na 2ª ou na 4ª. Dentre os dias em que ela fala a verdade , ela poderá afirmá-la somente na 6ª ou no sábado.
Resposta: 2ª, 4ª, 6ª ou sábado.
09.    (AFTN/96) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angé­lica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tania é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
a. Janete, Tânia e Angélica
b. janete, Angélica e Tânia
c. Angélica, Janete e Tânia
d. Angélica, Tânia e Janete
e. Tânia, Angélica e Janete
 
Solução
Observe que só precisamos saber que a Tânia diz a verdade, as outras informações sobre Janete e Angélica não influenciam na solução.
Então vamos raciocinar:
Tânia não pode estar na esquerda e nem no meio, pois senão estaria mentindo. Logo Tânia está na direita e conseqüentemente, a Angélica está no meio, conforme a decla­ração de Tânia. Para acabar, é evidente que Janete está ba esquerda.
Resposta “B”
 
10.    (AFTN/96) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enga­nado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido; Ora, ou o filme “Fogo Contra Fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verifi-cou-se que Maria está certa. Logo:
 
a. o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido;
b. Luís e Júlio não estão enganados;
c. Júlio está enganado, mas não Luís;
d. Luís está enganado, mas não Júlio;
e. José não irá ao cinema.
 
Solução
Se Maria está certa, temos:
— Júlio está enganado
— Luís está enganado
— O filme não está sendo exibido.
Como o filme está sendo exibido ou José irá ao cinema, temos que:
José não irá ao cinema
Resposta “E”
 
11.    (AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,
a. Nestor e Júlia disseram a verdade
b. Nestor e Lauro mentiram
c. Raul e Lauro mentiram
d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e. Raul e Júlia mentiram.
 
Solução
Não há leão feroz nesta sala
— Lauro mentiu
— Raul falou a verdade
— Nestor mentiu
Logo Nestor e Lauro mentiram
Resposta “B”
 
12.    (AFTN/96) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles declarou: “Foi empate” o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro falou “Nós perde­mos”. O torcedor reconheceu somente o meio-campista, mas pode deduzir o re­sultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente,
a. “Foi empate” / o XFC venceu.
b. “Não foi empate” / empate.
c. “Nós perdemos” / o XFC perdeu.
d. “Não foi empate” / o XFC perdeu.
e. “Foi empate” / empate.
 
Solução
.                      • Atacante sempre mente
.                      • Zagueiro sempre fala a verdade
.                      • Meio Campo as vezes mente e as vezes fala a verdadeE - Empate NE - Não Empate P - Perdemos É fundamental que você não esqueça que o torcedor reconheceu o Meio Campo e pode deduzir o resultado do jogo.
Possibilidade
Atacante
Zagueiro
Meio Campo
1
E
NE
P
2
NE
E
P
3
E
P
NE
4
P
E
NE
5
NE
P
E
6
P
NE
E
 
É evidente que as possibilidades 1, 2, 3, 4, não poderiam ter ocorrido se ele deduziu o resultado do jogo com certeza.
Além disso a possibilidade 5 é impossível, pois se o atacante falou não foi empate então o zagueiro estaria mentindo quando falasse perdemos.
Daí só resta a possibilidade 6, onde o atacante disse perdemos e o zagueiro disse não foi empate, logo o XFC venceu e o meio campo disse foi empate (mentira)
Resposta “A”
 
13.    (AFC/96) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo,

Comentários