Exercicios de estatística

Exercicios de estatística

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FABES – FACULDADE BETHENCOURT DA SILVA 4O PERÍODO – ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE ESTATISTICA I – PROF. SAVIO NASCIMENTO

Se um evento pode acontecer de qualquer um de n1 modos e se, quando ele ocorrer, um outro evento pode realizar-se de qualquer de n2 modos, então o número de maneiras segundo as quais ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será n1 . n2 maneiras. FATORIAL DE n

n! = n. (n-1) . (n-2)3 . 2 . 1 e para 0! = 1

O fatorial de n, representado por n!, é dado por: Exemplo: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ARRANJOS E PERMUTAÇÕES

Dado um conjunto de n elementos, o número de disposições desses elementos tomados k de cada vez constitui o que chamamos arranjos de n elementos k a k, representado por knA. Os arranjos distinguem-se entre si não só pelos elementos que os compõem, mas também pela ORDEM destes elementos. Pode-se mostrar que o número de arranjos de n elementos tomados k de cada vez é knA =

Exemplo: Quantos número distintos de 3 algarismos podemos formar com os dígitos 0,1,2 e 3? Solução: Como neste caso a ordem dos dígitos fornece números diferentes, temos um arranjo de 4 dígitos tomados 3 a 3, ou seja,

Quando k = n, isto é, quando os arranjos abrangem a totalidade dos elementos, temos o que se chama permutação de n elementos, cuja representação simbólica é Pn.

Pn = n!

Exemplo: Considere uma urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. De quantas maneiras diferentes podemos retirar, sem reposição, as 5 bolas.

Solução: Aqui teremos uma seqüência de 5 bolas numeradas onde cada seqüência nos fornece um número diferente e o quantitativo de bolas selecionada é o quantitativo que se encontra na urna. Logo temos uma permutação de 5 bolas ou um arranjo de 5 bolas tomadas 4 a 4:

P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras diferentes

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Quando necessitamos formar conjuntos de k elementos não importando a ordem dos elementos, não podemos utilizar a definição de arranjo onde a ordem é relevante. Temos então a definição de combinação de n elementos tomados k a k, cuja definição é:

Exemplo: Considere o lançamento de 6 moedas. De quantas maneiras diferentes podemos obter 4 caras?

Solução: Este experimento leva em consideração somente o total de caras e coroas, não importando a ordem com que os resultados aparecem. Assim, estamos no âmbito das combinações, ou seja,

Um experimento aleatório é o processo de coleta de dados relativos a um mesmo fenômeno que, quando repetido, apresenta alguma variabilidade em seus resultados e atende às seguintes exigências: (a) Pode ser repetido quantas vezes for necessário; (b) Conhecemos previamente todas as possíveis respostas, mas não podemos predizer, com certeza, qual ocorrerá; (c) Obedece a regularidade estatística. Se considerarmos séries de repetições do fenômeno, poderemos observar que a freqüência relativa se mantém muito próxima de um valor constante.

Exemplo: Lance uma moeda honesta (chance de sair cara = chance de sair coroa) 100 vezes. Repita este experimento 10 vezes. Para cada uma das 10 séries de 100 lançamentos, conte o número de caras observados. (experimento aleatório)

Um experimento é dito determinístico quando levanta uma única resposta. Sempre que um conjunto de condições se realiza temos uma determinada resposta.

Exemplo: Tome 10 vasilhames com água, e aqueça-os a uma temperatura de 100o C, à pressão de 760 m (experimento determinístico)

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O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Normalmente é representado por . Podemos classificar o espaço amostral em: discreto – quando seus possíveis resultados forem um número finito ou infinito enumerável; ou, contínuo quando seus resultados estiverem associado a todos os números reais de um determinado intervalo.

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um evento simples é constituído de apenas um elemento. O evento impossível é representado por . Podemos representar um evento das seguintes maneiras: (a) Enumerando seus elementos (b) Por meio de uma regra

Exemplo: Considere o experimento aleatório “lançamento de um dado observando a face superior”. O espaço amostral deste experimento é:

Logo, é um espaço amostral discreto. Os eventos simples deste experimento são:

INTERSEÇÃO O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos. Este evento contém todos os elementos do espaço amostral comuns a A e a B. A representação deste novo evento é A B.

Exemplo: Considere o experimento aleatório “lançamento de 1 dado”, conforme acima e seja o evento A={sair par} e o evento B={4,5,6}. Temos que:

A B = {4,6} UNIÃO O evento união de A e B equivale à ocorrência do evento A, ou do evento B, ou de ambos os eventos A e B. Ou seja, este evento contemos os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos eventos A e B. A representação para este evento é A U B.

EXEMPLO: Retornando ao exemplo anterior, temos que A U B = {2,4,5,6}

O complementar de um evento A, denotado por A, é a negação do evento A formado pelos elementos que não pertencem a A até completar o espaço amostral. A união do evento A com o seu complementar A resulta no espaço amostral do experimento aleatório.

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EXEMPLO: Retornando ao exemplo anterior, temos A={sair par}. Logo A é definido como não sair par. Ou seja, A={sair ímpar}. Assim, A U A significa sair par ou sair ímpar que corresponde ao espaço amostral

Se A, B e C são eventos associados a um espaço amostral , então as propriedades abaixo são válidas:

Idempotentes: A U A = A e A A = A

Comutativas: A B = B A e A U B = B U A

Associativas: A (B C) = (A B) C e A U (B U C) = (A U B) U C

Identidades: A = A ,A U  =  , A= e A U  = A
Complementares: = , = , AA =e A U A= 
Leis de Morgan: )(BA= A U Be )(AUB= A  B

Distributivas: A (BUC) = (A B) U (A C) e AU(B C)=(AUB) (A UC) Absorções: AU(A B) = A e A (AUB) = A

PROBABILIDADE – Definições Básicas

Historicamente, temos três abordagens para definir probabilidade e para determinar os valores de probabilidade: O enfoque clássico, o da freqüência relativa e o subjetivo.

1.1) Enfoque clássico:

Se existe a resultados possíveis favoráveis a ocorrência de um evento A e b resultados possíveis não favoráveis à ocorrência de A, e sendo todos os resultados igualmente prováveis e mutuamente exclusivos, então a probabilidade de A ocorrer é.

casosdetotalNúmero favoráveiscasosdeNúmero

Exemplo 1. Em um baralho que contém 4 ases e 48 outras cartas, a probabilidade de se obter um ás em uma única retirada, ao acaso, de uma carta é.

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1.2) Enfoque da Freqüência Relativa:

A probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável em um certo número de observações ou experimentos. Não existe suposição prévia de equiprobabilidades. Uma vez que a determinação dos valores da probabilidade está baseada na observação e na coleta de dados, este enfoque é também chamado de enfoque empírico.

Exemplo: Antes de incluir a cobertura para certos tipos de problemas dentais em apólices de seguro-saúde, uma companhia de seguros deseja determinar a probabilidade de ocorrer tais problemas, para estabelecer, de acordo com ela, a taxa de seguro. Portanto, o estatístico responsável coleta dados para 10.0 adultos nas faixas apropriadas de idade e observa que 100 pessoas tiveram o problema dental em questão durante o ano passado. A probabilidade de ocorrência é, portanto: Evento A = adultos com a doença

Tanto o enfoque clássico como o enfoque da freqüência relativa geram valores objetivos de probabilidade.

1.3) Enfoque Subjetivo:

Pela abordagem subjetiva, a probabilidade de um evento é o grau de crença de um indivíduo de que o evento irá ocorrer, baseado em toda evidência a ele disponível.

2) Expressão da Probabilidade

O símbolo P é usado para designar a probabilidade de um evento. Então P(A) denota a probabilidade o evento A ocorrer em uma só observação ou experimento.

O menor valor que um enunciado de probabilidade pode ter é 0 (evento impossível) e o maior valor é 1 (evento certo).

P( ) = 1 e P( ) = 0 Então, em geral:

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Em uma dada observação ou experimento, um evento ocorre ou não ocorre.

Por conseguinte, a probabilidade da ocorrência mais a probabilidade de não ocorrência será igual a 1.

Exemplo: Suponha que um sucesso seja definido como retirar ao acaso qualquer figura ou um ás de um baralho de 52 cartas. A razão a favor associada com o sucesso é 16:36, ou 4:9. A probabilidade de sucesso é:

eventoA= obter sucesso no experimento

Evento A= não obter sucesso no experimento = obter fracasso

P(A) = 1 – P(A) = 1 – 134 = 139 3) Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos elementos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente impede a ocorrência do outro evento (ou eventos). Ou seja, dois eventos são mutuamente exclusivos quando a interseção entre estes dois eventos é nula ou a probabilidade da ocorrência da interseção entre os dois eventos é igual a zero.

Se A B= então A e B são mutuamente exclusivos ou

Se P(A B) = 0 então A e B são mutuamente exclusivos

Axiomaticamente, temos que:

Se A1, A2,, An são eventos mutuamente exclusivos, então:
P(A1 U A2 UU An) = )(1

iAP

4) As regras de adição

As regras de adição são utilizadas quando desejamos determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou um outro (ou ambos) em uma só observação. Simbolicamente podemos representar a probabilidade de ocorrer o

Se os eventos forem mutuamente exclusivos, temos:P(AB) = P(A) + P(B)

evento A ou o evento B por P(A ou B). Na linguagem da teoria dos conjuntos. isto é conhecido como união de A e B e a probabilidade é designada por P(A B). Se os eventos não forem mutuamente exclusivos, temos:

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5) Eventos independentes, eventos dependentes e probabilidade condicional

Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Uma outra definição para eventos independentes é que dois eventos A e B quaisquer são independentes se, e somente se, a probabilidade da interseção entre eles é o produto das probabilidades individuais:

Exemplo: Os resultados associados com dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades respectivas de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento.

Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido o evento A. Note que “B/A” não é uma fração.

No caso da probabilidade condicional a ocorrência do evento relacionado A reduz o espaço amostral aos possíveis elementos de A.

Exemplo: Jogar um dado observando o resultado da face superior e calcular a probabilidade de sair face 5, sabendo que o resultado obtido foi igual ou superior a quatro.

Sabemos que o espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temos os eventos:

A = {sair face 5}={5} e B = {saiu face igual ou superior a quatro} = {4,5,6} Logo, podemos calcular pela definição:

Pela redução do espaço amostral, temos: Se ocorreu o evento B, o espaço amostral fica reduzido a = {4, 5, 6}. Assim:

Obs.: Não confundir independência de eventos com eventos mutuamente exclusivos.

Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo P(A B)= 0

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interfere na ocorrência do outro

Eventos independentes: a probabilidade de ocorrência de um evento não

Se os eventos são independentes, temos:P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)

6) Regras de multiplicação

Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada duas vezes, a probabilidade de que ambos os resultados sejam “cara” é:

Evento Ai= sair cara no i-ésimo lançamento i=1,2 S= sair cara nos 2 lançamentos

Se os eventos não são independentes, ou seja, se os eventos são dependentes, temos:

P(A e B) = P(AB)=P(A)P(B/A) ouP(B e A) = P(BA)=P(B)P(A/B)

Exemplo 1: Suponha que um conjunto de 10 peças contenha oito em boas condições(B) e duas defeituosas (D). O experimento consiste em retirar-se duas peças aleatoriamente e sem reposição. Segundo a regra para a multiplicação de eventos dependentes, a probabilidade de que as duas peças selecionadas sejam boas é:

eventos A= as duas peças sejam boas Bi= a i-ésima peça retirada é boa ; i=1,2

Exemplo 2: Verificar se os seguintes eventos são independentes:

Em um baralho de 52 cartas

A= tirar uma carta de espadas B= tirar um ás Calculando as probabilidades dos eventos temos:

Como

7) Tabelas de Probabilidade Conjunta

Tabela de contingência para clientes da loja X

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Tabela de probabilidade conjunta para clientes da loja X

Suponha que estejamos interessados na probabilidade de que uma pessoa aleatoriamente escolhida tenha menos que 30 anos, dado que é um homem.

8) Teorema da Probabilidade total:

Se {B1,,Bn } é uma partição do espaço amostral Ω, com P(Bi)>0 para qualquer

valor de i. Dado um evento qualquer A, tem-se:

P (A) = P (A|B1 ) P (B1) ++ P (A|Bn ) P (Bn)
Seja {B1,,Bn } uma partição do espaço amostral Ω, com P(Bi)>0 para qualquer

9) Teorema de Bayes valor de i. Dado um evento qualquer A, com P(A)>0, tem-se:

BPBAP BPBAPi ABP

Formatado Formatado Formatado Formatado Formatado

Excluído: ¶

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Exercícios:

Descreva o Espaço Amostral (S) e os Eventos com seus elementos (caso necessário) dos seguintes Experimentos Aleatórios:

1) O experimento consiste em lançar dois dados. Determine o espaço amostral. Considere os seguintes eventos: X – {saem dois números iguais} , Y-{a soma dos dois números é menor que 5}, X Y.

2) O experimento consiste em lançar três moedas. Determine o espaço amostral. Considere os seguintes eventos: A – {SAIR DUAS CARAS} , B – {NÃO SAIR COROAS}, C –

{SAIR NO MÁXIMO 1 COROA} e A  C

3) Num sorteio são selecionados aleatoriamente dois números, com reposição, de um conjunto de bolas numeradas que de vão de 1 até 5. Descreva o espaço amostral.

4) Uma caixa contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas, e outra caixa contém 2 bolas azuis e 3 vermelhas. O experimento consiste em extrair-se ao acaso uma bola de cada uma das caixas. Considere os eventos A1-{sair pelo menos uma bola azul} AB-{sair uma bola azul e uma bola vermelha}

5) Num certo colégio 4% dos homens e 1% das mulheres tem mais do que 1,60m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. O experimento consiste em selecionar um estudante aleatoriamente. Considere o evento A-{não ser mulher}

6) O experimento consiste em lançar uma moeda não viciada. Se aparecer cara, então seleciona-se aleatoriamente um número de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número entre os de 1 a 5. Seja o evento A – {aparecer cara}

7) Em uma joalheria, cada um de três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um relógio de prata. O experimento consiste em escolher ao acaso um armário, e aberta uma das gavetas (também aleatoriamente) e observar o que se encontra dentro da gaveta.

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