Tabela de Transformadas de Laplace

Tabela de Transformadas de Laplace

Transformada de Laplace Transformada de Laplace - Tabela

Observacao Domınio do Tempo Domınio da Frequencia condicao constante k k eat 1 n ∈ N tn n!

sen(at) a cos(at) s senh(at) a cosh(at) s eatsen(bt) b eatcos(bt) s n ∈ N tneat n! convolucao ∫ t

f(t) f(n)(t) snF(s) − sn−1f(0) −− f(n−1)(t)

Fabio Pereira Benjovengo 2o. semestre de 2006 1

Transformada de Laplace

1 Definicao A transformada de Laplace unilateral de um sinal x(t) e definida como

sendo que t ∈ R e s ∈ C (s = σ + jω). Existe uma transformada de Laplace bi-lateral obtida substituindo o limite de integracao inferior de (1) por −∞. Porem, como estamos interessados em analisar apena sistemas causais (um sistema e dito causal se sua resposta a entrada do tipo degrau nao comeca a ocorrer antes da aplicacao da entrada), usamos a transformada unilateral.

2 Existencia da Transformada de Laplace

E possıvel encontrar a transformada de Laplace de um sinal x(t) sempre que este apresentar ordem exponencial. Assim, existe um numero real B < ∞ tal que

Como um exemplo, considere o sinal x(t) = Aeαt (observe que este sinal apresenta transformada de Laplace para qualquer A e α). A transformada de Laplace da funcao exponencial (causal) x(t)

e dada por

0 Aeαte−stdt = A

Portanto

(indeterminado), para σ = α, ∞, para σ < α.

Observacao: se a parte real da frequencia complexa s for menor do que α, diz-se que este s nao pertence ao domınio da funcao. Portanto, como a aplicacao do Teorema do Valor Final necessita fazer s = 0 (σ = 0), e importante verificar o domınio da funcao antes de sua aplicacao. Exemplo: o Teorema do Valor Final nao pode ser aplicado, por exemplo, para o sinal x(t) = e2t; neste caso, o ponto s = 0 esta fora do domınio da funcao (s > 2).

O domınio de uma funcao em s sao os valores de s para os quais a funcao X(s) e analıtica.

Para funcoes fracionais polinomiais (como as transformadas de Laplace consideradas neste curso), o calculo do domınio de s e facilitado. Para tais funcoes, basta calcular os polos do sinal transformado em Laplace (X(s)) e encontrar o polo com maior parte real (maior σ - nao em modulo). Caso o maior σ (chamado de σmax) seja maior do que 0, o domınio de s e s > σmax; caso σmax < 0, o domınio de s e s ≥ 0.

Fabio Pereira Benjovengo 2o. semestre de 2006 2

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