Baixe Transformada de Laplace e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! 1.. Revisão direcionada sobre Transformada de Laplace A transformada de Laplace é fundamental para o estudo dos sistemas de controle lineares e invariantes no tempo. As dinâmicas desses sistemas podem ser representadas por equações diferenciais no domínio do tempo que, em muitas das vezes, possuem difícil e penosa resolução no domínio do tempo. Por exemplo, integração e diferenciação, são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma vez resolvida a expressão algébrica no domínio “s”, a resposta da equação diferencial no domínio do tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão em frações parciais. Um exemplo de aplicação pode ser mostrado através de um sistema massa-mola-amortecedor. Esse sistema pode ser representado pela seguinte equação diferencial , tirada da segunda lei de Newton , onde: M é a massa, B é o coeficiente de atrito e K a constante da mola e (a) é a aceleração resultante do sistema, x(t) é o deslocamento que o sistema sofre em função de t, devido à aplicação da força F(t), ou seja, . A resolução desta equação no domínio s ou também conhecido como domínio da frequência, (Laplace – plano complexo) se resume à resolução de uma equação simultânea do segundo grau da seguinte forma (esse procedimento será visto adiante). Portanto, a relação entre o deslocamento sofrido pela massa X(s) devido à força aplicada F(s) é dada por , ou melhor, . Dada uma força aplicada F(s) obtemos um deslocamento X(s) em função dos parâmetros M (massa), B (atrito) e K (constante da mola). A resolução desse problema no domínio do tempo como resposta x(t) à força f(t) aplicada será a transformada inversa de Laplace de X(s), ou seja, que pode ser resolvido facilmente através do método de decomposição em frações parciais como será visto mais adiante. 1...1... Definição geral A transformada de Laplace é determinada através da multiplicação de uma função ou sinal linear f(t) pela função e integrando o produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +F 0 A 5), ou seja: Obs. Consideraremos letras minúsculas para as funções no domínio do tempo e letras maiúsculas para as suas transformadas de Laplace (domínio da frequência) Esse procedimento fará com que uma função f(t), com t uma variável real positiva no domínio do tempo, seja convertida em uma função no domínio complexo com s uma variável complexa (a + jb) com -F 0 A 5<a<F 0 A 5 e -F 0 A 5<b<F 0 A 5. O operador, transformada de Laplace, é dado pelo símbolo L e o operador transformada inversa de Laplace é dado pelo operador L-1 A transformada de Laplace é uma transformação linear. Dadas as funções f(t), f1(t) e f2(t) e se elas apresentam transformada de Laplace, então: A seguir serão desenvolvidas as transformadas de Laplace de apenas algumas funções bastante usadas na teoria de controle. 1...2... Função exponencial e sua transformada A função exponencial é definida da seguinte forma: onde k e F 0 B 5 são constantes reais. Lembrando da teoria de cálculo, podemos fazer uma troca simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos . Devido à mudança de variáveis, os limites de integração também mudarão passando a ser; Para t = 0 F 0 D E u = 0 e para t = F 0 A 5 F 0 D E u = -F 0 A 5 Fazendo a troca de variáveis temos: Portanto, Para a transformação efetuada, K é um ganho e o inverso de , ou seja, é uma constante de tempo. O gráfico da função é mostrado a seguir: Observe que quando t=0 f(t) = 4 e quando t = F 0 A 5 f(t) = 0. Observe também que F 0 B 5 = 2 e o seu inverso é 0,5 que é a sua constante de tempo. Veja que para t igual a 5 valores de constante de tempo, ou seja, t = 2,5 seg, o valor da função é praticamente o valor que ela teria em t = F 0 A 5, ou seja, f(F 0 A 5) = 0. Em geral podemos dizer que uma exponencial ao atingir um tempo em torno de quatro a cinco vezes a sua constante de tempo, o valor atingido é praticamente o valor que ela teria para t = F 0 A 5. Gráfico traçado pelo software MATLAB. 1...3... Função degrau e sua transformada A função degrau é definida da seguinte forma: onde k é uma constante real e u(t) = 1 para t F 0 B 3 0. A transformada de Laplace de k.u(t) (t F 0 B 3 0) fica: (observe que a transformada de Laplace é definida no intervalo (0,F 0 A 5) uma vez que a conversão é feita para funções no tempo e pelo que sabemos até o momento, não existe tempo negativo). Da mesma forma feita no item 1.3.2, podemos fazer uma troca também simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos: . Os limites de integração também mudarão passando a ser: para t = 0 F 0 D E u = 0 e para t = F 0 A 5 F 0 D E u = -F 0 A 5 Fazendo a troca de variáveis temos: Portanto, Para a transformação efetuada, K é um ganho e, se for igual a um, denominados de degrau unitário. Esta função e ostensivamente utilizada na teoria de controle. Observa-se também que para a função degrau, =0, ou seja, a constante de tempo é infinita, ou seja, a função não parte de 0 e vai a 1 num determinado tempo ela já parte de 1 para t F 0 B 3 0. Para descrevermos melhor a aplicação dessa função nos sistemas, imagine uma balança de prato com indicação analógica e desejamos medir a massa de um certo material. Imagine que o instante em que o material é colocado na balança seja t = 0, obviamente, a massa medida pela balança num tempo anterior à colocação do tijolo no prato da balança será 0. Veja que a partir de t = 0 o valor de massa colocado no prato da balança vale K e não modificará para todo t F 0 B 3 0. Esse é um exemplo de aplicação da função u(t). A resposta da balança (considerada o sistema) será a movimentação do ponteiro analógico em sua régua graduada. Esse ponteiro saíra de 0 (massa = 0) e a partir de t = retorna ao ponto de onde partiu. É como se desse um “murro rápido” na balança e o ponteiro irá mais longe, na escala da balança, quanto maior for esse “murro rápido”. O gráfico da aplicação do material na balança com f(t) = K.F 0 6 4(t) e da resposta da balança são vistos a seguir: As oscilações no gráfico de resposta da balança poderão alterar dependendo dos valores de K. No caso, K = 5 o mesmo considerado na seção 1.3.3. 1...7... Funções seno e co-seno e suas transformadas Função Seno A transformada de Laplace da função seno é dada por Como já visto, podemos substituir por , substituindo temos: Para a primeira parcela da expressão acima, se fizermos então E os limites de integração passam a ser parae para , substituindo temos: Fazendo para a segunda parcela procedimento idêntico obtemos . Logo a expressão da transformada de Laplace para a função seno fica: Exercício proposto Determinar a transformada de Laplace da função co-seno, sabendo-se que . O procedimento é idêntico ao utilizado para determinar . Resposta: 1...8... Propriedades básicas da transformada de Laplace (TL) As propriedades das transformadas de Laplace mostradas a seguir são de grande importância na teoria de controle. 1...8....1.... Deslocamento no tempo Esta propriedade obtida pela inserção de um retardo de tempo na função temporal, já foi mostrada para que pudéssemos calcular a transformada de Laplace da função pulso no item 1.3.4. 1...8....2.... Multiplicação de f(t) por , observa-se que a transformada de Laplace de função nada mais é do que substituir s por (s + F 0 B 5) na definição da transformada de Laplace, portanto, se , então Esta propriedade é importante em controle quando precisamos determinar as transformadas de Laplace de funções do tipo utilizadas nas respostas de sistemas oscilantes com decaimento exponencial que tendem para um determinado valor. As transformadas de Laplace destas funções são dadas por: 1...8....3.... Mudança da escala de tempo Na análise de sistemas físicos, às vezes é conveniente a alteração da escala de tempo de uma dada função temporal. Se em uma dada alterarmos a variável tempo para então a função será alterada para . fazendo F 0 D E , então: Fazendo e substituindo, temos: Portanto, Exemplo Comparemos as duas expressões a seguir: 1...8....4.... Teorema das derivadas A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por: Sendo f(0) a condição inicial de f(t) calculada em t = 0. Para demonstrar o teorema utiliza-se a integração por partes: Fazendo Substituindo os valores de u e v, temos: Portanto, Logo: Se considerarmos condições iniciais nulas, temos f(0) = 0, então: Exemplos: Dada a expressão determine a sua forma no domínio da frequência com condição inicial igual a 1. Dada a equação diferencial com condição inicial x(0) = 2, determine a sua forma no domínio da frequência. Como x(0)=2, substituindo temos: Se quisermos achar a expressão de x(t) teremos que determinar a transformada inversa de X(s), ou seja, (Este cálculo será visto mais adiante) Da mesma forma, a transformada de Laplace de uma derivada de ordem n, será; Se as condições iniciais forem nulas, então teremos: Como exemplo, a transformada de Laplace de será: e se as condições iniciais forem nulas, então: Exercício resolvido Na equação diferencial a seguir ache a relação no domínio da frequência entre X(s) e U(s) considerando as condições iniciais nulas. Resolução: Esta expressão tem o nome de função de transferência e será vista mais adiante. Exercícios propostos Dada a equação diferencial a seguir, ache a relação no domínio da frequência, entre F(s) e U(s) considerando condições iniciais nulas. Dada a equação diferencial , cujas condições iniciais são f(0) = 2 e f’(0) = 1. Determine a sua forma no domínio da frequência. 2.. Tabela de transformadas de Laplace 3.. Revisão direcionada sobre transformada inversa de Laplace (TIL) Exercícios propostos Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções Lembre-se de que o cálculo das raízes é somente para o denominador, ou seja, determinação dos polos. a) b) 3...1....2.... Raízes reais e iguais (raízes múltiplas) Seja a função sendo n < m (inteiros positivos) k F 0 A E uma constante real. z F 0 A E zeros p F 0 A E polos Se os polos de F(s) são múltiplos, então F(s) pode ser expandido em: Os resíduos são obtidos da seguinte expressão: sendo ai = 1, 2, ..., n Exercício resolvido Dada a função , determine a sua dada pela sua transformada inversa de Laplace (TIL). A transformada inversa de Laplace de é obtida diretamente da tabela de transformadas fornecida (par número 8 da tabela ). Exercícios propostos Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções a) b) (Observe que neste exercício teremos uma combinação de raízes distintas e raízes múltiplas. O procedimento é o mesmo) 3...1....3.... Raízes complexas conjugadas Seja a função Suponhamos que um par de raízes seja complexas conjugadas. É bom relembrar que as raízes complexas só aparecem aos pares, sendo uma conjugada da outra. Os procedimentos de cálculo são idênticos aos dois processos anteriores, porém, as raízes serão complexas conjugadas ao invés de reais. A visualização através de exemplos tornará mais fácil o entendimento. Exercícios resolvidos Seja a função. Determine a sua transformada inversa de Laplace. A sua transformada inversa é dada por: Os polos da função são: ficando: Como os polos são complexos conjugados, as constantes a1 e a2 também serão complexas conjugadas, vamos calcular a1 e a2 e mostrar essa afirmação. As raízes são diferentes e não são múltiplas, então, utiliza-se o método para raízes diferentes, só que agora as raízes são complexas e não reais. Logo, É um pouco trabalhoso, mas é fácil. É só fazer com atenção para não errar nas contas. Confirmando o cálculo para a2. Confirmando que a2 é o complexo conjugado de a1. Agora colocando a1 e a2 na forma polar temos: ou e Substituindo os valores de a1 e a2 temos: Nota-se, portanto, que o procedimento é idêntico ao de raízes reais, exceto pela quantidade de cálculos que, naturalmente, é um pouco maior. Podemos adotar uma forma padrão como se segue: Dada a função expandida em frações parciais com polos complexos, então: Substituindo os valores de k1 e k2 na expressão de F(s) acima e trabalhando-a, como feito no exercício anterior, então, chega-se na seguinte expressão para . Outra maneira de resolver este tipo de transformada inversa de Laplace é visualizar, na expressão dada, uma transformada de Laplace conhecida. Se conseguir “enxergar” é importante pois evita muitas contas. Veja o exemplo a seguir: Encontre a transformada inversa de Laplace de . Se observarmos que então podemos colocar a expressão na forma: Se verificarmos a tabela de pares de transformadas de Laplace, veremos que a primeira parcela é a transformada de Laplace de (par nº 21 da tabela) e a segunda parcela é a transformada de Laplace de (par nº 20 da tabela). Portanto, a função Pode-se perceber pela expressão que o gráfico desta função será oscilante tendendo a zero quando o tempo tende a infinito devido à exponencial decrescente. O gráfico está mostrado abaixo. Exercícios propostos Chegar na expressão b) Observe que c) Para o exercício (b) utilize uma casa decimal. Faça o exercício substituindo diretamente na expressão padrão e depois faça os cálculos e confira com o resultado obtido, substituindo diretamente na expressão padrão. Lembre-se que, mesmo para colocar os valores na expressão padrão, deve-se calcular os polos da função e as constantes k1 e k2. 3...2... Cálculo de resíduos utilizando o MATLAB Para expressões muito complexas, a utilização do MATLAB se torna importante. A seguir é dado um exemplo de utilização do software. Determinar os resíduos da função . Para termos uma idéia da complexidade de cálculo da transformada inversa de Laplace desta função, obteremos, via MATLAB, os seus polos. Código MATLAB A = [1 9 42 108 147 99 26]; roots(A) A resposta do MATLAB será: ans = -2.0000 + 3.0000i -2.0000 - 3.0000i -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 Observa-se que a função possui um polo distinto em s = -2, um polo múltiplo em s = -1 e um par de raízes complexas conjugadas em s = -2 F 0 B 1 j3. A determinação dos resíduos de forma analítica torna-se uma operação bastante penosa. Utilizando o MATLAB para a determinação dos resíduos teremos: Código MATLAB A = [1 3 0 1]; (Coeficientes do polinômio do numerador) B = [1 9 42 108 147 99 26]; (Coeficientes do polinômio do denominador) [r,p,k]=residue(A,B) r – vetor onde serão colocado os resíduos; p – vetor onde serão colocados os polos associados a cada resíduo. k – Uma constante real denominada ganho. A resposta fornecida pelo MATLAB será: