Desdobramento Graus de Liberdade

Desdobramento Graus de Liberdade

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Roteiro de Aula

Curso: Engenharia Agronômica - 3º período Disciplina: Estatística Experimental

Professor: José Ricardo Gonçalves Manzan

Aula 6: Desdobramento dos graus de liberdade

Quando fazemos a Análise de Variância (Teste F) de um experimento inteiramente ao acaso com mais de 2 graus de liberdade para os tratamentos, e nos deparamos com um resultado significativo, temos apenas uma certeza: “Existe pelo o menos uma diferença entre os tratamentos”. Para identificar essa diferença, executamos algum teste de comparação de médias que seja mais adequado a situação como, por exemplo, o teste de Tukey, Duncan, SNK, Scott-Knott, entre outros.

Outro caminho para a identificação destas diferenças corresponde ao “Desdobramento dos graus de liberdade”, que nada mais é que uma técnica de subdivisão dos graus de liberdade e somas de quadrados do tratamento em (k-1) contrastes que evidenciem as possíveis diferenças de acordo com os objetivos do experimento ou do pesquisador.

Para que o desdobramento dos graus de liberdade seja realizado é preciso atentar para os seguintes detalhes:

• A Análise de Variância preliminar foi feita e por sua vez é significativa;

• Os contrastes a serem analisados devem ser ortogonais dois a dois;

• O número de repetições entre tratamentos pode ser igual ou diferente, mas os métodos de execução podem ser iguais ou diferentes;

• As comparações são independentes entre si;

• Cada contraste terá 1 grau de liberdade;

• O contraste serve para comparar dois tratamentos ou dois grupos de tratamentos;

• A somatório das somas de quadrados dos contrastes é sempre igual a soma de quadrados dos tratamentos obtida na Análise de Variância Preliminar.

Para calcular as somas de quadrados de contrastes, temos duas alternativas: método dos contrastes de totais de tratamentos e método dos totais de tratamentos.

a) Método dos contrastes de totais de tratamentos:

Para cada contraste as somas de quadrados é dada pela fórmula:

I

ou 2 i i

Onde:

• Y é a estimativa do contraste, calculada com a substituição dos totais de cada tratamento.

• r é o número de repetições de cada tratamento.

Além disso é importante de se observar que dois contrastes são ortogonais se:

i i c b=

Caso o número de repetições entre os tratamentos seja diferente, usamos a seguinte fórmula para cálculo das somas de quadrados: 2

I I

ou

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Curso: Engenharia Agronômica - 3º período Disciplina: Estatística Experimental

Professor: José Ricardo Gonçalves Manzan

n i i

Neste caso dois contrastes

i i rc=

i i rb= com número diferente de repetições para os tratamentos,serão ortogonais, se:

i i i rc b= b) Método dos totais de tratamentos:

Neste método não utilizamos as estimativas dos contrastes. Sejam dois grupos A e B de tal modo que se deseja realizar a comparação entre eles.

Total do grupo A = TA(nA parcelas)
Total do grupo B = TB(nB parcelas)
Total= TA + TB (nA + nB parcelas)

T T T TS Q AvsB n n n n

Exemplo 1: Consideremos um experimento extraído de BANZATTO, 1992, p.64, onde foi realizado um DIC com r = 4 repetições, para comparação dos efeitos de 5 tratamentos em relação ao crescimento de mudas de Pinus oocarpa, 60 dias após a semeadura. Os tratamentos utilizados foram:

1 – Solo de cerrado (SC) 2 – Solo de cerrado + esterco (SC + E) 3 – Solo de cerrado + esterco + NPK (SC + E + NPK) 4 – Solo de cerrado + vermiculita (SC + V) 5 – Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC + V + NPK)

Os resultados obtidos para as alturas médias de Pinus oocarpa sob aqueles tratamentos, em centímetros, aos 60 dias após a semeadura, são apresentados no quadro a seguir:

REPETIÇÕES TRATAMENTOS 1 2 3 4 TOTAIS

Faça a Análise de Variância e caso seja necessário proceda ao desdobramento dos graus de liberdade.

Solução:

Pela Análise de Variância, obtemos os coeficientes a seguir:

Causa de variação G.L. S.Q. Q.M. F

Total 19 1,51

Veja que o teste é significativo a 1% e 5%.

Faremos desdobramentos conforme a situação indicada. Neste caso seriam interessantes as seguintes comparações:

1) Solo de cerrado VS demais 2) Com esterco VS Com vermiculita 3) Esterco sem NPK VS Esterco + NPK 4) Vermiculita sem NPK + Vermiculita + NPK

Para estabelecer os contrastes, procedemos da seguinte forma:

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Curso: Engenharia Agronômica - 3º período Disciplina: Estatística Experimental

Professor: José Ricardo Gonçalves Manzan a) Escrevemos os totais dos tratamentos (Ti) envolvidos na comparação proposta; b) Atribuímos sinal positivo aos totais de tratamentos de um grupo e sinal negativo aos totais do outro grupo; c) Verificamos o número de tratamentos envolvidos no 1º grupo (n1) e o número de

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