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3.1Hipóteses da teoria de viga de Euler Bernoulli

Considera-se uma viga de comprimento L, de largura B, de altura H, área da seção transversal A e momento de inércia I, sobre a qual atua uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano xz, Figura 3.1 Oñate (1992).

1Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são
2O deslocamento lateral (segundo o eixo y é nulo).
3As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação, permanecem

A teoria de vigas de Euler Bernoulli compartilha das seguintes hipóteses. pequenos e iguais ao eixo da viga. planas e ortogonais ao eixo após a deformação.

Figura 3.1 Viga convencional de Euler Bernoulli

3.2Hipóteses da teoria de viga de Timoshenko

Considera-se uma viga de comprimento L, de largura B, de altura H, área da seção transversal A e momento de inércia I, sobre a qual atua uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano xz, Figura 3.2 Oñate (1992).

1Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seção transversal são

A teoria de vigas de Timoshenko compartilha das seguintes hipóteses. pequenos e iguais ao o eixo da viga.

2O deslocamento lateral (segundo o eixo y é nulo).
3As seções planas normais para o eixo da viga antes da deformação mantêm-se planas,

porém não necessariamente normais ao eixo depois da deformação, Figura 3.2.

Figura 3.2 Teoria de flexão de vigas de Timoshenko. Deformação de uma reta normal à linha neutra.

Esta hipótese representa uma maior aproximação da deformação real da seção transversal em vigas. Na medida que a relação entre o comprimento L e altura H aumenta, as tensões de cisalhamento na direção da altura tornam-se importantes e não podem mais ser desprezadas. Na Figura 3.2 a hipótese de Timoshenko supõe tomar uma rotação média na direção da seção plana normal ao eixo da viga, de maneira que os efeitos práticos possam continuar sendo considerados planos. Da Figura 3.2 tem-se que a rotação da seção normal pode ser expressa por,

(3.1)

na qual dxdw é o declive da deformação do eixo da viga e f um giro adicional devido à deformação por cortante, como podemos ver a seguir. O campo de deslocamento da viga se expressa da seguinte forma.

0),,(=zyxv(3.2)

Por outro lado, as Equações (3.1) e (3.2) mostram que as deformações não nulas são as seguintes:

d z

(3.3)

dxdwdzdudxdw xz na qual xe é a deformação normal xzg é a distorção

Conseqüentemente, a teoria de Timoshenko considera o efeito da deformação por cortante transversal, coincidindo a magnitude dessa deformação com a rotação adicional da

As duas tensões não nulas xs e zxt se relacionam com as correspondentes deformações, cq es zE

(3.4)

dw G xzxz

na qualxs é a tensão normal, G é o modulo de elasticidade transversal e dxdqc= a curvatura do eixo da viga.

O momento fletor e o esforço cortante, de acordo com os sinais da Figura 3.3, são definidos como,

EIdAzM cq s

(3.5)

dw GAdAQ gqt

Figura 3.3 Teoria de vigas de Timoshenko. Distribuição de tensões normais e tangenciais. Convenção de sinais para o momento fletor e o esforço cortante.

Analisando a distribuição suposta da teoria de vigas de Timoshenko e a distribuição exata das tensões normais e tangenciais Figura 3.3, observa-se que a variação linear das tensões normais xs com altura H na teoria de vigas de Timoshenko coincide com a distribuição exata. Pelo contrario, a variação uniforme da tensão tangencial zxt com a altura H da teoria de vigas de Timoshenko está em contradição com a distribuição exata. Assim, considerando que a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da altura não é uniforme,

xzxzGgat=(3.6)
xzxzGAGAQgga*==(3.7)

na quala é o coeficiente de forma ou de distorção da seção, e AAa=* se denomina área reduzida.

Na Figura 3.4 são apresentados os valores dos coeficientes de distorção que dependem da geometria da seção transversal.

Figura 3.4 Valor do coeficiente de distorção a para tipos diferentes de seções de viga.

O princípio dos trabalhos virtuais ou princípio dos deslocamentos virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tensões internas na deformação virtual do corpo é igual ao trabalho realizado pelas forças exteriores nos deslocamentos virtuais dos seus pontos de aplicação Zienkiewicz (1988), Cook (2002). De um modo mais simples é comum afirmar que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho externo das forças aplicadas.

Trabalho Interno = Trabalho Externo(3.8)

50 Considerando, fiWd = Trabalho interno associado à flexão ciWd = Trabalho interno associado à cortante eWd = Trabalho externo

De acordo com a Equação (3.8) tem-se:

fiWd+ ciWd = eWd(3.9)

Com base no principio de trabalhos virtuais Azevedo (2003), Craig (1981), tem-se:

)(||])[(][||])[(][xxdJBGABdJBEIBKcTcfTfe(3.10)
)(||][])[(||][])[(xrxrdJNNAdJNNIMTTe(3.1)

3.2.2 Elementos finitos para flexão de vigas de Timoshenko Na figura abaixo se encontra representado um elemento de viga com dois nós.

Figura 3.5 Elemento de viga de Timoshenko de dois nós.

Os deslocamentos generalizados dos nós do elemento finito representado na Figura (3.5) são os seguintes:

q w

a(3.12)

A interpolação do deslocamento w e da rotação q é efetuado separadamente para cada uma destas variáveis. Uma vez quew e q apresentam dois valores nodais cada, é utilizada a seguinte interpolação unidimensional com dois nós.

21)()()(wNwNwxxx+=(3.13)
21)()()(qxqxxqNN+=(3.14)

As Equações (3.13) e (3.14) podem ser escritas na forma que se apresenta a seguir:

i aNw x

(3.15)

x x N

Ni(3.16)

q w

ai(3.17)

3.2.3 Campo de deslocamento do elemento paramétrico

De uma forma geral, o refinamento da solução de um problema qualquer pode se dar através da utilização de elementos de ordem fixa, para os quais o tamanho h é sucessivamente reduzido (refinamento tipo h), bem como, através da utilização de elementos de forma fixa, para os quais a ordem paumenta sucessivamente (refinamento tipop).

No desenvolvimento deste trabalho, considera-se o refinamento tipo,p uma vez que se pretende o aprimoramento da solução sem que haja a alteração da malha de discretização. Entretanto, quando se empregam funções de forma padrão como aquelas da família

Lagrangeana, a cada mudança de ordem, corresponde um aumento do numero de nós do elemento gerando conseqüentemente funções de forma totalmente diferentes para cada nível de aproximação. Se este fosse o procedimento adotado, todos os cálculos já efetuados quando da análise anterior deveriam ser repetidos ocasionando um aumento do custo computacional. Portanto, é vantajoso evitar esta dificuldade e considerar a aproximação como uma série na qual as funções de forma não mais dependem dos nós do elemento. O aumento da ordem do elemento sem o conseqüente aumento do seu número de nós pode ser obtido a partir das funções de forma hierárquicas que representam simplesmente um refinamento de ordem superior. Assim, o refinamento da expansão quadrática especificada pela Equação (3.15) pode ser obtido adicionando funções de forma hierárquicas )(xhmNde ordem superior a um. Neste trabalho o refinamento da expansão quadrática será feito adicionando funções de forma hierárquicas de segundo, terceiro e quarto graus. Portanto, as funções )(xhmN são polinômios de grau m (m = 2, 3, 4) associados a cada elemento. As funções de forma hierárquicas utilizadas foram definidas em termos das integrais dos polinômios de Legendre Szabo (1991), definido na Equação (2.41).

1)(2-=xxhN(3.18)
)(2)(3x-=hN(3.19)
)(244+-=xxxhN(3.20)

Desta forma, o deslocamento dado pela Equação (3.15) para o caso do elemento isoparamétrico, torna-se:

i m hmhmii aNaNw x

(3.21)

constituído dos parâmetros hierárquicos. As funções de forma )(xhmNquando inseridas na

Se respectivamente, hmw e hmq são as componentes do vetor {}hma~ a equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:

i h hm hm hm i i i i i w N

N w q x x xq

(3.2)

x hm hm hm N

N(3.23)

= hm hmhm w a q

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