Raciocínio Lógico

Raciocínio Lógico

(Parte 1 de 6)

Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

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Sérgio Carvalho& Weber Campos – Raciocínio Lógico Apostila de Raciocínio Lógico – Concurso do INSS/2008

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:

O número 6 é par. Existe um número ímpar menor que dois. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. O cão late e o gato mia. 2 + 8 = 10 5 > 7 A Terra é o maior planeta do Sistema Solar. A polarização horizontal é indicada para ondas terrestres. Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

Não são proposições: 1) sentenças como as interrogativas: “Qual é o seu nome?” 2) sentenças exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 3) sentenças imperativas: “Estude mais.” 4) sentenças que não tem verbo: “O caderno de Maria.” 5) Sentenças abertas: “x é maior que 2”; “x+y = 10”.

Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Não se pode subdividi-Ia em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.

Exemplo:

Fabíola foi ao cinema. Luciana é brasileira.

Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela, uma nova proposição.

Exemplo:

A sentença "Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é possível retirar-se dela duas outras proposições:

"Cínthia é irmã de Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio".

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proposições compostas, tais como "não", "e", "ou", "seentão" e "se e somente se" aos

Existem alguns termos e expressões que estão freqüentemente presentes nas quais denominamos conectivos lógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de modo a criar novas proposições.

A sentença"Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y"

Exemplo:

então" e "ou") que estão agindo sobre as proposições simples "x é maior que y", "x é igual

é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ("não", "se a y" e "x é menor que y".

O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.

As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico usado para ligar as proposições componentes, como veremos a seguir.

São apresentados no quadro abaixo os conectivos lógicos, bem como seus significados e a estrutura lógica generalizada da proposição composta respectiva.

linguagem idiomática Símbolo Estrutura lógica Exemplo E ∧ Conjunção: A ∧ B João é ator e alagoano.

Ou ∨ Disjunção: A ∨ B Irei ao cinema ou à praia.

seentão → Condicional: A  B Se chove então faz frio.

se e somente se ↔ Bicondicional: A ↔ B

Vivo se e somente se sou feliz.

Não ~ Negação: ~A O número 2 não é ímpar

# CONJUNÇÃO: “A e B”

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "e".

A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como: A ∧ B

Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A: André é pianista. B: André é brasileiro.

A conjunção “A e B” pode ser escrita como: André é pianista e brasileiro.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção "A e B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

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A B A e B

A conjunção "A e B" é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é também verdadeira. Para que a conjunção "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja falsa.

# DISJUNÇÃO: “A ou B”

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "ou".

A conjunção “A ou B” pode ser representada simbolicamente como: A ∨ B

Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A: Alberto fala espanhol. B: Alberto é universitário.

A disjunção "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou é universitário.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção "A ou B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A ou B

componentes seja verdadeira

A disjunção "A ou B" é falsa somente quando A é falsa e B é também falsa. Para que a disjunção "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições

# DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B”

Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:

1ª) “Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 2ª) “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”

A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.

Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.

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Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva.

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.

O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte:

A B ou A ou B

# CONDICIONAL: “Se A então B”

quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Seentão" ou por uma de suas formas

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições equivalentes.

A proposição condicional "Se A, então B" pode ser representada simbolicamente como: A → B Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A: José é alagoano. B: José é brasileiro.

A condicional "Se A, então B" pode ser escrita como: A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.

Se A, BA é condição suficiente para B.
B, se AB é condição necessária para A.
A implica BTodo A é B.

As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": Quando A, B. A somente se B.

Exemplo: Se chove, então faz frio. São expressões equivalentes:

Se chove, faz frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Faz frio, se chove. Fazer frio é condição necessária para chover. Quando chove, faz frio. Chove somente se faz frio. Chover implica fazer frio. Toda vez que chove, faz frio.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional "Se A então B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

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Uma condicional "Se A então B" é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.

# BICONDICIONAL: “A se e somente se B”

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se".

A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser representada simbolicamente como: A↔B .

Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A: Mauro é criativo. B: Mauro é brasileiro.

A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como: A B: Mauro é criativo se e somente se Mauro é brasileiro.

Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “ A B “ é a mesma coisa que “ (A → B) e (B → A) “

Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes expressões:

A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.

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A proposição bicondicional "A se e somente se B" é verdadeira somente quando A e

B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.

# NEGAÇÃO: “não A”

Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se obtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico "não" ou de outro equivalente.

A negação "não A" pode ser representada simbolicamente como: ~A Daí as seguintes frases são equivalentes entre si.

Lógica não é fácil.

Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil.

Uma proposição A e sua negação "não A" terão sempre valores lógicos opostos.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação "não A" para cada um dos valores que A pode assumir.

A não A

Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

Revisão dos Conectivos:

Compare os valores lógicos de cada conectivo que isso vai ajuda-lo a memorizar

Na resolução de várias questões de lógica, devemos conhecer as tabelas-verdade dos conectivos, para isso apresentamos abaixo uma tabela-verdade única contendo todos eles.

A B A e B A ou B ou A ou B A → B A B

No quadro abaixo, apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dos conectivos, mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso.

Estrutura lógica É verdade quando É falso quando

A ∧ B A e B são, ambos, verdade um dos dois for falso A ∨ B um dos dois for verdade A e B, ambos, são falsos A → B nos demais casos A é verdade e B é falso

A ↔ B A e B tiverem valores lógicos iguais A e B tiverem valores lógicos diferentes

~A A é falso A é verdade

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EXEMPLO 1: Encontre a representação usando conectivos lógicos para cada uma das sentenças apresentadas nos itens de “a” a “h”, considerando que as letras P, Q, R e T representam as seguintes proposições:

P: Ana é artista R: Jorge é juiz Q: Carlos é carioca S: Breno é alto a) Jorge é juiz e Breno é alto resposta: R ∧ S b) Carlos é carioca ou Breno é alto resposta: Q ∨ S c) Breno é alto e Ana não é artista resposta: S ∧ ~P d) Ana não é artista e Carlos não é carioca resposta: ~P ∧ ~Q e) Se Jorge é juiz, então Breno não é alto. resposta: R → ~S f) Se Ana é artista e Jorge não é juiz, então Breno é alto resposta: (P ∧ ¬R) → S g) Carlos é Carioca é condição necessária para que Ana seja artista. resposta: P → Q h) Jorge é juiz se e só se Ana não é artista. resposta: R ↔ ~P

EXEMPLO 2: Sejam as proposições P: Carlos é rico , Q: Carlos é alto e R: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos é rico, mas fala alemão resposta: P ∧ R b) Carlos não é alto ou rico, mas fala alemão resposta: (~Q ∨ P) ∧ R c) Carlos é rico ou não é rico, e fala alemão resposta: (P ∨ ~P) ∧ R d) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão resposta: (P ∨ Q) ∧ ~R e) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão resposta: (P ∧ Q) ∨ ~R

EXEMPLO 3: Dadas as proposições P: João é pobre e Q: Laura fala inglês, encontre a sentença relacionada com cada representação simbólica dada nos itens abaixo:

resposta: Se João não é pobre, então Laura fala inglês b) ~~P resposta: ~(João não é pobre), daí: João é pobre

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8 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar c) ~P ∧ Q P resposta: Se João não é pobre e Laura fala inglês, então João é pobre d) P ∨ ~Q resposta: João é pobre ou Laura não fala inglês e) Q P resposta: Se Laura fala inglês, então João é pobre f) P ∨ Q resposta: João é pobre ou Laura fala inglês g) P ~Q resposta: Se João é pobre, então Laura não fala inglês

# DETERMINAÇÃO DO VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Æ Ordem de Precedência dos Conectivos: 1º) ~ (Negação) 2º) ∧ (Conjunção) 3º) ∨ (Disjunção) 4º) → (Condicional) 5º) ↔ (Bicondicional) Exercícios:

Æ Os valores lógicos de P e Q são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico da proposição:

01) ~P ∧ Q Æ P

03) Q Æ P ∧ ~P

02) (P v Q) ∧ (P Æ Q)

04) ~(P ∨ Q) ↔ ~P ∧ ~Q

GABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V

# CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Æ Exemplo 01) ~( P ∧ ~Q) número de linhas = 2 = 4 linhas

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Æ Exemplo 02) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔P) número de linhas = 2 = 4 linhas

Æ Exemplo 03) (P ∨ ~R) → (Q ∧ ~R ) número de linhas = 23 = 8 linhas

V V VF
V V FV
V F VF
V F FF
F V VV
F V FV
F F VV
F F FF

Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e Contingência.

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,será dita
proposições p, q, r,que a compõem.

# TAUTOLOGIA: uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das

Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!

Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q)

Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro.

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,será dita

# CONTRADIÇÃO: uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

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Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.

Exemplo 1:

A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:

p q (p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q)

Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos que p e q assumem.

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade.

Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!

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