Baixe Noções de Juros Simples, Ordinário, Comercial e Composto e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! RESUMO MATEMÁTICA FINANCEIRA Conteúdo 1. Noções Básicas pag. 02 2. Juros Simples , Ordinário e Comercial pag. 04 Taxa Percentual e Unitária pag. 04 Taxas Equivalentes pag. 05 Capital, Taxas e Prazos Médios pag. 05 Montante pag. 06 Desconto Simples e Comercial pag. 06 Valor Atual e Desconto Racional pag. 07 Equivalência de Capitais pag. 08 3. Juros Compostos pag. 10 Montante pag. 10 Valor Atual pag. 11 Interpolação Linear pag. 11 Taxas Proporcionais pag. 12 Taxas Equivalentes pag. 13 Taxas Nominais e Efetivas pag. 14 Capitalização pag. 15 Convenção Linear pag. 15 Convenção Exponencial pag. 16 Desconto Racional pag. 17 Equivalência de Capitais pag. 18 Rendas Certas pag. 18 CD CONCURSOS 2006 RESUMÃO - MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. NOÇÕES BÁSICAS Conceito: a Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise PAGE 33 e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. Capital F 0E 8 é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal. Juros F 0E 8 é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo. Taxa de Juros F 0E 8 é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. Ex.: Capital Inicial : $ 100 Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período • a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 Montante F 0E 8 denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Capital Inicial = $ 100 + Juros = $ 50 = Montante = $ 150 Regimes de Capitalização F 0E 8 quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: • capitalização simples; • capitalização composta; Regime de Capitalização Simples F 0E 8 somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros PAGE 33 Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn Taxa Média F 0E 8 é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais. Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nn Prazo Médio F 0E 8 é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais. Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn in Montante F 0E 8 é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS. M = C ( 1 + i x n ) • a fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária; • a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo; Desconto Simples F 0E 8 quando um título de crédito (letra de cambio, promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento, o título sofre um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto. Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor Atual ou valor de Resgate. Desconto Comercial F 0E 8 também conhecido como Desconto Bancário ou “por fora”, é quando o desconto é calculado sobre o valor nominal de um título. PAGE 33 • pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título; Dc = N x i x n Onde: Dc = Desconto Comercial N = Valor Nominal i = Taxa de juros n = Período considerado Ex.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ? N = $ 500 i = 8 % a.a. = 0.08 Dc = N . i . n n = 4 meses = 4/12 Dc = 500 . 0.08 . 4/12 Dc = ? Dc = $ 13,33 Valor Atual F 0E 8 o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado. Vc = N - Dc Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título. N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360 n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44 i = 130 a.a. = 1.30 Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44 Vc = ? Vc = $ 1.530,56 Desconto Racional F 0E 8 o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título. Dr = N x i x n ( 1 + i x n ) PAGE 33 Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ? N = $ 270 Dr = N . i . n / (1 + i . n) n = 2 meses Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2) i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.06 Dr = ? Dr = $ 15,28 Valor Atual Racional F 0E 8 é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr Vr = N - Dr Equivalência de Capitais Capitais Diferidos F 0E 8 quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes, estes capitais são denominados DIFERIDOS. Capitais Equivalentes F 0E 8 por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão equivalentes, em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais. Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial F 0E 8 • Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expresso como segue: Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i . n’ ) Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então: N’ = N ( 1 – i x n) 1 – i x n’ onde: N’ = Capital Equivalente N = Valor Nominal n = período inicial n’ = período subsequente i = taxa de juros PAGE 33 i = taxa de juros n = nº de períodos considerados • a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo; Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ? S = ? 0 i = 8 % a.m. $ 800 n = 3 Dados: Pede-se: S = ? P = $ 800 n = 3 meses i = 8 % a.m. = 0.08 a.m. S = P (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3 S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08 S = $ 1.007,79 Valor Atual F 0E 8 Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante S, após n períodos, ou seja, calcular o valor atual de S. - Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual P = S / ( 1 + i ) n Onde: S = Soma dos Montantes P = Principal ( VALOR ATUAL ) i = taxa de juros n = nº de períodos considerados PAGE 33 Interpolação Linear F 0E 8 é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i ) n , quando o valor de n ou de i não constam da tabela financeira disponível para resolver o problema. • a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros “quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias • Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) n para números “quebrados”, devemos procurar os valores mais próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de três, deste modo: Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m., após 10 meses, a juros compostos. A tabela não fornece o fator ( 1 + i ) n correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela. Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha correspondente a 10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n que são, respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a 3.7 %: • para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328 (1.480244 – 1.343916); • para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n terá um acréscimo de x. Portanto: 1 % --------------- 0.136328 0.7 % ------------- x x = 0.09543 - Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) n correspondente à taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente à taxa de 3.7 %. - Voltando à solução do problema, temos: S = 1.000 x 1.439346 F 0E 8 S = $ 1.439,34 Taxas Proporcionais • Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em: PAGE 33 • juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente; • juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente; • juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente; • Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n é feito com a taxa proporcional. Dessa forma: • Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s. 1 ano = 2 semestres F 0 E 8 30 % a.a. = 2 x 15 % a.s. • Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t. 1 ano = 4 trimestres F 0 E 8 20 % a.a. = 4 x 5 % a.t. • Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m. 1 ano = 12 meses F 0 E 8 12 % a.a. = 12 x 1 % a.m. Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ? Dados: P = 1.000 i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t. n = 3 anos = 12 trimestres S = P . ( 1 + i ) n S = 1.000 . ( 1 + 0.04 ) 12 S = 1.000 x (1.601032) F 0E 8 S = $ 1.601,03 TAXAS EQUIVALENTES • São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período de tempo. • Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo. Temos, então: C = ( 1 + ie ) n , onde: ie = taxa de juros equivalente Ck = ( 1 + ik ) nk , onde: ik = taxa de juros aplicada - Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital, temos: C = Ck F 0E 8 ( 1 + ie ) n = ( 1 + ik ) nk PAGE 33 • Denominando-se de t + p / q o prazo total; de t, o número de períodos inteiros, e de p / q uma fração desse período, para calcular o montante S, atingido pelo capital P, na taxa i, ao fim de t + p / q períodos, temos: S = P . ( 1 + i )n + P ( 1 + i )n . i . p / q Juros compostos juros simples nas frações de períodos Nos períodos inteiros (taxa proporcional) S = P ( 1 + i ) n . ( 1 + i . ( p / q ) ) Ex.: Dado um capital de $ 100.000, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12 % a.a., capitalizados anualmente, calcular S, pela conversão linear. Dados: P = $ 100.000 Pede-se: S = ? i = 12 % a.a. = 0.12 a.a. n = 3 anos S = P (1 + i)n . (1 + i . p/q) p / q = 2 meses = 1 / 6 ano S = 100.000 (1+0.12)3 (1+0.12 . 1/6) S = $ 143.302,66 CONVENÇÃO EXPONENCIAL • Na convenção exponencial, o capital renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o cálculo é efetuado pela taxa equivalente. Assim, temos: S = P ( 1 + i ) n( + p / q) Ex.: Um capital de $ 135.000 foi aplicado a juros compostos de 12.6825 % a.a. , capitalizados anualmente, durante um prazo de 2 anos e 3 meses. Calcular S pela convenção exponencial. Dados: P = $ 135.000 Pede-se: S = ? n = 2 anos = 24 meses p / q = 3 meses n + p/q = 24 + 3 = 27 meses i = 12.6825 % a.a. = ? a.m. PAGE 33 • Antes de resolver a questão, devemos ter a taxa e o período de capitalização numa única unidade de tempo, isto é, homogeneizados. Como temos a taxa anual, vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos: Dados: P = $ 100 Pede-se: i = ? S = $ 112,6825 n = 12 meses S = P ( 1 + i )n F 0E 8 112,6825 = 100 ( 1 + i )12 ( 1 + i )12 = 1.126825 • consultando a tabela de ( 1 + i )n, a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n = 12, obtém-se i = 1 %. Como n está expresso em meses, a taxa será de 1 % a.m. Voltando ao problema, temos: S = P ( 1 + i ) n ( + p / q) = 135.000 ( 1 + 0.01) 27 - Como a tabela de ( 1 + i ) n para i = 1 e n = 18, obtém-se 1.196147 e para n = 9, obtém-se 1.093685, logo: S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685) S = $ 176.608,13 ATENÇÃO: Ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Definido que será a linear, deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Caso definido que será empregada a exponencial, será utilizada a taxa equivalente. DESCONTOS COMPOSTOS • Corresponde à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada período de capitalização. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO • O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual (presente) de um título, utilizando-se do regime de capitalização composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional, ou “por dentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do título. Dr = S . ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n PAGE 33 Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de $ 11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o valor nominal do título ? Dados: D = $ 11.318,19 Pede-se: S = ? i = 2 % a.m. = 0.02 a.m. n = 36 meses - Aplicando-se a fórmula, encontramos: F 0 E 8 11.318,19 = S x (1 + 0.02) 36 – 1 / ( 1 + 0.02) 36 F 0E 8 S = $ 22.202,19 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS • Trabalhando-se no regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”. • No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a equivalência de capitais pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos. Ex.: Considere uma dívida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje? Capital A = ? Capital B = $ 2.000 F 0E 8 capital B = Capital A i = 10 % a.m. = 0.10 a.m. 2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3 n = 3 meses 2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1) Capital A = 2.000 / 1.331 F 0E 8 C = $ 1.502,63 RENDAS CERTAS F 0 E 8 Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos, ocorridos em épocas distintas, objetivando a formação de um capital ou o pagamento de uma dívida. Termos F 0E 0 os pagamentos (prestações ou depósitos) são os termos da Renda. Montante da Renda F 0E 8 quando a renda for destinada à formação de um capital, este capital será denominado de Montante da Renda. Valor Atual da Renda F 0E 8 se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida, o valor da dívida será designada por Valor Atual da Renda. PAGE 33 Ex.: Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, à uma taxa de 5 % a.m. ? Dados: P = $ 250.000 Pede-se: R = ? n = 5 meses i = 5 % a.m. = 0,05 a.m. P = R .( (1 + i)n - 1) / i . (1 + i) n 250,000 = R . ((1 + 0,05)5 – 1) / 0,05 . (1 + 0,05)5 . 250,000 = R . (1,276281 – 1) / (0,05 . 1,276281) R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 F 0E 8 R = $ 57.743,70 Montante de Rendas Imediatas F 0E 8 O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante n períodos, a uma taxa i de juros. • devemos lembrar que o valor presente da série de n termos da renda, no instante zero, deve ser equivalente ao montante S no instante zero. S = R x ( 1 + i )n - 1 i Onde: S = Montante R = Renda ou Prestação i = Taxa de juros n = Períodos Ex.: Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15 % a.m. ? Dados: S = $ 2,000,000 Pede-se: R = ? n = 12 meses i = 15 % a.m. = 0,15 a.m. S = R . ((1 + i)n - 1) / i 2,000,000 = R . ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 F 0E 8 2,000,000 = R . 4,35025 / 0,15 R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025 F 0E 8 R = $ 68,961.55 PAGE 33 2. RENDAS ANTECIPADAS Valor Atual de uma Renda Antecipada F 0E 8 Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período e dos demais no final dos respectivos períodos. Nas Rendas antecipadas, o 1º pagamento ocorre no instante zero e os demais pagamentos ocorrem no início de cada período. 1 2 3 4 ..... n Renda imediata F 0E 8 0 R R R R R 1 2 3 n Renda ANTECIPADA F 0E 8 0 R R R R R F 0 E 8 Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo, na renda imediata, ocorre no fim do 1º período , enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero. • Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada). • Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 ( e os demais para o final dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por ( 1 + i )n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta “transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada. • Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta dividirmos o valor encontrado para as rendas imediatas por ( 1 + i ) . R antecipada = R imediata / ( 1 + i ) Ex.: Um apartamento é vendido à vista por $ 100,000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação ? Dados: P = $ 100,000 Pede-se: R = ? (antecipada) n = 19 meses i = 2 % a m. = 0,02 a m. PAGE 33 Solução: Primeiramente, calculemos o valor das prestações caso o produto fosse vendido sem entrada, com a 1ª prestação somente no final do 1º período. P = R . ((1 + i)n – 1) / (i . ( 1 + i)n F 0E 8 100,000 = R . ((1,02) 19 – 1) / (0,02 . (1,02)19 ) 100,000 = R . 0,456811 / (0,02 . 1,456811) F 0E 8 100,000 = R . 0,456811 / 0,029136 R = 100,000 x 0,029136 / 0,456811 F 0E 8 R = $ 6.378,13 (imediata) R (antecipada) = $ 6.378,13 / (1 + 0,02) F 0E 8 R = $ 6.253,07 (antecipada) Montante de Rendas Antecipadas F 0E 8 A exemplo dos valores atuais de rendas imediatas e antecipadas, o montante de uma renda antecipada irá diferir do montante de uma renda imediata (ou postecipada) no tocante à ocorrência do 1º depósito. • Portanto, para encontrarmos o valor do montante antecipado, basta dividirmos o valor encontrado para o montante imediato por ( 1 + i ) . S antecipada = S imediata / ( 1 + i ) Ex.: Quanto devo depositar mensalmente num fundo de investimento que paga 4 % a m., para que, no fim de 10 meses, não ocorrendo nenhum resgate, possa dispor de $ 150,000, supondo o 1º depósito na data zero, e o total de 10 depósitos ? Dados: S = $ 150,000 Pede-se: R = ? n = 10 meses i = 4 $ a m. = 0,04 a.m. Solução: Primeiramente, calculemos o valor dos depósitos caso o primeiro fosse feito não na data zero, mas 30 dias após, ou seja, no final do 1º período. S = R . ((1 + i)n - 1) / i F 0E 8 150,000 = R . ((1 + 0,04) 10 – 1) / 0,04 150,000 = R . (1,04)10 – 1) / 0,04 F 0E 8 150,000 = R . (1,480244 – 1) / 0,04 150,000 = R . 0,480244 / 0,04 F 0E 8 R = 150,000 x 0,04 / 0,480244 R = $ 12.493,65 (imediata) F 0E 8 R antecipada = R imediata / 1 + i R antecipada = 12.493,65 / 1,04 F 0E 8 R = $ 12.013,12 (antecipada) 3. RENDAS DIFERIDAS PAGE 33 n = 120 meses 200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01 200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01 F 0E 8 200,000 = R . (1,01 120 – 1)/ 0,01 R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1) F 0E 8 R = 2000 / 2,3003841 R = $ 869,42 Valor Atual de Rendas Perpétuas antecipadas F 0E 8 Para calcular o valor atual de rendas perpétuas antecipadas, basta adicionar o termo que ocorreu no instante zero à fórmula das rendas perpétuas imediatas. Assim, temos: P = R + R / i Ex.: Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber $ 2,000 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1 % a. m.. Considerar série infinita de pagamentos antecipados. P = R + R / i F 0E 8 P = 2000 + 2000 / 0,01 F 0 E 8 P = $ 102,000 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS • Quando se contrai uma dívida, o devedor se compromete a devolver o capital emprestado acrescido dos juros, que é a remuneração do capital. Como a remuneração do capital depende do regime de juros adotados, geralmente este regime é determinado pelo prazo em que o empréstimo é efetuado. Sistemas de Amortização de Curto Prazo F 0E 8 Para os casos de empréstimos de curto prazo (inferior a 1 ano) costuma- se utilizar o sistema de juros simples, sendo que as formas mais freqüentes de se quitar o débito são: a) O principal e os juros são pagos somente no final do período do empréstimo ( P + E), ou comumente chamado de “principal mais encargos no final”. Supondo um empréstimo de $ 100,000, por 4 meses, à taxa de 10% am., temos: M = C ( 1 + in) 100,000 M = 100,000 ( 1+ 0,1 . 4) 0 4 M = 140,000 140,000 b) Os juros devidos ao principal, pelo período total do empréstimo, são cobrados antecipadamente, ou seja, no próprio momento em que se contrai a dívida. Isto é conhecido como encargos antecipados, principal no final, e é, praticamente, a única forma de financiamento a juros simples que existe no mercado, atualmente. É o que ocorre no Desconto de Duplicatas. O comerciante entrega PAGE 33 duplicatas com valor de face de $ 100,000, mas recebe somente $ 92.455,62. No vencimento das duplicatas, o banco recebe o seu valor de face. 100,000 0 4 7.544,38 100,000 c) Um terceiro mecanismo de amortização de empréstimo a curto prazo, é aquele em que o débito é saldado com os juros sendo pagos mensalmente e o principal no final do prazo do financiamento (encargos mensais, principal no final). 0 1 2 3 4 4,000 4,000 4,000 104,000 Sistemas de Amortização a Longo Prazo F 0E 8 O regime estipulado para a remuneração de capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos. O método mais utilizado para o resgate de empréstimos de longo prazo é chamado de Prestações Periódicas Constantes, ou Tabela Price. O SISTEMA PRICE • O empréstimo é amortizado em prestações iguais e consecutivas, a partir do momento em que começam as amortizações • Como as prestações são iguais e consecutivas, durante um certo número de períodos, tais pagamentos podem ser calculados da seguinte maneira: P = R x ( 1 + i )n - 1 i x ( 1 + i )n Ex.: ( AFRF–2002) - Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. PAGE 33 a) R$ 136.982,00 b) R$ 147.375,00 c) R$ 151.342,00 d) R$ 165.917,00 e) R$ 182.435,00 Solução do Prof. Francisco Velter (Ponto dos Concursos): A principal característica do sistema price é a de que o mutuário é obrigado a devolver os juros mais o principal em prestações periódicas e constantes. Estamos, portanto, diante de três problemas para construir a planilha financeira: como obter o valor das prestações, o valor dos juros e o valor da amortização em cada prestação. Partindo do pressuposto de que a prestação é a soma do valor da amortização e dos juros, temos as três relações a seguir: P = A + J A = P – J J = P – A F 0 E 8 A prestação pode ser calculada pela aplicação da fórmula seguinte: P = Va ÷ (1 + i)n - 1 i (1 + i)n F 0 E 8 O valor dos juros é obtido pela multiplicação da taxa de juros unitária (i) do período (n) pelo saldo devedor (SD) do período anterior (n-1). J = SDn-1 x I F 0 E 8 O valor da amortização é obtido pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros. A = P – J F 0 E 8 O saldo devedor do período é obtido pela subtração da amortização do período (n) do saldo devedor do período anterior (n-1). SDn = SDn-1 - An Atenção!!! F 0 E 8 Nas provas de concursos, as questões sobre prestações normalmente versam sobre este tipo de amortização. Por isso vamos aprofundar o assunto com um exemplo completo e analisá-lo sob todos os aspectos possíveis, inclusive dando alguns macetes que você nunca viu antes!!!!!!! F 0 E 8 Suponha que você queira adquirir um veículo, cujo preço à vista é de R$ 20.441,07, em 12 prestações trimestrais. A financeira propõe uma taxa de juros de 40% ao ano, com capitalização trimestral. Você não dá entrada. Nessas condições, após calcular o valor de cada prestação, podemos montar a planilha financeira. PAGE 33 2 10 3 1.156,62 9 4 8 5 7 6 1.460,53 6 7 5 8 4 9 2.049,03 3 10 2 11 1 12 0 F 0 E 8 Como foi visto antes, o valor de An pode ser obtido pela fórmula do montante. F 0 E 8 Assim, o valor de A9 representa o montante de A3, com n sendo igual a 6 períodos. F 0 E 8 O primeiro passo a executar é calcular a taxa de juros que está embutida nessa planilha. Para isso basta dividir o valor de A9 pelo valor de A3 e obteremos o valor de (1+i)6. F 0 E 8 Uma vez obtido o valor de (1+i)6 , procuramos na tabela, na linha de 6 períodos, até encontrarmos o valor. Então: (1+i)6 = A9 ÷ A3 F 0 E 8 (1+i)6 = 2049,03 ÷ 1156,62 F 0 E 8 (1+i)6 = 1,77156, valor encontrado na coluna de 10%, logo a taxa utilizada é de 10% ao período. F 0 E 8 Sabido a taxa, agora é só achar o valor da 6ª amortização, para somá-la aos juros e obter o valor da prestação. Assim: A6 = A3 x (1 + 0,1)3 F 0E 8 A6 = 1156,62 x 1,331 F 0E 8 A6 = 1539,46 Dessa forma o valor da prestação será: P = A6 + J6 F 0E 8 P = 1.539,47 + 1460,53 F 0E 8 P = R$ 3.000,00 F 0 E 8 Mas, ainda não encontramos o valor do financiamento. Para isso, preciso saber o valor dos juros embutidos na 1ª prestação e esse valor obtenho pela diferença entre a prestação e o valor da amortização. Então teremos que calcular o valor da 1ª amortização: A3 = A1 x (1,1)2 F 0 E 8 1156,62 = A1 x 1,21 F 0 E 8 A1 = 1.156,62 ÷ 1,21 A1 = 955,89 Logo, os juros da 1ª prestação são: J = P – A J = 3000 – 955,89 J = 2.044,11 F 0 E 8 Finalmente podemos achar o valor do financiamento, pois sabemos que esse valor dos juros representa 10% do valor do saldo devedor anterior, ou seja, do valor do financiamento. PAGE 33 Dessa forma, o valor financiado é: 2.044,11 ................> 10 X ......................> 100 X = 2.044,10 x 100 ÷ 10 F 0E 8 X = R$ 20.441,00 Dessa vocês não sabiam, sabiam???!!!!! Também, já era hora de aparecer algo de novo que compensasse o tempo investido. • no sistema de amortização Francês ou Price, as prestações são constantes, os juros são decrescentes de forma exponencial, a amortização é crescente de forma exponencial e o saldo devedor é decrescente. Após este pequeno “intróito”, podemos finalmente resolver a questão da prova: O primeiro passo é calcularmos o valor financiado, pois temos o valor das prestações, a taxa de juros e o número de períodos, não se esquecendo que o valor financiado é o próprio valor atual. Va = P x an¬i F 0 E 8 Va = 200.000 x 6,259331 F 0 E 8 Va = 1.251.866,20 Podemos, agora, calcular o juro embutido na 1ª prestação: J1 = 0,15 x 1.251.866,20 F 0 E 8 J1 = 187.779,93 Uma vez calculado o juro, temos condições de saber o valor da amortização da 1ª prestação: P = A + J F 0E 8 A = P – J = 200.000,00 – 187.779,93 = 12.220,07 Agora, podemos calcular o valor da 10ª amortização: A10 = A1 ( 1 + 0.15)9 F 0 E 8 A10 = 12.220,07 x 3,517876 = 42.988,69 Como P = A + J, o juro embutido nessa 10ª prestação é: 200.000,00 – 42.988,69 = 157.011,31 Esse juro representa 15% do Saldo Devedor do período anterior, então, o SDn-1 é: 157.011,31 ................> 15% X ................> 100% F 0E 8 X = 1.046.742,06 PAGE 33 Assim, o Saldo Devedor antes de pagar a 10ª prestação era de 1.046.742,06. Após o pagamento da 10ª prestação, o SD será: SDn = SDn-1 – An F 0 E 8 SD10 = 1.946.742,06 – 42.988,69 = 1.003.753,37 Esse valor será o novo valor atual para calcularmos o valor da prestação renegociada. n = 15 i = 12 Va = 1.003.753,37 P = ? P = Va ÷ an¬I F 0E 8 P = 1.003.753,37 ÷ 6,810864 P = 147.375,33 Portanto, a resposta correta é a letra “b” FIM PAGE 33