História da Trigonometria

História da Trigonometria

(Parte 1 de 6)

Capítulo 1 TRIGONOMETRIA

Hiparco

A Trigonometria nasceu aproximadamente 300 a.C entre os gregos, para resolver problemas de astronomia. Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolomeu 150 d.C o qual, além de continuar aplicando-a os estudos de astronomia, a ussou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou, aproximadamente 400 d.C, para a Índia onde era usada nos cálculos astrológicos (ainda eram problemas de astronomia). Por cerca de 800 d.C ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na astronomia e cartografia. Por cerca de1100d.C a Trigonometria chegou junto com os livros de Ptolomeu, na Europa Cristã onde inicialmente foi estudada tão somente por suas aplicações à Astronomia> Com os portugueses da Escola de Sagres encontrou-se uma aplicação de enorme valor econômico na Navegação Oceânica.

Assim, podemos dizer que as aplicações da trigonometria até1600d.C foi na Astronomia, Cartografia e Navegação Oceânica. Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por volta 1600 d.C, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido.

Os gregos Hipócrates e Eratóstenes estudaram as relações entre retas e círculos e a aplicaram em vários problemas de astronomia, mas isso ainda não resultou em uma Trigonometria sistemática. Somente na metade do século I a.C, por volta de 180 a 125 a.C, com o astrônomo Hiparco de Nicéia, foi construída a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Com tal construção Hiparco ganha o direito de ser chamado o pai da trigonometria .

Por ser um astrônomo, Hiparco fez esses cálculos evidentemente para usá-los em seus estudos de astronomia, contribuindo com a Astronomia na organização de dados empíricos, elaboração de um catálogo estelar e em melhoramentos em constantes astronômicas como: a duração do mês e do ano, o tamanho da lua, o ângulo de inclinação da eclítica e na descoberta da precessão dos equinócios.

Hiparco foi o intermediário entre a Astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. Os problemas de triângulos mais comuns e importantes são aqueles em que, a partir de alguns lados e ângulos conhecidos, queremos achar os demais lados e ângulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relações entre esses elementos usualmente não são algébricas. Por exemplo, no caso de um triângulo qualquer a relação entre os lados do mesmo não é algébrica, a não ser no caso especial de triângulos retângulos (para os quais vale o teorema de Pitágoras).

2 Matemática I 1.1 Introdução b c a

Figura 1.1:

Consideremos o triângulo retângulo plano de ladosABC como mostra a Figura (1.1) observe, em relação ao ângulo A, o cateto oposto a este ângulo é a e o cateto adjacente a este mesmo ângulo é o cateto c.

Em nosso triângulo ABC podemos obter as seguintes relações entre a medida do seus catetos a e c e a medida de sua hipotenusa b:

Por definição a relação a b é um número real e, é denominada seno do ângulo A, denota-se este número senA, assim senA = cateto oposto hipotenusa = a

De modo análogo a relação c b por definição é denominada coseno do ângulo A, é denotada cosA, logo por definição cosA = cateto adjacente hipotenusa = c

Finalmente a relação a b é denominada tangente do ângulo A e, é denotada e definida como tanA = cateto oposto cateto adjacente = a

Observação 1.1.

1. Segundo nossa definição, senC = c b , ou cosC = a c e tanC = c

2. A definição destas relações trigonométricas depende do ângulo e dos catetos do triângulo retângulo respeito dele.

3. A notação sen simplesmente é um operador matemático que, junto do valor de um ângulo

(por exemplo 30o ) representa um número real. Assim sen30o =

Para o triângulo ABC da Figura define-se a relação cotangente do ânguloA como 1 tanA e denota-se cotA. Assim, cotA = cateto adjacente cateto oposto = c

De modo análogo define-se a secante de A como 1 cosA e denota-se secA, logo secA = hipotenusa cateto adjacente = c b . Por último define-se a cosecantedeA como a relação 1 senA e é denotada cscA = hipotenusa cateto oposto = c

Das definições, é imediato a seguinte propriedade.

Propriedade 1.1. Das recíprocas.

Christian Quintana Pinedo 3

A demonstração desta propriedade é imediata, obtém-se da própria definição.

Propriedade 1.2. Pitagórica.

Demonstração. 1.

Sabe-se pelo teorema de Pitágoras que b2 = a2 + c2 de onde

A demonstração da parte (2.) e (3.) desta propriedade é imediata, obtém-se de modo análogo á demonstração da parte (1.).

Propriedade 1.3. . Para o triângulo ABC da Figura (1.1) tem-se as seguintes identidades:

Demonstração.1.

A mostrar que sen(A + C) = senAcosC + senC cosA. Com efeito, consideremos na Figura (??) o triângulo retângulo APT, reto em P, então

AT (1.1)

Figura 1.2:

No triângulo retângulo ABC considere o ângulo CAB como sendo o ângulo A, e no triângulo retân- gulo ACT considere o ângulo TAC como sendo oângulo C Na Figura (1.2) tem-se que o triângulo retângulo

ABC é reto em B, o triângulo retânguloACT é retoem C, o triângulo CTU é reto em U.

Consideremos PT paralelo a BC. Por semelhança de triângulos temos:

No triângulo ABC tem-se que senA = BC

. No triângulo CTU tem-se que cosA = TU

No triângulo ACT tem-se que senB = CT

4 Matemática I Por propriedade de números reais, e comoPU = BC, na igualdade (1.1) segue que:

Substituindo as igualdades acima mencionadas segue que

Demonstração.2. Com os mesmos dados da Figura (1.2), no triângulo ACT tem-se que

No triângulo CUT tem-se que senA = CU e como UC = BP então senA =

No triângulo ABC tem-se que cos(CAB) = cos A = AB

AC , e no triângulo ACT tem-se que

AT assim, aplicando propriedade dos números reais

Propriedade 1.4. . Para o triângulo ABC da Figura (1.1) tem-se as seguintes identidades:

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