Problemas interessantes de Matemática (lógica)

Problemas interessantes de Matemática (lógica)

(Parte 1 de 5)

PROBLEMAS INTERESSANTES DE MATEMÁTICA E LÓGICA

(Anotados por J.L.Serra)

A) Matemática (estes problemas devem ser resolvidos, a solução não deve ser obtida por tentativas)

M_01) Considere uma árvore com g galhos e um bando de p pássaros. Caso pousem 2 pássaros em cada galho, sobrará um galho vazio; caso pouse apenas um pássaro em cada galho, sobrará um pássaro sem ter galho para pousar. Quantos são os galhos (g) e pássaros (p)?

M_02) Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que valha a igualdade:

xx + yy + zz = xyz

Obs.: xx, yy, zz e xyz são números e não produtos.

M_03 Sejam 3 dígitos X, Y e Z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de X, Y e Z para que valha a igualdade:

XYZ = X  Y  Z  5

Obs.: O número XYZ deve ser igual ao produto do segundo membro.

M_04) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades valerá 63. Que idades temos hoje?

M_05) Problema que constitui o epitáfio do geômetra grego Diofante:

“Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho – desgraçado e, no entanto, bem amado! – apenas tinha atingido a metade da idade que viveu o pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência”.

Pergunta-se: com quantos anos morreu Diofante?

M_06) Extraído de “O homem que calculava” de Malba Tahan.

Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria uma pérola e um sétimo do que restasse; viria depois, a segunda e tomaria para si duas pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse, e assim sucessivamente. Sabendo-se que não houve prejuízo para nenhuma das herdeiras após a partilha, pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas são as filhas do rajá?

M_07) Extraído de “O homem que calculava” de Malba Tahan.

Um navio que voltava do Ceilão, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma moeda. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levanto-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda. Não querendo complicar o caso, o marinheiro atirou no mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda , que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia das moedas. Pergunta-se, afinal: quantas eram as moedas e com quantas moedas ficou cada um dos marujos?

M_08) Dividir 21 vasos por três pessoas, sendo 7 cheios de vinho, 7 meio cheios de vinho e 7 vazios, de forma que cada pessoa receba o mesmo número de vasos e mesmo volume de vinho, sem alterar o conteúdo dos vasos.

M_09) Variação do anterior: dividir 24 vasos por três pessoas, sendo 5 cheios de vinho, 11 meio cheios de vinho e 8 vazios, de forma que cada pessoa receba o mesmo número de vasos e mesmo volume de vinho, sem alterar o conteúdo dos vasos.

M_10) Problema proposto pelo geômetra indiano Bháscara, no livro Lilaváti, no século XII.

A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silindra, o triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus. Qual o número de abelhas?

M_11) Qual é o menor número que quadripartido, isto é, dividido na soma de quatro parcelas não nulas, tais que a primeira aumentada de 7, a segunda diminuída de 7, a terceira multiplicada por 7 e a quarta dividida por 7 dêem o mesmo resultado? Indicar também as parcelas da divisão.

M_12) Um senhor desceu (caminhando) uma escada rolante que descia, alcançando a base em 50 passos. Como experiência, ele agora subiu pela mesma escada rolante, degrau por degrau, alcançando o topo após 125 passos. Assumindo que ele subiu 5 vezes mais depressa que desceu, (isto é, andou cinco degraus para cada degrau anterior) e que fez cada caminhada numa velocidade constante, quantos degraus seriam visíveis se a escada parasse de funcionar?

M_13) Uma cultura de bactérias reproduz-se de maneira tremendamente rápida. Basta dizer que o número de seus membros cresce de tal forma que ocupa o dobro de volume, em cada minuto. Sabe-se que uma cuba de 10 cm3 leva duas horas para ficar totalmente ocupada pela colônia de bactérias. Quanto tempo levariam as bactérias para encher uma cuba de 2,5 cm3?

M_14) A revolta dos Tuaregs: os Ben Azouli, a terrível tribo dos tuaregs do Oásis de Abismalah, tem o seu acampamento localizado a 45 km a oeste de Taqba. Os Ben Azouli estão indignados com o governo de seu país, que decidiu construir uma ferrovia, a Trans-zadramath, cruzando as terras dos Ben Azouli, e ligando Taqba a Mequiba, esta última cidade situada a 60 km. ao norte do Oásis de Abismalah. Achrmed Ben Achmed, o Xeique dos Ben Azouli decide dinamitar a ferrovia e a frente de seus temíveis guerreiros, parte na calada da noite em direção ao "caminho de ferro", seguindo a menor distância. Se os camelos dos Ben Azouli conseguem deslocar-se no deserto a apenas 18 krn/dia, quantos dias levarão os Tuaregs para chegar até a ferrovia e dinamitá-la?

M_15) Sir Thomas O'Neil, importante industrial, costumava voltar de trem, do centro de Londres para sua mansão suburbana. Todos os dias, britânica que era, a composição ferroviária chegava pontualmente às 18 horas na estação de Brianchurch. Exatamente quando Sir Thomas colocava seu pé direito na gare, Mr Keith Storrn, seu chofer e mordomo, encostava o Rolls-Royce cinza claro diante da estação: - "Good evening, Sir!". Sir Thomas subia e o carro seguia, placidamente, rumo à casa, enquanto o milionário lia a edição do "The Time". Certa vez, em completo desacordo com as tradições inglesas, o trem chegou a Brianchurch uma hora mais cedo, ou seja, às 17 horas. Embora profundamente contrariado, Sir Thomas colocou fleumaticamente o "The Time" sob o braço e tomou, a pé rumo, o rumo da sua casa. A certa altura encontrou-se com Keith que vinha como sempre pontualmente buscá-lo. “Good evening, Sir!". Subiu no Rolls-Royce e nesse dia chegou em casa 20 minutos mais cedo. Pergunta-se: Por quanto tempo Sir Thomas O'Neill andou a pé?

M_16) Um jovem mora perto da estação do metrô de Manhattan. Ele tem duas namoradas, uma no Brooklyn e outra em Bronx. Para visitar a garota do Brooklyn, ele toma o metrô na plataforma do lado do centro comercial; para visitar a garota do Bronx, ele toma o metrô na plataforma do lado residencial. Como gosta igualmente das duas namoradas, ele simplesmente toma ao acaso o primeiro trem que chega. Assim ele deixa o destino escolher se deve ir ao Bronx ou ao Brooklyn. Todo sábado, à tarde, ele chega à estação. Tanto o trem do Bronx como o do Brooklyn, irrompem na gare ferroviária de dez em dez minutos. Entretanto, alguma razão desconhecida faz com que nosso amigo passe mais tempo com a garota do Brooklyn! Na verdade, em cada 10 visitas, 9 são feitas a esta garota com quem no final ele vai acabar se casando. Você sabe dizer porque o destino favoreceu tanto a garota do Brooklyn.

M_17) Se um galo vale 5 reais, uma galinha vale 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um se podem comprar com 100 reais, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 1 de cada tipo?

M_18) Dois ciclistas se aproximam um do outro numa estrada reta, pedalando a 20 km/h, quando estão distanciados 40 km, uma mosca pousa numa das bicicletas, depois voa para outra. E fica indo e vindo entre as duas, voando a 30 km/h, até que os ciclistas se encontram. Que distância percorreu a mosca?

M_19) Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: De que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava?

M_20) Uma pessoa entrou numa loja de calçados e comprou um par de sapatos pelo preço de R$40,00. Pagou com uma nota de R$50,00. A vendedora não tinha troco. Foi à padaria ao lado e trocou a nota de 50 reais por 5 de 10 reais. Devolveu 10 reais ao comprador, que foi embora satisfeito. Instantes depois, o padeiro veio devolver a nota de 50 reais, dizendo que era falsa. A vendedora, honesta, trocou a nota falsa por uma verdadeira. De quanto foi o prejuízo da vendedora?

M_21) Um granjeiro, ao ser perguntado quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia, respondeu: Não sei, mas, contando de dois em dois, sobra um; contando de três em três, sobra um; contando de cinco em cinco, sobra um; porém, contando de sete em sete não sobra nenhum. Qual o menor número possível de ovos que as galinhas haviam posto?

M_22) Um tijolo pesa tanto quanto 1 quilograma mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?

M_23) Quem escreve todos os números inteiros de 1 a 100, quantas vezes escreve o número 9?

M_24) Como escrever o número 1 usando todos os algarismos e sem usar as operações soma, subtração, multiplicação ou divisão?

M_25) Numa festa, um grupo de homens e mulheres decide dançar da seguinte maneira: o primeiro homem dança com 5 mulheres; o segundo dança com 6 mulheres e, assim, sucessivamente, até que o último homem dança com todas as mulheres. Se há 10 homens, quantas vezes em média cada mulher dançou?

M_26) Dois barcos partem no mesmo instante dos lados opostos de um rio, viajando perpendicularmente às margens paralelas. Cada barco viaja a velocidade constante, um deles mais rápido que o outro. Ambos se cruzam a um ponto 720 metros distante da margem mais próxima. Ambos permanecem 10 minutos em seus embarcadouros antes de partir de volta. Na volta eles se cruzam a 400 metros da outra margem. Qual a largura do rio?

M_27) Dois mercadores de vinho conduzindo 64 e 20 barricas respectivamente chegam à fronteira. Como não tivessem dinheiro suficiente para pagar todo o imposto, combinaram com o agente alfandegário o pagamento em barricas. Sabendo-se que o primeiro pagou 5 barricas mais 40 reais e o segundo 2 barricas recebendo uma diferença de 40 reais, pergunta-se qual o valor de cada barrica e o imposto correspondente.

M_28) Um sábio questionado sobre sua família respondeu: o número de irmãos que tenho é igual ao dobro do número dos meus netos menos um. Cada filho me deu dois netos e somando meus irmãos, meus filhos e meus netos obtém-se 19. Determinar a quantidade de irmãos, filhos e netos do sábio.

M_29) Uma festa iniciou com o dobro de mulheres em relação ao número de homens. Após a saída de 8 casais, o número de mulheres era o quádruplo. Quantos homens e quantas mulheres haviam no início da festa?

M_30) O melhor aluno de matemática de uma escola, ao ser interrogado sobre a sua idade, respondeu: “Dentro de dois anos a minha idade será igual ao quadrado da idade que eu tinha a dez anos”. Qual a idade do menino?

M_31) Augustus Morgan foi um grande matemático do século XIX. Um dia, ao ser perguntado sobre sua idade, respondeu: "Eu tinha x anos no ano quadrado de x". Descubra em que ano nasceu o matemático?

M_32) Os lados de um retângulo são números inteiros. Quais os comprimentos dos lados do retângulo de modo que o valor de seu perímetro seja igual ao valor de sua área ?

M_33) Mil armários estão enfileirados e numerados (1,2,3,4,...), mil alunos também numerados de 1 a 1000, começam a seguinte brincadeira: 1º aluno passa por todos os armários (que inicialmente estavam fechados) e abre suas portas; 2º aluno passa por todos os armários e inverte as posições das portas 2,4,6,8,...; 3º aluno passa por todos os armários e inverte as posições das portas 3,6,9,12,... E assim sucessivamente, isto é, cada aluno passa inverte as posições dos armários (que tem números múltiplos do seu próprio número). Após os mil alunos passarem, quantos armários permanecem abertos?

M_34) Um fiel vai a igreja e conversa com três Santos. Fala com o primeiro Santo: Se você dobrar o dinheiro que tenho te dou 20 reais. O santo faz e ele paga. Faz a mesma proposta ao segundo e ao terceiro santos e ambos topam; fazem e ele paga. Ao fim o fiel sai da igreja e conclui que perdeu todo o seu dinheiro. Quanto ele tinha ao entrar na igreja?

M_35) O capim cresce no pasto com igual rapidez e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em 24 dias e 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo capim em 96 dias ? (difícil)

M_36) Três mulheres estão na fila da padaria , a primeira compra 5 pãezinhos, 2 litros de leite e um pacote de pó de café gastando R$ 6,20. A segunda gasta R$ 9,80 para comprar 6 pãezinhos, 2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto a terceira mulher gastou para comprar 8 pãezinhos, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café?

M_37) Um macaco caiu num buraco de 20 metros de profundidade, as duas horas de uma fatídica madrugada. Depois de passar uma hora refazendo-se do susto, começou a subir para sair do maldito buraco. Acontece que, devido a sua massa e as paredes escorregadias, ele conseguia em uma hora subir continuamente 5 metros, dava uma pequena parada e escorregava 4 metros, retomando imediatamente a subida. A velocidade do escorregamento é o quíntuplo da velocidade de subida. A que horas o macaco conseguiu sair do buraco?

M_38) Brincando com as palavras, poderíamos dizer que a palavra humilhação é uma das mais compridas que existem, pois entre a letra "u" e a letra "ç" aparece uma milha. Vamos supor que tivéssemos escrito esta palavra com o trecho milha ocupando realmente a distância de uma milha, que é aproximadamente igual a 1609 metros. Seria uma palavra gigantesca! Sabendo-se que o espaço entre letras é da mesma largura que as letras i e l, que a letra m ocupa o triplo desta largura e as demais letras o dobro, conclui-se que a palavra toda ocuparia uma distância aproximada de quantos metros?

M_39) Um homem estressado demora 28 segundos para chegar ao andar superior, subindo por uma escada rolante. Para tanto, ele sobe 31 degraus com suas próprias pernas, como se estivesse numa escada normal. Já uma ofegante senhora, na mesma escada, demora 35 segundos, subindo 22 degraus com suas próprias pernas. Quantos degraus tem a escada ?

M_40) Numa estante existem dez livros de cem folhas cada, organizados, formando uma coleção. Uma traça estraçalhou desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro. Quantas folhas danificou?

M_41) Um alfaiate tem uma peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em que dia ele fará o último corte ?

M_42) Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y: 80% dos alunos lêem o jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos.

M_43) Quando Paula digitou um número em sua calculadora, sua irmã Beatriz notou que ele formava o nome de uma nota musical, quando lido de ponta cabeça. Em seguida, Paula dividiu o número por outro, primo, e Beatriz viu surgir um nome de nota musical diferente. Então, perguntou à irmã se ela sabia que isso acontecia. Paula multiplicou o resultado anterior por outro número de um só digito e Beatriz pôde ler sua resposta, também olhando de cabeça para baixo. Quais foram os números e as palavras envolvidas nessas operações ?

M_44) Em um grupo de garotos se cada um ficaria com seis balas, sobrariam oito. Caso cada um ficasse com sete, faltariam nove. Rapidamente, quantos garotos havia no grupo?

M_45) João e Marcos foram visitar a fazenda do seu avô. Durante sua estada, viram um cercado de porcos e galinhas. Marcos disse ter contado dezoito animais ao todo; João contara um total de cinqüenta pernas. Quantos porcos e galinhas havia no cercado?

M_46) Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos (dezena : centena) estão entre si como 1 está para 2, determine o algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas.

M_47) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00, vende pelos mesmos R$ 1.000,00. Qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?

M_48) Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Quantos anos eu tenho?

M_49) Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada rolante juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Quantos degraus são visíveis na escada rolante?

M_50) Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?

M_51) Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

M_52) Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual é a posição ocupada pelo número 43521?

M_53) Determine o menor número natural tal que a divisão por 2 tenha resto 1, a divisão por 3 resto 2, a divisão por 4 resto 3, a divisão por 5 resto 4, a divisão por 6 resto 5 e a divisão por 7 é exata.

M_54) Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja?

M_55) As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4 para 5. Quais são as idades atualmente?

M_56) Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

M_57) Dois moleques receberam, de sua mãe, 30 laranjas cada um, para serem vendidas na rua. O mais velho recebeu as mais graúdas para vender a razão de 2 por 1 real e o mais novo venderia as menores a 3 por 1 real, e a mãe apuraria 25 reais. Os moleques, muito malandros, misturaram as laranjas e, enquanto um tomava banho no ribeirão, o outro vendeu todas as laranjas a 5 por 2 reais (2 por 1 mais 3 por 1 = 5 por 2). Entretanto, na hora do acerto de contas com a mãe, faltou 1 cruzeiro no total, pois o total de 60 laranjas dão 12 grupos de 5, que vendidos a 2 reais totalizam 24 reais. A vara de marmelo "cantou" no lombo dos moleques, que até hoje não compreendem onde está o furo. Ajude-os a resolver este problema.

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