1ª aula teóricapág. 1

Cap. I - FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1 . Noções topológicas no conjunto dos reais.

1. 1- Módulo, distância, vizinhança.

Def.1.1 Seja xℜ∈, designa-se módulo ou valor absoluto ao real positivo,

0xsex
0xse x

Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então:

x =

(8) se nΝ∈, nx=

Equações com módulos

* A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira

1ª aula teóricapág. 2

Inequações com módulos Supondo +ℜ∈ae −ℜ∈b

Exemplos:

01xse 1
01xse 1 x

1 x x

Def.1.3 Distância entre dois números reais

Seja x, yℜ∈, define-se distância entre x e y, yxyxd −=),(

Prop.1.4*Sejam x, y, e z ℜ∈ e d a distância definida anteriormente então, são válidas as três propriedades:

(1) yxsse 0y)d(x, e 0y)d(x,==≥
1ª aula teóricapág. 3

Def.1.5 Vizinhança Seja a um n.º real, (a)ℜ∈, dado um n.º ε> o, designa-se vizinhança de a, de raio ε, ao conjunto

1.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto.

Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, Aℜ⊂, e b um número real. Diz-se que:

(i)b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma

vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε>o Tal que

(i) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε>o tal que

(i) b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto interior nem ponto exterior de A .

(iv) b é um ponto aderente de A se φε≠∩∀AbV)(

(v) b é um ponto de acumulação de A se {}()φε≠∩∀bAbV|)(

Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A ]]{}104,1∪=A

1ª aula teóricapág. 4

Def.1.7 Dado um conjunto Aℜ⊂, designa-se:

(1) Interior de A, int(A) (ou A), o conjunto das pontos interiores de A

(2) Exterior de A, ext(A), o conjunto dos pontos exteriores de A.

(3) Fronteira de A, fr(A), o conjunto dos pontos fronteiros a A.

(4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(A) fr(A) e

(5) Derivado de A, A, é o conjunto dos pontos de acumulação.

Exemplos:

1ª aula teóricapág. 5

Obs.: Sendo cX o complementar do conjunto X (cX=ℜ\X) Qualquer que seja Xℜ⊂ e cX : (i) int(cX)=ext(X)

1.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos limitados.

Def.1.8 Um conjunto Aℜ⊂ diz-se aberto se coincide com o interior (A= A) e Aℜ⊂ diz-se fechado se coincidir com o fecho

Exemplos:

C=] ]5,0 C não é aberto nem fechado

Def.1.9 Conjunto limitado

Um conjunto Aℜ⊂ diz-se limitado se, dado um elemento Ab∈, existe ε+ℜ∈ tal que )(bVAε⊂. Caso contrário diz-se que A é ilimitado.

Exemplos:

B é limitado

(2) C=]]pi,∞− C não é limitado, diz-se então que é ilimitado.

Comentários