números inteiros, operações e propiedades

números inteiros, operações e propiedades

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Conteúdo:

1. Operações com números inteiros, fracionários e decimais 2. Sistemas de medidas 3. Regras de três simples e composta; 4. Porcentagens 5. Equações de 1º e 2º graus

O REI DAS APOSTILAS

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Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total •A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a

• O zero e elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 = a

O primeiro termo de uma subtração e chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo - subtraendo = resto ou diferença

• A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)

• Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.

• Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.

• A subtração é a operação inversa da adição: M - S = R ↔ R + S = M

• A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. M + S + R = 2 x M

Valor absoluto

O valor absoluto de um número inteiro indica a distancia deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção:

• O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.

• A representação do valor absoluto de um número n é n . (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo de n")

Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos:

-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5.

O simétrico de 6 é -6. O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.

Operações com números inteiros (Z)

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.

As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não e fechado para qualquer uma destas três operações.

Adições e subtrações com números inteiros

Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Solução:

Faremos duas somas separadas - uma só com os números positivos: 10+15+4=+29

Agora calcularemos a diferença entre dois totais encontrados. +29-19=+10

Atenção! É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Calcular o valor da seguinte expressão: -10+4-7-8+3-2

Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto.

1° fator x 2° fator = produto

• O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador. • A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a

• O número 1 é elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a

• Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator:

• Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k. axb = c ↔ (axk)xb = kxc

• Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: ax(b±c) = (axb) ± (axc)

Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: QxD+R=N e 0≤≤≤≤R< D (onde D é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos: 1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

•Quando ocorrer R=O na divisão de N por D, teremos QxD=N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷D =Q;

•Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.

• Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R x k < D, ou será igual ao resto da divisão de R x k por D, se Rxk≥≥≥≥D.

Multiplicações e divisões com números inteiros

Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos:

1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t+8

Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t+8-5 = t+3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

2. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?

Solução: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que:

m – s = r → s + r = m (a soma de s com r nos dá m)

Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:

O total será sempre o dobro do minuendo.

Deste modo, temos: m+s+r=264 2m =264

Resp.: O minuendo será 132. 3.Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 1, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) x (divisor) + (resto) n=5x 12+1 n=60+ 1 n=71 O dividendo procurado é 71.

1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do minuendo?

3. O produto de dois números é 620. Se adicionássemos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?

4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?

5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,0; o segundo receberá R$ 60,0 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,0 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três vendedores?

6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média, 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?

7. Uma pessoa ganha R$ 40,0 por dia de trabalho e gasta R$ 80,0 por mês. Quanto ela economizará em um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,0 o litro e vendido a R$ 9,0, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,0. Qual era a capacidade de cada barrica?

9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram re partidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?

10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275,0. Marisa tem R$ 15,0 mais do que Yara e Marta possui R$ 20,0 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?

1. Do salário de R$ 3.302,0, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,0 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

13. Dois homens, três mulheres e seis crianças conseguem carregar juntos um total de 69 quilos. Cada homem carrega tanto quanto uma mulher e uma criança, enquanto cada mulher consegue carregar tanto quanto três crianças. Quanto cada um deles consegue carregar?

14. Num atelier de costura empregam-se 4 gerentes, 8 costureiras e 12 ajudantes. Cada gerente ganha por dia tanto quanto 2 costureiras ou 4 ajudantes. Qual o valor da diária de cada gerente, costureira e ajudante, se a folha mensal desta equipe é de R$ 26.40,0?

15. O dono de uma papelaria adquiriu um certo número de pastas escolares que seriam revendidas ao preço unitário de R$ 5,0. Ao conferir as pastas constatou que entre elas havia 15 com defeito. Fazendo as contas, descobriu então que se I ele vendesse as pastas restantes ao preço unitário de R$ 8,0, a sua margem de lucro continuaria sendo a mesma de antes. Quantas pastas perfeitas o dono da papelaria recebeu?

16. Se eu der 4 balinhas a cada um dos alunos de uma classe sobram-me 7 das 135 que eu tenho. Quantos alunos há nesta classe?

17. Quero dividir 186 figurinhas igualmente entre certo número de crianças. Para dar duas dúzias a cada criança faltariam 6 figurinhas. Quantas são as crianças?

18. A soma de dois números inteiros e consecutivos é 91. Quais são eles? 19. A soma de dois números pares e consecutivos é 126. Quais são eles? 20. A soma de três números inteiros e consecutivos é 249. Quais são eles?

1. 82 2. 206 3. 20 e 31 4. 167 5. R$ 930,0 6. 4.256.0 7. R$ 1.440 8. 110 litros 9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 48 10. Marta: R$ 110,0, Marisa: R$ 90,0 e Yara: R$ 75,0 1. R$ 622,0 12. Renato: 15 e Flávia: 8

Dados dois números inteiros a e b, com b≠0, denominamos número racional a todo número b a =x ,

tal quex x b=a.

Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional a na forma b

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL A representação decimal de um número racional poderá resultar em um do três casos seguintes: Inteiro Neste caso, a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente.

Expansão Decimal Finita Neste caso, há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.

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Expansão Decimal Infinita Periódica

Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período.

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Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes.

Como determinar uma fração geratriz

1° Caso - Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de "zeros" do denominador:

Seja a,bc...npppuma dízima periódica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a

2° Caso - Dízimas Periódicas , b , c...n , não fazem parte do período p.

ab...n- np abc
será uma geratriz da dízima periódica a,bc...npppse:

1º- o número de noves' no denominador for igual à quantidade de algarismos do período; 2º- houver um zero' no denominador para cada algarismo aperiódico (bc...n)após a vírgula.

Exemplo:

5,8323232período: 32 (dois "noves" no denominador) atraso de 1 casa (1 "zero" no denominador)

parte não-periódica: 58

0,73444período: 4 (1 "nove" no denominador) atraso de duas casas (2 "zeros")

parte não-periódica: 073

6,034034034período: 034 (três "noves" no denominador) não houve atraso do período

(não haverá "zeros" no denominador) parte não-periódica: 6

0,525252período: 52 (dois "noves") não houve atraso do período

(não haverá "zeros" no denominador) parte não-periódica: 0 fração geratriz: 995299

Dados três números inteiros n, a, e b, com n≠0 e 0 < a < b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma b anb

Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, então, pode-se representar o seu resultado por um número misto.

Exemplo: A divisão inteira de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2. Então, pode-se escrever:

Com Denominadores Iguais Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores.

Com Denominadores Diferentes

Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados:

Para multiplicar duas ou mais frações deve-se: 1º) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 2°) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.

1

2por simplific. 6por simplific.

Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).

1
32
1

Atenção: Não faça contas com dízimas periódicas.

Troque todas as dízimas periódicas por frações geratrizes antes de fazer qualquer conta.

Exemplo: Calcular:

6
6

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular os resultados das expressões abaixo:

Soluções:

b) ()

c)

2. Determinar a fração geratriz de 0,272727

Solução:

3. Quanto valem dois terços de 360? Solução:

Então, dois terços de 360 são 240. 4. Se três quartos de x valem 360, então quanto vale x? Solução:

Então, x vale 480. 5. Determinar uma fração que corresponda a dois terços de quatro quintos. Solução:

Então, uma fração correspondente será 15 8 .

6. Cínthia gastou em compras três quintos da quantia que levava e ainda lhe sobraram R$ 90,0. Quanto levava Cínthia, inicialmente?

Solução:

O problema menciona quintos da quantia que Cínthia levava. Pode-se indicar a quantia inicial por 5x (pois 5x tem quintos exatos).

3x 5x de 5 3gastos

5x (Inicial)

Assim, tem-se: }} }

45x
902x

903x5x restogastoinicial

Como a quantia inicial foi representada por 5x, tem-se: 5x = 5 x 45 = 225,0

7. Um rapaz separou 1/10 do que possuía para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restandolhe, ainda, R$ 180,0. Quanto o rapaz tinha?

Solução: Seja 10x a quantia inicial (pois tem décimos e tem quintos exatos)

60x
180 3x
1806x-x10x

6x 10x de 5 3 :roupas x10x de 10 1 :sapatos restogastosinicial

Portanto, o valor inicial era: 10x = 10 x 60 = 60,0 reais

O rapaz tinha, inicialmente, R$ 60,0.

8. De um reservatório, inicialmente cheio, retirou-se 4 1 do volume e, em seguida, mais 21 litros.

Restaram, então 5 2 do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatório?

Solução: Seja 20x o volume do reservatório (pois tem quartos e quintos exatos).

8x21-5x20x

} }restoretiradasinicial

8x 20x de 5 2 :resto litros 21 :retirada 2ª

5x20x de 4 1 :retirada 1ª isolando os termos em "x" tem-se:

Como a capacidade do reservatório foi representada por 20x, tem-se: 20x = 20 x 3 = 60 litros

9. Rogério gastou 3 2 do que tinha e, em seguida, 4

1 do resto, ficando ainda com R$ 30,0. Quanto

Rogério possuía inicialmente?

Solução: Seja 12x a quantia inicial de Rogério:

(-8x)(-x)

3x = 300 x = 100

Logo, a quantia inicial de Rogério era:

12x = 12 x 100 = 1.200 reais Rogério possuía, inicialmente, R$ 1.20,0.

10. Um estojo custa 3 2 a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,0. Quanto custa cada objeto?

Solução: Como o preço do estojo foi indicado para dois terços a mais que o preço da caneta, faremos: caneta: 3x

Juntos eles valem R$ 16,0: }}

2 x
168x

165x3x estojocaneta

Então:

a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais

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