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Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção de grau de Mestre. Curso de Mestrado em Informática, Instituto de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa Co-orientador: Prof. Dr. João Batista de Oliveira

PORTO ALEGRE JULHO/1998 i TERMO DE APROVAÇÃO

S587uSilveira, Francisco Alberto Rheingantz
Utilização do Mathematica como ferramenta de apoio
129f.
Diss. (Mestrado ) - Inst. de Informática, PUCRS
1 Informática na Educação 2.Matemática - Ensino

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) ao ensino de matemática / Francisco Alberto Rheingantz Silveira .— Porto Alegre, 1998. 3.Mathematica (Software) I.Título

CDD 371.39445
510.7
005.3
CDU 510
37:658.32
681.3.06

Bibliotecária Responsável:

Queremos deixar registrados nossos agradecimentos:

- à Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul por ter concedido licença para que pudéssemos realizar o curso de Mestrado;

- à Direção do Instituto de Matemática da PUCRS pelo apoio que nos foi dado durante o curso;

- ao Prof. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa pela orientação recebida;

- aos professores da Banca Examinadora pelas sugestões dadas que permitiram a conclusão deste trabalho;

- aos participantes das pesquisas realizadas pela oportinidade de comprovarmos nossas intuições;

- às Profas Dra. Helena Noronha Cury, Helena Maria Totta Silveira e Lilian Bromberg pela colaboração recebida quando da elaboração de nosso trabalho;

- à bolsista Carolina Jaworski dos Santos que se integrou e participou de nossas atividades.

LISTA DE FIGURASVII
RESUMOIX
ABSTRACTX
1 INTRODUÇÃO1
1.1 A Informática na Educação Matemática1
1.2 Motivações15
1.3 Organização da Dissertação16
2 O MATHEMATICA18
2.1 Considerações Iniciais18
2.2 Operações e Comandos Básicos20
2.3 Operações Algébricas23
2.4 Funções24
2.5 O Cálculo30
2.5.1 Limites30
2.5.2 Derivadas31
2.5.3 Integrais39
2.5.4 Séries42
2.5.5 Equações Diferenciais43
2.5.6 Cálculo Vetorial4
2.6 A Álgebra Linear47
2.7 A Programação de Pacotes50
2.7.1 O Pacote TRIGRAF51
2.7.2 O Pacote POLIGRAF5
2.7.3 O Notebook ANIMA58
3 METODOLOGIA UTILIZADA NAS PESQUISAS61
3.1 Pesquisa A61
3.2 Pesquisa B6
3.3 Pesquisa C70
3.4 Pesquisa D73
4 ANÁLISE DAS PESQUISAS76
4.1 Pesquisa A7
4.2 Pesquisa B82
4.3 Pesquisa C90
4.4 Pesquisa D96
5 CONCLUSÕES9
ANEXO A104

SUMÁRIO ANEXO B .................................................................................................................... 1

ANEXO C118
ANEXO D119
ANEXO E122

vi REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 124 vii

Figura 2.1: A estrutura do MATHEMATICA18
Figura 2.2: Ícone do MATHEMATICA19
Figura 2.3: Tela inicial do MATHEMATICA19
Figura 2.4: Notebook usando funções trigonométricas inversas2
Figura 2.5: Notebook usando funções logarítmicas23
Figura 2.6: Funções: definição e operações25
Figura 2.7: Gráfico da função f(x) = x2-x-626
Figura 2.8: Gráfico da função g(x) = 2sen(x)27
Figura 2.9: Gráfico da função h(x) = ln(x)27
Figura 2.10: Gráfico das funções f(x) = x2-x-6, g(x) = 2sen(x) e h(x) = ln(x)28
Figura 2.1: Gráfico das funções f (x), f ’(x) e f ’’(x)32
Figura 2.12: Gráfico das curvas de níveis da função g(x,y) = x3 + y3 - 135
5)x2(sen2)x(w 236
Figura 2.14: Gráfico da função derivada de w(x)36
Figura 2.15: Quadrado de 12 cm de lado37
Figura 2.16: Gráfico de função de duas variáveis39
Figura 2.17: Área entre curvas41
Figura 2.18: Gráfico das funções f (x) e g (x)46
Figura 2.19: Tela de abertura do Pacote TRIGRAF52
Figura 2.20: Tela para a escolha da função F[x]52
Figura 2.21: Tela para a entrada do primeiro parâmetro da função T[x]53
Figura 2.2: Tela de saída do comando Des153
Figura 2.23: Tela de saída do comando Des154
Figura 2.24: Tela de saída do comando Des254
Figura 2.25: Tela de saída do comando Des25
Figura 2.26: Tela de abertura do Pacote POLIGRAF5
Figura 2.27: Tela para a escolha do polinômio f[x]56
Figura 2.28: Tela de saída com os dados de f[x]56
Figura 2.29: Tela de saída com o gráfico de f[x]57
Figura 2.30: Tela de saída com os dados de f’[x]57
Figura 2.31: Tela de saída com o gráfico de f’[x]58
Figura 2.32: Tela de saída com os gráficos de f[x] e f’[x]58
Figura 2.3: Tela de entrada do Notebook ANIMA59
Figura 2.34: Tela que mostra a célula de Implementação59
Figura 2.35: Tela que mostra a animação da senóide60

Figura 4.1: Gráfico da função f (x) = (x - 1)/(x + 1)......................................................79

Figura 4.2: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 4579
Figura 4.3: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 4580
Figura 4.4: Gráfico da função f (x) = sen x + cos x85
Figura 4.5: Gráficos das funções g (x) = x2 e h (x) = x2 + 5085
Figura 4.6: Gráficos das funções t (x) e k (x)86

viii Figura 4.7: Gráfico da função p (x)................................................................................87

Em nosso contexto educacional, o computador pode ser utilizado como ferramenta auxiliar da aprendizagem e motivadora de todo este processo que envolva professores e alunos.

O surgimento dos sistemas de computação algébrica e o aperfeiçoamento de suas interfaces propiciou que pesquisadores ligados à Educação Matemática constatassem a viabilidade de seu uso no ensino.

No presente trabalho, realiza-se um estudo do software MATHEMATICA, com o objetivo de verificar a possibilidade de seu uso como ferramenta de apoio ao ensino de Matemática no 2º e 3º graus, relatando-se, também, experiências realizadas com professores e alunos.

É apresentada, inicialmente, uma síntese dos comandos do software, bem como exemplos de utilização em tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais, Cálculo Vetorial e Álgebra Linear.

Também são descritos os packages TRIGRAF, POLIGRAF e o notebook

ANIMA, desenvolvidos no sistema MATHEMATICA, com o objetivo de facilitar o trabalho dos usuários do software.

A seguir, são apresentados os resultados das pesquisas, realizadas com alunos de 2º grau de escolas de Porto Alegre, licenciandos do curso de Matemática da PUCRS e professores de Matemática de 2º grau.

As experiências mostraram que é viável a utilização do software no ensino de Matemática, mas que não se pode dispensar o trabalho do professor, que vai ser responsável pelo planejamento das atividades a serem desenvolvidas e, especialmente, pela criação de pacotes que adaptem o software às necessidades dos conteúdos abordados.

In our educational context, the computer can be used as an auxiliary tool in learning, and a motivator of all of this process involving teachers and students.

The appearing of the algebrical computation systems and the development of their interfaces has helped the researchers dealing with Mathematical Education to discover the practicability of their use in teaching.

In the present work, a study is made of the software MATHEMATICA, with the objective of checking the possibility of its use as a support tool in the teaching of mathematics in the secondary and college levels, as well as the presentation of experiences realized with teachers and students.

In the first moment, a synthesis can be found of the software commands, as well as examples of the use in topics of Differential and Integral Calculus, Differential Equations, Vetorial Calculus, and Linear Algebra.

Descriptions of the packages TRIGRAF, POLIGRAF, and the notebook

ANIMA, developed in the system MATHEMATICA, are exposed with the purpose of easing the work of the software users.

The results of the research were reached involving students from secondary schools, graduates from the PUCRS Mathematics Course, and secondary level school teachers.

The experiences revealed that the use of the software is feasible in the teaching of mathematics, but the presence of the teacher continues important, being responsible for the planning of the activities to be performed, and especially for the creation of packages that will adapt the software to the needs of the contents involved.

1 INTRODUÇÃO

1.1 A Informática na Educação Matemática

Ao longo de vinte e três anos de atividades docentes na Área de Matemática, em Escolas Públicas e Particulares de 1º e 2º graus e na Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, verificou-se que a aprendizagem de Matemática representa uma grande dificuldade a ser vencida pelos alunos.

Em Congressos, Seminários e Encontros de Educação realizados no Brasil e no Exterior, a utilização do computador como ferramenta de apoio à aprendizagem vem sendo debatida por especialistas de várias Áreas, entre elas Informática, Educação e Psicologia Cognitiva, como uma alternativa para enfrentar esta dificuldade.

De uma maneira geral, nos sistemas educacionais, constata-se que a

Matemática está intimamente vinculada à Educação, dado o caráter de universalidade de ambas.

De acordo com [DAM93]:

“A única disciplina que chegou, nos sistemas educacionais, a atingir um caráter de universalidade foi a Matemática. Ela é ensinada em todo mundo, com algumas variantes que são bem mais estratégias para atingir conteúdo universalmente acordado, como devendo ser a bagagem de toda a criança que passa por um sistema escolar. A Matemática é a única disciplina que é ensinada da mesma maneira e com o mesmo conteúdo para todas as crianças do mundo.” (p. 7)

Teorias da Educação e da Psicologia, surgidas nas últimas décadas, têm motivado reformulações no ensino de Matemática. Em [MIZ86] e [LIB85], encontramse considerações sobre pressupostos básicos das diversas tendências pedagógicas. Na Pedagogia tradicional, o modelo de aprendizagem vigente é baseado na idéia de que a aprendizagem consiste na aquisição de informações e que o aluno aprende por repetição da matéria e realização de exercícios. Os conteúdos são transmitidos pelos professores da forma como os receberam de seus mestres.

Por outro lado, a Pedagogia escolanovista parte do pressuposto de que a aprendizagem é uma atividade de descoberta e que o aluno só retém o que se incorpora à sua atividade pela descoberta pessoal.

A tendência tecnicista baseia-se nas teorias behavioristas, considerando que o aprender é uma questão de modificação do comportamento e que o aluno tem reforçada a sua aprendizagem através do uso de procedimentos como a instrução programada.

Tendências sócio-culturais consideram que aprender é conhecer a realidade concreta e decorre da crítica e da reflexão sobre essa realidade. Enfatizam, portanto, a importância da construção coletiva do conhecimento.

A abordagem de cunho construtivista entende que o conhecimento é uma construção contínua, baseada na pesquisa, na investigação, na resolução de problemas. A aprendizagem verdadeira só se realiza quando o aluno constrói o seu conhecimento na interação dinâmica com o meio.

Todas essas idéias perpassam o ensino de Matemática e são investigadas em pesquisas na área de Educação Matemática. Em [CAR91] constata-se que Educação Matemática é o estudo de todos os fatores que influenciam, direta ou indiretamente, os processos de ensino-aprendizagem em Matemática e sua atuação sobre estes fatores.

Encontra-se, também, em [BIC91] que o conceito de Educação Matemática implica um estudo, o mais completo possível, do significado de Homem e de Sociedade, e à Educação Matemática deve corresponder a reflexão da medida em que ela pode concorrer para que o homem e a sociedade satisfaçam seus destinos.

Já em [CUR94] é colocado que

“a Educação Matemática é um campo interdisciplinar, que emprega contribuições da Matemática, de sua Filosofia e de sua História, bem como de outras áreas tais como Educação, Psicologia, Antropologia e Sociologia. Seu objetivo é o estudo das relações entre o conhecimento matemático, o professor e os alunos, relações essas que se estabelecem em um determinado contexto sócio-cultural. Seus métodos são variados, porque são originários das diversas áreas que a subsidiam.” (p. 18)

Em todas as conceituações mencionadas, ficou claro que a Educação

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