Apostila de progressões - pa e pg

Apostila de progressões - pa e pg

(Parte 1 de 2)

E–mail g a b a rito ce rto @ h o tm a il.c o m

Envie suas dúvidas e questões para gabaritocerto@hotmail.com e saiba como receber o GABARITO comentado.

PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS gabaritocerto@hotmail.com gabaritocerto2@yahoo.com.br gabaritocerto@gabaritocerto.com.br

w.gabaritocerto2.blogspot.com

Home Page w.gabaritocerto.com.br

A quem dedico este trabalho.

Dedico este trabalho a meu pai

Que com inteligência e racionalidade Combateu e venceu.

Antonio dos Santos

Nosso e-mail no Yahoo: Gabaritocerto2@yahoo.com.br

Nosso MSN gabaritocerto@hotmail.com

Blog do Gabaritocerto: w.gabaritocerto2.blogspot.com/

Nossa home page: w.gabaritocerto.com.br

Estamos no Msn gabaritocerto@hotmail.com

Estamos on line todos os dias no período de 09:0 h às 1:0h e 21:0h às 23:0h PARA AGENDAR SUA AULA ON LINE

Como receber o

Gabarito Comentado de todas as questões dessa Apostila?

Veja como em nosso Blog w.gabaritocerto2.blogspot.com/ ou envie e-mail para gabaritocerto2@yahoo.com.br ou gabaritocerto@hotmail.com ou gabaritocerto@gabaritocerto.com.br

DIVULGUE ESTA OPORTUNIDADE PARA OUTRAS PESSOAS RECORTE O ANÚNCIO ABAIXO E AFIXE EM LOCAL DE DIVULGAÇÀO (ESCOLA, IGREJA, CONDOMÍNIO, ETC) Desde já, agradeço.

QUÍMICA Questões resolvidas e explicadas pela Internet.

1° e 2° graus, Supletivo, Reciclagem Vestibular, Concursos Públicos gabaritocerto@hotmail.com ou on line pelo MSN gabaritocerto@hotmail.com nosso Blog w.gabaritocerto2.blogspot.com

RECORTE E DIVULGUE. Desde já agradecemos. Equipe gabaritocerto & Prof. Antonio

CONVITE Seja um participante desta Equipe.

Ganhe dinheiro editando, resolvendo e comentando questões de matemática, física, química e outros assuntos e/ou disciplinas.

Ganhe dinheiro editando apostilas.

Saiba como participar

Envie e–mail para nossa Equipe com a seguinte frase:

"Solicito informações de como participar da Equipe Gabaritocerto"

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

1. Seqüências Numéricas – Introdução PA e PG

Os Matemáticos observaram que na natureza alguns fenômenos apresentavam SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS. Algumas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, não apresentavam LEI DE FORMAÇÃO, isto é, eram SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS, e dessa forma não havia como elaborar uma FÓRMULA GERAL para este tipo de SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS. Outras porém, guardavam uma LEI, uma REGRA de formação a estas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, foi dado o nome de PROGRESSÕES. Desta forma, os matemáticos ocuparam-se no estudo destas seqüências (Progressões). As PROGRESSÕES DE NÚMEROS possuem LEI DE FORMAÇÃO, ou FÓRMULA GERAL. Existem VÁRIOS tipos de PROGRESSÕES, porém estudaremos, primeiramente duas delas:

a ARITIMÉTICA e a GEOMÉTRICA.

A Progressão Aritmética é identificada como sendo aquela em que

Exemplo a: 6 . 8 . 10 . 12 . 14 . 16 . 18
Exemplo b:1

No exemplo a, observe que:

Termo consequente (8) - Termo antecedente (6) = 2 Termo consequente (10) - Termo antecedente (8) = 2 Termo consequente (12) - Termo antecedente (10) = 2 Termo consequente (14) - Termo antecedente (12) = 2 Termo consequente (16) - Termo antecedente (14) = 2 Termo consequente (18) - Termo antecedente (16) = 2

A esse VALOR CONSTANTE dá-se o nome de RAZÃO, que no exemplo acima é 2.

Qual é a razão do exemplo b?

A LEI DE FORMAÇÃO de uma PA, pode ser estabelecida. Sendo:

ak o termo da posição k;

CUIDADO!!! Geralmente os livros apresentam a1 ao invés de ak ou seja definem k = 1. O cálculo com a1 não está errado, porém a fórmula

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com fica AMARRADA no conhecimento do PRIMEIRO TERMO, ao passo que ak. deixa voce livre para trabalhar com qualquer termo da progressão. Veja o exercício n°7 an o termo da posição n; r a razão n a posição do termo an k a posição do termo ak Podemos escrever a Lei de formação do termo an:

1.1] Progressão Aritimética – Exercícios

1.1.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões abaixo:

(a) 4,1,18,

Para se determinar a fórmula do termo geral de uma progressão voce só precisa de duas coisas: A RAZÃO e o PRIMEIRO TERMO. Identificar se é PA ou PG. No caso é PA, de RAZÃO 7; pois 1-4 = 7 e 18 - 1 = 7

Identificar o PRIMEIRO TERMO. No caso a1 = 4. Pronto! Agora é só substituir na Lei Geral:

an = 4 + (n - 1) . 7, desenvolvendo
(b) 8, 5, 2, -1,
(c) -1, -4, -7,
(d) -2, - 9/4, -10/4,
4, 7, 10,

1.1.2] Calcule o décimo termo da PA onde :

1, ½ , 0,

1.1.3] Calcule o termo a20 da PA onde:

1.1.4] Calcule o a15 da PA onde:

a, (a+2m), (a+4m),

1.1.5] Calcule o termo a9 da PA onde: 1.1.6] Calcule o trigésimo termo da PA onde:

1.1.7] Calcule o terceiro termo da PA onde:

1.1.8] Calcule a razão da PA onde:

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

2x-y, 3x,, 31x + 28y

1.1.9] Calcule o número de termos da PA onde: 1.1.10] Calcule a razão da PA onde:

4, 7, 10

1.1.12] Calcule o primeiro termo de :

a14 = 4 e r = 3 1.1.13] Calcule a razão da PA onde:

1.1.14] a1 = 5e a27

1.1.15] Calcule o primeiro termo da PA onde:

1.1.24] 3 + 8 + 13 ++ x = 1575

1.1.18] a, a+2m, a+4m 1.1.19] Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 201? 1.1.20] Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 1004 ? 1.1.21] Calcule a SOMA dos múltiplos de 5 existentes entre 16 e 91. 1.1.2] Calcule a SOMA dos 100 primeiros números naturais. 1.1.23] Resolva a equação: 1.1.25] Calcule o último termo da PA onde:

1.1.26] a1 = 5 e razão = 2e que a soma de todos os termos vale 480.

1.1.27] Numa PA de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule o valor da razão e o primeiro termo.

1.1.28] Interpole 8 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 26 e -1 1.1.29] Insira 5 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 6k - 4 e 12k + 20.

1.1.30] A soma dos três primeiros termos de uma PA vale 54. Calcule o termo central.

1.1.31] Calcule o 35º termo da PA, onde o a2 = 5 e a9 = 28

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

1.1.32] Calcule a Soma dos primeiros 25 termos da PA , onde a5 = 30 e a20= 120

1.1.3] Calcule a Soma dos 10 primeiros números ímpares

1.1.34] Calcule a Soma dos 15 primeiros números múltiplos de 3.

1.1.35] Calcule em qual matriz e em qual posição o número 3457, vai

, P2 ,,

ocupar na sequência de matrizes com nove posições, P1

Diagrama das Posições

Matriz 1Matriz 2

1.2] Progressão Geométrica – Exercícios

1.2.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas

1.2.2] (a) 5, 25,
1.2.3] (b) -3, - 1/9, -1/27,
1.2.4] Calcule o 10º termo da PG ( 1/4 : 3/20 :)

1.2.5] Calcule a razão da PG onde o último termo é igual a milésima parte do primeiro. Sabendo-se que a PG possui 4 termos

1.2.6] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = 2 e a2 = 6 1.2.7] Calcule o quinto termo da PG onde a1 = 3-1 e a2 = 3-2 1.2.8] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/2 1.2.9] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 e q = -1 1.2.10] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 2 e a9 = 1024 1.2.1] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486

1.2.12] Calcule a razão (q) da PG onde a15 4

= ea8 = 160

1.2.13] Calcule o número de termos da PG : 18 12

1.2.14] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, 6, 12,, 1536

1.2.15] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/4

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

1.2.16] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quadruplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 20.

1.2.17] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas

1.2.18] (a) 7, 21, 63,
1.2.19] (b) -4, - 1/4, -4/9,
1.2.21] (d) 20, 10, 5,
1.2.2] (e) k, k/2, k/4,

1.2.23] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = -2 e a2 = -6 1.2.24] Calcule o nono termo da PG onde a1 = 2-1 e a2 = 2-2

1.2.25] Calcule o sétimo termo da PG onde a1 = pipipipi e a2 = pipipipi3 1.2.26] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/4

1.2.27] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 + 31/2 e q = -1

1.2.28] Calcule o primeiro termo (a1 ) da PG onde a7 = 384 e q = 2 1.2.29] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 4 e a9 = 1024 1.2.30] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486

1.2.31] Calcule a razão (q) da PG onde a15 4

= ea8 = 160

1.2.32] Calcule o número de termos da PG : 18 12

1.2.3] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, -6, 12,, -1536
1.2.34] Calcule a razão da PG, onde a2 + a5 = 780e a1 + a4 = 195

1.2.35] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quíntuplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 30.

1.2.36] Interpole cinco meios geométricos na PG onde a1 = 4 e an = 2916.

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

Fórmula da Soma dos termos da PG infinita decrescente:

(Bizú)

Comentário: A Soma dos termos da PG infinita, é possível por que a seqüência tende a um valor nulo.

1.2.37] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: ( 8, 4, 2, 1,)

1.2.38] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (34141 12

,,,)

1.2.39] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: 9949 16 9 64

,)

1.2.41] Calcule o primeiro termo ( a1 ) de uma PG infinita onde a razão é 2

3 e a soma de seus termos é 54.

8

1.2.43] Resolva a equação :

+++=

x x x x

Soma dos termos de uma PG crescente:

S a q a ou ( )S a q

Quando os termos da PG são iguais a fórmula que dá a Soma dos termos reduz-se à seguinte: Snan=.1

1.2.45] Demonstre que S a q a a q

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

1.2.46] Calcule a soma das áreas dos quadrados em função do lado l do primeiro quadrado, de acordo com a informação: É dada uma seqüência infinita de quadrados onde cada um, a partir do segundo, tem por vértices os pontos médios do quadrado anterior, veja a figura:

devem ser somados para que se obtenha a soma Sn = 1023

512 , ( observação: escolha uma fórmula que contenha “n” ).

1.2.48] Calcule o primeiro termo, a razão e a soma dos seis primeiros termos da PG em que a3 = 15 e a6 = 5

1.2.49] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, 100000 unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento de produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de 1990.

1.2.50] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 metros no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos de queda?

1.2.51] Cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois?

1.2.52] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000?

1.2.53] A população de um conglomerado é 10 milhões de habitantes e a de ratos, 200 milhões. Ambas as populações crescem em PG, de modo que a humana dobra a cada 20 anos e a de ratos dobra a cada ano. Dentro de 10 anos quantos ratos haverá por habitante?

1.2.54] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0,5
1.2.5] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,8

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

1.2.57] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,8777

x x x x x x x

1.2.59] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 6° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 6° edição do livro.

1.2.60] Depositando 1000 Reais a juros compostos de 3% ao mês. Calcule o Valor do montante ao final de 5 anos de aplicação.

1.2.61] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,8787

1.2.62] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 3% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 20 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2010?

1.2.63] Uma editora imprimiu 5000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 15% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 10° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 10° edição do livro.

1.2.64] Um pássaro está entre duas locomotivas que viajam em sentidos contrários. O pássaro voa em direção a locomotiva A e ao chegar voa imediatamente em direção a locomotiva B. Sabendo-se que nesses voos o pássaro voa sempre a metade do percurso de ida e volta. Calcule a distância que o pássaro realiza até o encontro das locomotivas sendo a distância inicial igual a 1000 metros.

1.2.65] Um humilde camponês com 35 anos resolveu aceitar o desafio de um Rei ao solucionar um problema na corte real. Resolvido o problema o Rei resolveu presentear o camponês dedicando a ele um pedido que seria prontamente atendido. O camponês então decidiu fazer o seguinte pedido ao Rei: RECEBER UM GRÃO DE MILHO NAQUELE DIA, DOIS GRÃOS DE TRIGO NO SEGUNDO DIA, QUATRO GRÃOS DE TRIGO NO TERCEIRO DIA, OITO GRÃOS NO PRÓXIMO E ASSIM SUCESSIVAMENTE, até a sua morte. O Rei aceitou imediatamente e achou um pedido humilde comparado à sua majestade. Pergunta-se: Quantos grãos de trigo o Rei deverá pagar ao camponês quando ele fizer 36 anos.

Apostilas/gabaritos/apoio educacional/Tira dúvidas: gabaritocerto@hotmail.com

(Parte 1 de 2)

Comentários