Resumo de espaço vetorial

Resumo de espaço vetorial

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR - 2009.2 – PROFESSOR SALES ALGUNS FATOS IMPORTANTES DA ÁLGEBRA LINEAR

Teorema 1 Consideremos que seja um espaço vetorial, seja um vetor em , 0 seja o vetor nulo de e seja um escalar. Nestas condições, valem:

i) 0 i) 0 i) iv) Se 0, então ou 0

Caso especial de espaço vetorial Se é um espaço vetorial e 0 é o seu vetor nulo, então o conjunto munido das operações de adição e multiplicação por escalar vigentes em V e formado apenas por 0 é um espaço vetorial, chamado espaço vetorial nulo.

Definição de subespaço vetorial Consideremos que seja um espaço vetorial. Dizemos que um subconjunto de , , é um subespaço vetorial de se é, ele próprio, um espaço vetorial, isto é, , munido das operações de adição e multiplicação por escalar definidas em , é um espaço vetorial.

Teorema 2 Consideremos que seja um espaço vetorial. Um subconjunto , de , é um subespaço vetorial de se, e somente se, valem todas as seguintes condições:

i) é não-vazio, i) é fechado em relação à adição, ou seja, se e pertencem a , então pertence a , i) é fechado em relação à multiplicação por escalar, isto é, se, para qualquer pertencente a e qualquer escalar , ocorre: pertence a .

Corolário do Teorema 2 (critério de identificação de subespaços) Consideremos que seja um espaço vetorial. Um subconjunto , de , é um subespaço vetorial de se, e somente se, valem todas as seguintes condições:

i) 0 pertence a ( é não-vazio), i) Para quaisquer , em e quaisquer escalares , , ocorre: é um elemento de .

Teorema 3 Se e são subespaços de um espaço vetorial , então a interseção destes subespaços, , é um subespaço vetorial de .

Advertência Se e são subespaços de um espaço vetorial , então nem sempre a união destes subespaços, , é um subespaço vetorial de .

Teorema 4 (espaço-solução de sistemas homogêneos) Se x 0 é um sistema linear homogêneo formado por equações e incógnitas, então o conjunto de todos os vetores-solução desse sistema é um subespaço de .

Observação No teorema 3, o símbolo representa uma matriz do tipo:

e x é um vetor do tipo: .

Definição (combinação linear) Consideremos que sejam vetores de um espaço vetorial . Dizemos que é uma combinação linear de se existem escalares tais que .

Observação Fixado um conjunto de vetores de um espaço vetorial , certos vetores de podem ser expressos como combinação linear dos vetores , mas podem existir vetores de que não podem ser escritos assim. Um fato relevante a este respeito é que o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores é um subespaço vetorial de . É este o conteúdo do seguinte teorema.

Teorema 5 Consideremos que sejam vetores de um espaço vetorial , então o conjunto, de todas as combinações lineares dos vetores é um subespaço vetorial de . Além disso, é o menor subespaço de que contém os vetores , no sentido de que se é qualquer subespaço de que contém os vetores , então contém .

Definição e notação (subespaço gerado) O subespaço do teorema 4 é denominado subespaço gerado por , e é geralmente representado por

Observação Cada um dos vetores pertence ao subespaço gerado por eles, pois, por exemplo, temos:

Ou seja, cada um dos vetores é uma combinação linear deles próprios.

Teorema 6 Se e são conjuntos de vetores de um mesmo espaço vetorial , então vale a seguinte relação:

se, e somente se, cada vetor de é uma combinação linear de e cada vetor de é uma combinação linear de .

Observação O que o teorema 6 afirma, essencialmente, é que é possível um mesmo subespaço, , de um dado espaço vetorial, , ser gerado por conjuntos formados por quantidades distintas de vetores de . A única condição para isto acontecer é que cada um dos vetores, em cada um dos conjuntos, seja combinação linear dos vetores do outro conjunto. A título de ilustração deste fato, basta ver que o plano é gerado, tanto pelos vetores e quanto pelos vetores e .

Definição ((in)dependência linear) Consideremos que sejam vetores de um espaço vetorial . A equação 0, cujas incógnitas são os escalares , possui pelo menos uma solução, qual seja,

. Se esta é a única solução desta equação, dizemos que os vetores são linearmente independentes (abreviadamente, l.i.). Porém, se esta equação admite alguma solução em que nem todos os escalares são diferentes de zero, dizemos que os vetores são linearmente dependentes (abreviadamente, l.d.).

l.d. é comum falarmos que o conjunto é l.d

Observação É comum usarmos a expressão “o conjunto é l.i.” para significar que os vetores são l.i. Quando os vetores são

Teorema 7 Consideremos que seja um conjunto de dois ou mais vetores de um espaço vetorial . Nestas condições, são válidas as seguintes relações equivalentes:

i) é l.d. se, e somente se, pelo menos um vetor de pode ser expresso como combinação linear dos demais vetores de . i) é l.i. se, e somente se, nenhum vetor de pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores de .

Teorema 8 Em um espaço vetorial, todo subconjunto finito contendo o vetor nulo é l.d.

Teorema 9 Considere que seja um subconjunto de vetores de . Se , então é l.d.

Definição (Base e dimensão) Consideremos que seja um espaço vetorial arbitrário e que seja um subconjunto de . Dizemos que é uma base de se, nestas condições, valem as seguintes relações:

i) é linearmente independente, e i) .

Teorema 10 (Unicidade de representação de um vetor em uma base) Se é uma base de um espaço vetorial , então cada vetor em pode ser expresso de uma única maneira na forma .

Definição (Coordenadas em relação a uma base) Se é uma base de um espaço vetorial e se é um vetor em tal que , então os escalares são chamados de coordenadas do vetor em relação à base . Tal fato é representado por:

Uma ilustração Consideremos a base de dada por , em que e .

a) Quais são as coordenadas do vetor em relação à base ? b) Qual é o vetor em tal que ?

Uma solução a) Aqui, precisamos encontrar escalares e tais que , isto é, (, o que nos fornece e . Assim, temos .

b) Como , a definição de coordenadas de um vetor em relação a uma determinada base implica: , ou seja, .

Teorema 1 Se é um conjunto l.i. de vetores em um espaço vetorial , então é uma base para o subespaço .

Definição (Dimensão de um espaço vetorial) Dizemos que um espaço vetorial tem dimensão finita se este contém um subconjunto finito que é uma base de . Se não existe um subconjunto nestas condições, dizemos que tem dimensão infinita.

Ilustração São exemplos de espaços vetoriais de dimensão finita: .

O espaço de todas as funções tem dimensão infinita.

Teorema 1 Consideremos que seja uma base de um espaço vetorial . Nestas condições, são válidas as seguintes afirmações:

i) Todo subconjunto de contendo mais do que vetores é l.d. i) Nenhum subconjunto de contendo menos do que vetores gera .

Teorema 12 Duas bases quaisquer de um mesmo espaço vetorial possuem a mesma quantidade de vetores.

Definição A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita é a quantidade de vetores de uma base dele. A notação usada para representar a dimensão de um espaço vetorial destes é . A dimensão do espaço vetorial nulo é definida como sendo zero.

Teorema 13 Consideremos que seja um espaço vetorial de dimensão

i) Se é um subconjunto de contendo exatamente vetores linearmente independentes, então é uma base de . i) Se é subconjunto de contendo exatamente geradores de , então é uma base de .

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