III- FLEXÃO SIMPLES

1- Equações de Compatibilidade de Deformação

As deformações na flexão simples correspondem aos domínios 2, 3 e 4. Os valores de “x” que limitam estes domínios podem ser obtidos facilmente das equações de compatibilidade de deformações.

c

* DOMÍNIO 2: peças subarmadas  estado limite último é atingido pela deformação plástica execessiva do aço,

sem ruptura do concreto.

1 = 10%o = 0,010 0 < c < 0,0035

0 < x < 0,259d

* DOMÍNIO 3: ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento do aço  aproveitamento

integral dos 2 materiais  situação desejável  não há risco de ruptura brusca.

10%o > 1 > ydc = 0,0035

0,259d < x < xlim

BARRAS (A) 

FIOS (B) 

* DOMÍNIO 4: peças superarmadas  concreto rompe sem que o aço escoe  sem fissuração  deve-se evitar

  • não é econômico (mal aproveitamento do aço) e rompe sem aviso.

yd > 1c = 0,0035

xlim < x  d

2- Dimensionamento de seção retangular (Domínios 2 e 3)

Dados conhecidos:

- dimensões da seção transversal (b, h, d)

- resistências dos materiais (fck , fyk)

- solicitação (Md)

Calcula-se  As , ou As e A’s

- Armadura simples (As)  x < xlim , Md < Md lim

- Armadura dupla (As e A’s)  x > xlim , Md > Md lim

- Armadura mínima  As mín = 0,15% bw h  aço CA-50 e CA-60

- Armadura máxima  As máx = 4% bw h

    1. ARMADURA SIMPLES

*Equações de equilíbrio 

*Domínios 2 e 3  O valor de y deve deve atender a condição: y  ylim = 0,8 xlim

Caso y > ylim , o momento de cálculo atuante é maior que o momento limite; ou seja

Md > Mdlim

indicando que a seção situa-se no domínio 4. Neste caso não convém o dimensionamento com armadura simples, deve-se projetar armadura dupla.

2.2- ARMADURA DUPLA

Quando y > ylim ou Md > Mdlim fixa-se a posição da linha neutra em xlim e se introduz uma armadura localizada na zona comprimida, As’, o mais afastada possível da linha neutra. Esta armadura de compressão e uma armadura adicional de tração As constituem, quando suas áreas são multiplicadas por suas resistências, as forças de compressão e tração que formam o binário capaz de absorver a diferença de monentos Md .

x > xlim ou Md > Mdlim  A’s

y = ylim = 0,8 xlim  Mdlim  Md = Md - Mdlim

*Equações de equilíbrio 

A tensão 2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação 2 a apartir da compatibilidade de deformações:

 diagrama tensão-deformação do aço  2

A armadura tracionada, As, resulta: As= As1+ As .

3- Dimensionamento da seção T

O dimensionamento segue o mesmo procedimento adotado para a seção retangular, adaptando-se apenas a forma da seção nas equações de equilíbrio.

Existem 3 situações possíveis, conforme a posição da linha neutra:

    1. - Zona comprimida está dentro da mesa  0,8x < hf  Armadura Simples

O dimensionamento é feito como se tivesse uma viga de seção retangular de largura bf e altura útil d, com as seguintes equações de equilíbrio:

b  bf

    1. - A altura da zona comprimida está entre hf e 0,8xlim  hf < 0,8x  0,8xlim  Armadura Simples

O dimensionamento é feito adaptando-se as equações de equilíbrio para a seção T, o que resulta:

3.3- A altura da zona comprimida é maior que 0,8xlim  0,8x > 0,8 xlim  Armadura Dupla

O procedimento é análogo ao da seção retangular com armadura dupla. Faz-se, então, o cálculo do momento correspondente a seção T quando 0,8x = 0,8xlim , Mdmáx :

A diferença de momentos Md = Md - Mdmáx será absorvida por uma armadura de compressão, A’s, e uma armadura tracionada As. As equações de equilíbrio são, então, dadas por:

A tensão 2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação s2 a apartir da compatibilidade de deformações:

 diagrama tensão-defrmação do aço  2

4- Verificação de seção retangular

Nos problemas de verificação, são conhecidas todas as dimensões geométricas da seção, suas armaduras, as resistências dos materiais e deve ser calculado o momento fletor último, Mu, que pode solicitá-la.

4.1- Armadura Simples

A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento está no fato de não se saber se a armadura tracionada atingiu a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são:

Este sistema não pode ser resolvido, pois existem três incógnitas - y, 1, e Mu - e duas equações. O procedimento utilizado para resolver o sistema é o seguinte:

1) arbitra-se, na equação (1), 1= fyd e obtém-se o valor de y

  1. se o valor encontrado para y for y  ylim , 1 realmente atingiu a tensão de cálculo fyd; o valor de y calculado está correto e determina-se o valor de Mu substituindo-se y na equação (2)

  2. se o valor encontrado para y for y > ylim o seu valor não está correto, pois para y > ylim  1< fyd e o problema deverá ser resolvido de acordo com o tipo do aço:

* BARRAS (A)

Para as barras, quando y > ylim , 1 está na parte da reta de Hooke do diagrama tensão-deformação; assim, a deformação na armadura tracionada é dada por:

A tensão 1 é determinada substituindo-se o valor acima na equação de compatibilidade das deformações:

Esta equação, junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

* FIOS (B)

Para os fios, quando y > ylim  1< fyd e, geralmente, o diagrama tensão-deformação do aço está no trecho curvo. A solução é possível por tentativas:

  • arbitra-se o valor de 1

  • calcula-se y a partir da equação de equilíbrio (1)

  • com o valor de y, obtém-se a deformação da armadura através da equação de compatibilidade de deformações

  • com o valor de 1, determina-se o valor da tensão 1 através do diagrama tensão-deformação

  • o processo deve ser repetido até que haja coincidência entre os valores arbitrado e determinado pelo diagrama; quando os valores coincidirem, os valores de 1 e y são os corretos e o momento fletor último pode ser obtido da equação de equilíbrio (2)

4.2- Armadura DUPLA - uma armadura tracionada e a outra comprimida

A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento está no fato de não se saber se as armaduras atingiram a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são:

Este sistema não pode ser resolvido, pois existem mais incógnitas do que equações. O problema deverá ser resolvido de acordo com o tipo do aço:

* BARRAS (A)

Arbitra-se, na equação (1), 1= 2= fyd e obtem-se o valor de y. Pode ocorrer três situações:

  1. Se y  0,207d (domínio 2)  1= fyd e 2  fyd . A determinação de 2 é feita através de:

Se 2  yd  2 = fyd e da equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.

Se 2 < yd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

  1. Se 0,207d < y  ylim (domínio 3)  1= fyd e 2  fyd . A determinação de 2 é feita através de:

Se 2  yd  2 = fyd e da equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.

Se 2 < yd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

  1. Se y > ylim (domínio 4)  1< fyd e, geralmente, 2 = fyd . A equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.

Tomou-se 2 = fyd porque, no domínio 4, somente excepcionalmente 2 deixa de atingir a tensão de cálculo fyd. Isto ocorre em peças armadas com aço de alta resistência, de pequena altura útil e recobrimento da armadura de compressão grande. Nestes casos, 2 < yd e atensão 2 deve ser determinada por

* FIOS (B)

A armadura de compressão nunca atinge a tensão de cálculo fyd e os casos que aparecem na prática devem ser resolvidos por tentativas, seguindo-se a seguinte sistemática:

  1. Arbitra-se, na equação (1), 1 e 2 para obter o valor de y.

  2. Com o valor de y calculado, determina-se as deformações 1 e 2 através da compatibilidade de deformações e as tensões 1 e 2 através do diagrama tensão-deformação do aço empregado, conforme:

* Se y  0,207d (domínio 2)  1 = 10%o  1= fyd e 2 < fyd

* Se 0,207d < y  ylim (domínio 3)  1  yd  1= fyd e 2 < fyd

* Se y > ylim (domínio 4)  1< fyd e 2 < fyd . As deformações são determinadas por:

  1. Repetir o processo até haver coincidência entre os valores das tensões, os arbitrados e os calculados.Quando os valores coincidirem, os valores de 1 , 2 e y são os corretos e o momento fletor último pode ser obtido da equação de equilíbrio (2) .

ENG 01111 - ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I - Prof. Virgínia Maria Rosito d'Avila - Sala 307d - Eng. Nova - UFRGS - DECIV

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