Momento de inércia de seções

Momento de inércia de seções

(Parte 1 de 3)

D-1

Apendice D

Propriedades Geometricas de Secoes Transversais

D.1 Momento Estatico

Considere uma superfıcie plana de area A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano mostrados na Figura D.1. Seja dA um elemento diferencial de area da superfıcie, o qual esta genericamente posicionado com relacao ao sistema de referencia adotado.

Figura D.1: Elemento de area dA numa area plana A.

Define-se o momento estatico de um elemento de area dA com relacao aos eixos x e y, respectivamente, como dMsx = ydA, (D.1) dMsy = xdA. (D.2)

Por sua vez, o momento estatico ou momento de primeira ordem da area A com relacao aos eixos x e y sao obtidos somando-se a contribuicao dos momentos estaticos de cada elemento diferencial dA da secao. Logo, os momentos estaticos sao dados pelas seguintes integrais

A ydA, (D.3)

A xdA. (D.4)

Supondo que as dimensoes da secao estejam indicadas em cm, a unidade dos momento estaticos Msx e Msy sao cm3.

D.2. Centro de Gravidade D-2

Exemplo D.1 Determinar os momentos estaticos Msx e Msy para a superfıcie ilustrada na Figura D.2(a).

(a) Sistema de referencia na base. (b) Sistema de referencia no CG.

Figura D.2: Elementos de area numa secao retangular.

Inicialmente, calcula-se o momento estatico em relacao ao eixo x. Para isso, utiliza-se (D.1) com o elemento de area dA = bdy ilustrado na Figura D.2(a). A partir da expressao (D.1) vem que

A ydA = b ydy = b bh2

O momento estatico Msy e obtido empregando (D.2) com o elemento de area dA = bdx.L ogo

A xdA = h hb2

Exemplo D.2 Determinar os momentos estaticos Msx e Msy do retangulo da Figura D.2(b) em relacao aos eixos x e y que passam ao longo do centro de gravidade da secao.

O procedimento ea nalogo ao do exemplo anterior devendo-se mudar apenas os limites de integracao. Portanto

A ydA = b ydy = b

A xdA = h

Assim, os momentos estaticos em relacao aos eixos que passam pelo centro de gravidade sao nulos.

D.2 Centro de Gravidade

O centro de gravidade de uma superfıcie plana de area A ilustrada na Figura D.2 e definido como sendo op onto CG de coordenadas xG e yG dadas por xG = MsyA

, (D.9) yG = MsxA

, (D.10)

D.2. Centro de Gravidade D-3 sendo Msx e Msy os momentos estaticos da superfıcie com relacao aos eixo x e y, respectivamente, e A e area da secao transversal.

Figura D.3: Centro de gravidade de uma area plana.

Dada uma superfıcie plana de area A, adota-se o seguinte procedimento para determinar o seu centro de gravidade:

1. Escolhe-se um sistema de referencia conveniente para o calculo do CG. Por exemplo, se a superfıcie es imetrica, deve-se colocar o sistema de referencia ao longo da simetria.

2. Calculam-se os momentos estaticos Msx = ∫

AydA e Msy = ∫ AxdA.

3. Determinam-se as coordenadas do centro de gravidade xG =

MsyA e yG = MsxA

Exemplo D.3 Determinar o centro de gravidade da superfıcie da Figura D.2(a).

Neste caso, os dois primeiros passos do procedimento anterior ja foram efetuados no exemplo D.1. Adotou-se o sistema de coordenadas xy conforme ilustrado na Figura D.2(a) e calcularam-se os momentos estaticos Msx e Msy. Lembrando que a area do retangulo e A = bh, basta agora empregar as equacoes (D.9) e (D.10) para obter as coordenadas (xG,yG) do centro de gravidade. Logo, xG = MsyA hb2

yG = MsxA bh2

Pode-se calcular os momento estaticos Msx e Msy ap artir dad efinicao do centro de gravidade dada em (D.9) e (D.10) conforme ilustrado na Figura D.2. Para isso, considere uma superfıcie plana de area A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano. Supondo que se conheca previamente a posicao do seu centro de gravidade, calculam-se Msx e Msy a partir de (D.9) e (D.10) como

Msy = AxG, (D.1) Msx = AyG. (D.12)

Logo, a seguinte definicao ev alida: o momento estatico de uma superfıcie de area A com relacao a um eixo qualquer de seu plano e igual ao produto da area A da superfıcie pela distancia do seu centro de

D.2. Centro de Gravidade D-4 gravidade ao eixo de interesse. Por exemplo, tomando-se o retangulo da Figura D.4, os momentos estaticos

Msx e Msy sao dados pelo produto da area A = bh do retangulo, respectivamente, pelas distancias c+ h e a+ h

2 do centro de gravidade do retangulo aos eixos x e y,o us eja,

Figura D.4: Calculo do momento estatico a partir da definicao do centor de gravidade.

Uma propriedade do momento estatico ea seguinte: o momento estatico de uma superfıcie com relacao a um eixo que passa pelo seu centro de gravidade eze ro,ei nversamente seo momentoe statico de uma superfıcie com relacao a um eixo e zero, este eixo passa pelo seu centro de gravidade. Esta propriedade esta ilustrada na Figura D.5 para as duas superfıcies. Para a area da Figura D.5(a), o eixo r passa pelo CG e o momento estatico em relacao a r sera nulo, ou seja,

No caso da superfıcie da Figura D.5(b), os momentos estaticos em relacao aos eixos r e t serao dados pelo produto da area A pelas respectivas distancias dr e dt do CG da area aos eixos r e t. Portanto,

Msr = Adr, Mst = Adt.

Por sua vez, como o eixo u passa pelo CG da secao, o momento estatico em relacao a exte eixo en ulo, isto e, Msu =0 .

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