Baixe Exercícios resolvidos lógica e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! A Arte de Pensar 11.° ano Caderno do Estudante Exercícios de lógica Aires Almeida ⋅ Célia Teixeira Desidério Murcho ⋅ Paula Mateus ⋅ Pedro Galvão Centro para o Ensino da Filosofia Sociedade Portuguesa de Filosofia Didáctica Editora Introdução Questões de Revisão 5 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Introdução Questões de revisão Ao longo do manual A Arte de Pensar — 11.o ano encontram-se dois tipos de exercícios: Questões de Revisão e Problemas. Como o nome indica, o primeiro grupo de exercícios visa apenas rever a matéria dada. Para respon- der a este grupo de exercícios basta estudar com atenção a secção relevante do manual. Por exemplo, na secção 1.1. do Capítulo 1, a Questão de Revisão 1 per- gunta o seguinte: «O que é uma proposição? Define e dá exemplos.» Ora, na secção 1.1. encontra-se a seguinte definição de proposição: «Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente». E encon- tram-se também vários exemplos de frases que não exprimem proposições; os exemplos de frases que exprimem proposições são fáceis de descobrir: «A neve é azul», «Matar pessoas inocentes por prazer é mau», «Sócrates era suíço», etc. Assim, uma resposta correcta à Questão de Revisão 1 é a seguin- te: Uma proposição é o pensamento literalmente expresso por uma frase declarativa. Por exemplo, as frases «A neve é azul», «Matar pessoas ino- centes por prazer é mau» e «Sócrates era suíço» exprimem proposições. Já as frases «Fecha a janela!», «Quem me dera que fosse Domingo!» e «Prometo que amanhã vamos ao cinema» não exprimem proposições. Como se vê, não é difícil apresentar uma boa resposta. O fundamental está explicado no próprio manual, e mesmo que não esteja lá exactamente tudo o que é necessário para responder, é fácil descobrir o resto pensando um pouco. Já os Problemas são mais difíceis; mas é ao responder aos Problemas que ganhamos uma compreensão mais global e profunda da matéria dada. No final deste caderno veremos melhor a natureza dos Problemas, o que os distingue das Questões de revisão e como se responde correctamente aos Problemas. Para já, vamos ver como se resolvem exercícios de lógica. 6 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Capítulo 1 Lógica aristotélica No Capítulo 1 do manual, pode-se optar pela secção 3 (lógica aristotélica) ou 4 (lógica proposicional). Assim, é necessário saber qual das duas opções será escolhida antes de fazer os exercícios deste caderno. Neste capítulo apresentam-se exercícios relativos à lógica aristotélica (secção 3 do manual); no capítulo seguinte apresentam-se exercícios relativos à lógica proposicional (secção 4 do manual). 1. Teoria do silogismo Na secção 3.2. do Capítulo 1 do manual há dois tipos de exercícios. Ou nos é pedido para determinar a validade silogística de um silogismo dado, ou nos é pedido para apresentar silogismos válidos cujas premissas tenham as formas lógicas dadas. Nesta secção vamos começar por dar exemplos de como se resolvem estes dois tipos de exercícios. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 3.2. Questão de revisão 1.1. O argumento é um silogismo válido porque não viola qualquer das regras do silogismo válido: 1) O silogismo tem exactamente três termos: «O que os artistas fazem» (termo médio), «belo» (termo maior) e «arte» (termo menor). 2) O termo médio está distribuído pelo menos uma vez, na premissa menor. 3) O único termo que está distribuído na conclusão é o termo maior, e está também distribuído na premissa maior. 4) O silogismo não tem duas premissas negativas: a menor é afirmativa. 5) O silogismo não tem duas premissas particulares: a menor é universal. 6) O silogismo não tem duas premissas afirmativas. Capítulo 1 Lógica Aristotélica 7 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 7) A conclusão segue a parte mais fraca: é negativa e particular, tal como a premissa maior. Questão de revisão 1.3. O argumento é um silogismo inválido porque: 1) O termo médio («verdades») não está distribuído em qualquer das premis- sas, o que viola a Regra 2. 2) As duas premissas são particulares, o que viola a Regra 5. Questão de revisão 1.5. O argumento é um silogismo inválido porque viola a Regra 7: a conclusão não segue a parte mais fraca, dado que uma das premissas é negativa mas a conclusão é afirmativa. Note-se que, do ponto de vista estritamente lógico, basta que um dado silogismo viole uma das regras para ser inválido. Assim, de um ponto de vista estritamente lógico, a resposta à Questão de Revisão 1.3. poderia limitar-se a mostrar que o silogismo é inválido porque viola a Regra 2. Contudo, para efeitos de completude, costuma-se apresentar todas as regras que um dado silogismo inválido viola. Vejamos agora como se resolvem exercícios de outro tipo: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 3.2. Questão de revisão 2.1. Alguns artistas não são geniais. Todos os artistas são pessoas criativas. Logo, algumas pessoas criativas não são geniais. Sendo A «artistas», B «geniais» e C «pessoas criativas», as premissas deste silogismo têm a forma dada: a premissa maior é da forma «Alguns A não são B» e a menor é da forma «Todos os A são C». O silogismo é válido porque não viola regra alguma da validade silogística: 1) O silogismo tem exactamente três termos. 2) O termo médio («artistas») está distribuído na premissa menor. 3) O único termo que ocorre distribuído na conclusão é o termo maior («geniais»), e este termo ocorre igualmente distribuído na premissa maior. 10 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 3.2. 1. Determina a validade silogística das seguintes formas: 1) Todo o A é B. Todo o A é C. Logo, algum C não é B. 2) Algum A não é B. Todo o A é C. Logo, algum C é B. 3) Todo o A é B. Algum A não é C. Logo, algum C é B. 4) Nenhum A é B. Todo o A é C. Logo, algum C é B. 5) Algum A é B. Todo o A é C. Logo, algum C não é B. 6) Nenhum A é B. Algum A não é C. Logo, algum C é B. 7) Nenhum A é B. Todo o C é A. Logo, nenhum C é B. 8) Nenhum A é B. Todo o C é A. Logo, algum C é B. 9) Todo o A é B. Algum C não é A. Logo, algum C é B. 10) Nenhum A é B. Algum C é A. Logo, algum C é B. 11) Nenhum A é B. Todo o C é B. Logo, nenhum C é A. 12) Nenhum A é B. Todo o C é B. Logo, algum C é A. 13) Todo o A é B. Nenhum C é B. Logo, nenhum C é A. 14) Todo o A é B. Nenhum C é B. Logo, algum C é A. 15) Nenhum A é B. Algum C não é B. Logo, algum C é A. 16) Todo o A é B. Algum C é B. Logo, algum C não é A. 2. Apresenta formas silogísticas válidas partindo de premissas com as seguin- tes formas: 1) Todo o A é B. Todo o A é C. 2) Algum A é B. 7) Todo o A é B. Todo o B é C. 8) Todo o A é B. Capítulo 1 Lógica Aristotélica 11 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Todo o A é C. 3) Todo o A é B. Algum A é C. 4) Nenhum A é B. Todo o A é C. 5) Algum A não é B. Todo o A é C. 6) Nenhum A é B. Algum A é C. Nenhum B é C. 9) Todo o A é B. Nenhum B é C. 10) Algum A é B. Todo o B é C. 11) Nenhum A é B. Todo B é C. 12) Nenhum A é B. Algum B é C. 3. Tome-se as seguintes formas: 1) Algum A é B. 2) Algum A não é B. 3) Nenhum A é B. Para cada uma das formas dadas, apresenta quatro formas silogísticas válidas diferentes que tenham essa forma como conclusão. 4. Tome-se as seguintes proposições: 1) Nenhum mal é uma ilusão. Nenhum sofrimento é real. 2) Nenhum mal é uma ilusão. Algumas ilusões são perigosas. 3) Todo o mal é uma ilusão. Toda a ilusão é irreal. 4) Todo o mal é uma ilusão. Algumas ilusões não são perigosas. 5) Nenhum mal é uma ilusão. Nenhum mal é eterno. 6) Nenhum mal é uma ilusão. Alguns males são eternos. 7) Alguns bens são ilusórios. Algumas ilusões são perigosas. 8) Alguns bens são ilusórios. Nenhuma ilusão é perigosa. 9) Algumas ilusões são um mal. Alguns males são ilusões. Para cada par de proposições dadas, determina se é possível construir um silogismo válido que tenha essas proposições como premissas. Justifica a resposta. Na lógica silogística há apenas vinte e quatro formas consideradas válidas. É útil dispor da lista completa dessas formas, a fim de verificar as soluções de alguns exercícios. 12 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. FORMAS SILOGÍSTICAS VÁLIDAS Todo o A é B. Todo o C é A. Logo, todo o C é B. Todo o A é B. Todo o C é A. Logo, algum C é B. Nenhum A é B. Todo o C é A. Logo, nenhum C é B. Nenhum A é B. Todo o C é A. Logo, algum C não é B. Todo o A é B. Algum C é A. Logo, algum C é B. Nenhum A é B. Algum C é A. Logo, algum C não é B. Nenhum A é B. Todo o C é B. Logo, nenhum C é A. Nenhum A é B. Todo o C é B. Logo, algum C não é A. Todo o A é B. Nenhum C é B. Logo, nenhum C é A. Todo o A é B. Nenhum C é B. Logo, algum C não é A. Nenhum A é B. Todo o A é B. Todo o A é C. Logo, algum C é B. Algum A é B. Todo o A é C. Logo, algum C é B. Todo o A é B. Algum A é C. Logo, algum C é B. Nenhum A é B. Todo o A é C. Logo, algum C não é B. Algum A não é B. Todo o A é C. Logo, algum C não é B. Nenhum A é B. Algum A é C. Logo, algum C não é B. Todo o A é B. Todo o B é C. Logo, algum C é A. Todo o A é B. Nenhum B é C. Logo, nenhum C é A. Todo o A é B. Nenhum B é C. Logo, algum C não é A. Algum A é B. Todo o B é C. Logo, algum C é A. Nenhum A é B. Capítulo 2 Lógica proposicional 15 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Capítulo 2 Lógica proposicional Neste capítulo apresentam-se exercícios relativos à lógica proposicional (secção 4 do Capítulo 1 do manual). 1. Cinco conectivas EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.3. Questão de revisão 1.1. Admitindo que a vida não tem sentido, a frase «A vida tem sentido e a felicidade é real» é falsa porque numa conjunção basta que uma das frases conjuntas seja falsa para que toda a conjunção seja falsa. Questão de revisão 3.2. Admitindo que Deus existe e que não sabemos se a vida tem sentido, não é possível saber se a frase dada é verdadeira ou falsa porque o seu valor de verdade depende do valor de verdade da sua consequente («A vida tem senti- do»): se a sua consequente for verdadeira, a frase dada será verdadeira; se a sua consequente for falsa, a frase dada será falsa. Problema 2 A tabela de verdade da negação tem exactamente duas filas porque é uma conectiva unária (aplica-se a uma única proposição) e porque só se usa dois valores de verdade na lógica clássica. Assim, a combinação lógica exaus- tiva de condições de verdade esgota-se em duas filas: ou P é verdadeira ou P é falsa. 16 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 4.3. 1. Considere-se a seguinte frase: «Deus é omnipotente ou omnisciente». 1) Considerando que Deus não é omnipotente, será possível saber qual é o valor de verdade da frase dada? Porquê? 2) Considerando que Deus é omnipotente, qual é o valor de verdade da frase dada? 3) Considerando que Deus não é omnipotente nem omnisciente, qual é o valor de verdade da frase dada? 2. Considerando que P simboliza «A vida é sagrada» e Q simboliza «O aborto é um mal», qual é o significado das expressões seguintes? 1) P 6) Q 11) Q → Q 2) P → Q 7) Q → P 12) P ∧ P 3) P ∧ Q 8) Q ∧ P 13) Q ∨ Q 4) P ∨ Q 9) Q ∨ P 14) P ↔ P 5) P ↔ Q 10) Q ↔ P 3. Considerando que P é falsa e Q verdadeira, qual é o valor de verdade das 14 expressões anteriores? 4. Se desconhecermos o valor de verdade de P, mas soubermos que Q é falsa, que expressões do exercício 2 podemos determinar como verdadei- ras ou falsas? Porquê? 5. Se desconhecermos o valor de verdade de P e de Q, que expressões do exercício 2 podemos determinar como verdadeiras ou falsas? Porquê? 6. Formaliza as seguintes afirmações na lógica proposicional: 1) Zeus existe. 2) Zeus e Cronos existem. 3) Se Sócrates era grego, Platão também o era. 4) O conhecimento é ilusório ou os cépticos estão enganados. 5) O conhecimento não é ilusório. 6) A arte tem valor se, e só se, tem valor cognitivo. Note-se que, ao formalizar uma afirmação como «Zeus e Cronos existem», temos de ter em conta que na linguagem corrente nós eliminamos muitas repetições desnecessárias. A frase quer dizer «Zeus existe e Cronos existe» e Capítulo 2 Lógica proposicional 17 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. formaliza-se como «P ∧ Q» sendo P «Zeus existe» e Q «Cronos existe». É por isso um erro formalizar apenas como «P». O mesmo tipo de fenómeno da linguagem corrente ocorre com «Se Sócra- tes era grego, Platão também o era». Esta frase é evidentemente uma forma abreviada de dizer «Se Sócrates era grego, então Platão era grego» — e por isso formaliza-se como «P → Q». Ao formalizar afirmações temos de estar atentos às conectivas proposicio- nais e completar frases que foram abreviadas. Formalizar «Zeus e Cronos existem» como «P» é um erro. 2. Inspectores de circunstâncias EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.4. Questão de revisão 1.2. P Q P ∨ Q, ¬P Q V V V F V V F V F F F V V V V F F F V F A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que as duas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Questão de revisão 1.4. P Q P → Q Q ∧ P V V V V V F F F F V V F F F V F A forma dada é inválida porque tanto na circunstância em que P é falsa e Q verdadeira como na circunstância em que tanto P como Q são falsas, a premissa é verdadeira e a conclusão falsa. 20 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 1) Se o mal existe, a vida é absurda. Se a vida é absurda, o mal existe. Logo, a vida é absurda se, e só se, o mal existe. 2) Deus existe. Se Deus existe, o aborto é um mal. Logo, o aborto não é permissível. 3) Se Sócrates tem razão, a vida por examinar é absurda. Sócrates tem razão. Logo, a vida por examinar é absurda. 4) Sócrates era grego. Kant não era grego. Logo, Deus existe. 5) A Justiça é possível se, e só se, Platão tiver razão. Platão tem razão. Logo, a Justiça é possível. 3. Argumentos com três variáveis EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.5. Questão de revisão 1.1. P Q R P ∧ Q, P → R, Q → R R V V V V V V V V V F V F F F V F V F V V V V F F F F V F F V V F V V V F V F F V F F F F V F V V V F F F F V V F A forma dada é válida porque não há circunstâncias em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Capítulo 2 Lógica proposicional 21 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Questão de revisão 1.3. P Q R P ↔ Q, Q ↔ R P ↔ R V V V V V V V V F V F F V F V F F V V F F F V F F V V F V F F V F F F V F F V V F F F F F V V V A forma dada é válida porque não há circunstâncias em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Questão de revisão 1.5. P Q R P ∧ Q, R Q → R V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F F V F V V F V V F V F F F F F F V F V V F F F F F V A forma dada é válida porque não há circunstâncias em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 4.5. 1. Testa a validade das seguintes formas recorrendo a inspectores de cir- cunstâncias: 1) P ∨ Q, P → R, Q → R R 2) P → Q, Q → R R → P 3) P ↔ Q, Q ↔ R R ↔ P 4) P ∨ R Q → P 5) P ∧ Q, R R → Q 7) P ∧ Q, P ∧ R, Q → R R 8) P → Q, Q → R P ∧ R 9) P ↔ Q, Q ↔ R P ∨ R 10) P ∨ R, Q Q → P 11) P → Q, R Q → R 22 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 6) P → Q R ∨ Q 12) P → Q, R R → Q 4. O âmbito das conectivas EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.6. Questão de revisão 1.2. P Q ¬(P ∧ Q) ¬P ∨ ¬Q V V F V F F F V F V F F V V F V V F V V F F F V F V V V A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Questão de revisão 1.4. P Q ¬(P → Q) P ∧ ¬Q V V F V V F F V F V F V V V F V F V F F F F F F V F F V A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Questão de revisão 1.6. P Q P → Q ¬P ∨ Q V V V F V V V F F F F F F V V V V V F F V V V F A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Questão de revisão 3.1. Capítulo 2 Lógica proposicional 25 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Q: Amanhã leio um livro. R: Amanhã vou ao cinema. 1. (P ∨ Q) ∧ R 2. P ∨ (Q ∧ R) As ambiguidades de âmbito levantam um problema: como podemos saber qual das duas interpretações é a correcta, ao formalizar um argumento? A resposta é que não há qualquer método automático que garanta que esco- lhemos a interpretação correcta. Mas devemos seguir a seguinte estratégia: 1. Começamos por formalizar as duas ou mais interpretações possíveis. 2. Procuramos determinar que interpretação é necessária para tornar o argumento válido. 3. Procuramos determinar que interpretação é necessária para tornar as afirmações em causa mais plausíveis. Retomemos a afirmação dada como exemplo, e coloquemos a afirmação num contexto argumentativo: Amanhã vou à praia ou leio um livro e vou ao cinema. Se for ao cinema, tenho de telefonar à Paula. Logo, tenho de telefonar à Paula. Neste contexto, a única interpretação que torna o argumento válido é a 1. Por isso, é razoável interpretar a primeira premissa dessa maneira. E como sabemos que a única interpretação que torna o argumento válido é a 1? Formalizamos o argumento das duas maneiras e determinamos qual deles é válido. Sendo S «Tenho de telefonar à Paula», as duas formalizações são as seguintes: 1. (P ∨ Q) ∧ R, R → S S 2. P ∨ (Q ∧ R), R → S S Para testar a validade das formas dadas tanto podemos fazer dois inspec- tores de circunstâncias como podemos usar o teste rápido de validade. Por vezes, nenhuma das interpretações torna o argumento em causa válido; ou ambas as interpretações tornam o argumento válido; ou até pode- mos querer conhecer a forma lógica de uma dada afirmação que não foi proferida num contexto argumentativo. Nesse caso, temos de nos guiar pela interpretação mais plausível, dado o restante conhecimento das coisas. 26 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Vejamos um exemplo: «Deus existe e o mal é uma ilusão ou os teístas estão enganados». Esta afirmação é ambígua; pode exprimir qualquer uma de duas proposições diferentes. Vejamos quais. Interpretação P: Deus existe. Q: O mal é uma ilusão. R: Os teístas estão enganados. 1. (P ∧ Q) ∨ R 2. P ∧ (Q ∨ R) Dado o conteúdo das afirmações e dado o nosso conhecimento filosófico geral, a interpretação 2 é menos plausível do que a 1. Isto porque faz mais sentido pensar que há uma alternativa entre a hipótese de Deus existir e o mal ser uma ilusão, por um lado, e o engano dos teístas, por outro, do que pensar que há uma conjunção entre a existência de Deus e a alternativa entre a ilusão do mal e o engano dos teístas. Por vezes, não há qualquer ambiguidade nas afirmações dos argumentos que queremos formalizar, mas cometemos erros de falta de atenção ao âmbi- to. Vejamos o seguinte exemplo: «Se Deus existe e o mal é uma ilusão, então os teístas estão enganados». A formalização correcta desta afirmação é a seguinte: Interpretação P: Deus existe. Q: O mal é uma ilusão. R: Os teístas estão enganados. Formalização (P ∧ Q) → R Assim, é um erro formalizar como se segue: P ∧ (Q → R) Esta forma lógica não corresponde à afirmação dada, mas antes à afirma- ção «Deus existe e se o mal é uma ilusão, então os teístas estão enganados». Como se vê, esta afirmação é muito diferente da anterior. Capítulo 2 Lógica proposicional 27 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Eis mais um exemplo: «Não é verdade que se Deus existe, a vida faz sen- tido». A formalização correcta, atribuindo as variáveis apropriadamente, é «¬(P → Q)», pois o que se está a negar é a própria condicional e não apenas a sua antecedente. A formalização «¬P → Q» é incorrecta porque corresponde à afirmação «Se não é verdade que Deus existe, a vida faz sentido». Como é evidente, esta afirmação é muito diferente da anterior. As proposições compostas podem tornar-se muito complexas. Eis um exemplo: «Não é verdade que a vida faz sentido se, e só se, Deus não existe e os teístas estão enganados». Dado o conteúdo da afirmação, a forma lógica correcta é a seguinte: Interpretação P: A vida faz sentido. Q: Deus existe. R: Os teístas estão enganados. Forma lógica ¬[P ↔ (¬Q ∧ R)] Dado o conteúdo da afirmação, as seguintes alternativas não são correc- tas: ¬P ↔ (¬Q ∧ R) ¬(P ↔ ¬Q) ∧ R EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 4.6. 1. Formaliza as afirmações seguintes. Caso contenham ambiguidades de âmbito explicita-as. 1) Deus existe e a vida é sagrada ou nada faz sentido. 2) Não é verdade que se Deus existe e é sumamente bom, então a vida não faz sentido. 3) Se não é verdade que Deus existe e é sumamente bom, então a vida não faz sentido. 4) Não é verdade que a vida faz sentido se, e só se, Deus existe e os teístas estão enganados. 5) A vida não faz sentido se, e só se, Deus existe e os teístas estão enga- nados. 6) Se o conhecimento não for possível e tudo for uma ilusão, a filosofia é inútil. 30 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. A ordem pela qual fomos atribuindo os valores de verdade está represen- tada pelos números entre parênteses. Estes números não se escrevem quando fazemos o exercício. Apliquemos a técnica a mais uma forma: P ∨ Q, P → R, Q → R R ∨ S F F F F F F F F Este método torna-se mais complexo quando há mais de uma circunstân- cia em que a conclusão é falsa. Nesse caso, temos de explorar essas circuns- tâncias todas para verificar se em alguma delas as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Vejamos um exemplo: P ∨ Q, P → R, Q → R R ↔ S 1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há duas circunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) quando R é V e S é F; II) quando R é F e S é V. Comecemos pela circunstância I. 2. Sendo R V, a segunda e terceira premissas são V independentemente do valor de verdade de P e Q. 3. Para que a primeira premissa seja V é necessário que P ou Q seja V. Ora, nós podemos atribuir V a P ou Q ou aos dois. Nesta circunstância, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. 4. Logo, a forma argumentativa é inválida e não é necessário explorar a circunstância II. Vejamos outro exemplo: P → Q, Q → R P ∧ R 1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há 3 cir- cunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) P é F e R é V; II) P é V e R é F; III) tanto P como R são F. Comecemos por I. 2. A falsidade de P garante a verdade da primeira premissa. 3. A verdade de R garante a verdade da segunda premissa. 4. Nesta circunstância, as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. 5. Logo, a forma argumentativa é inválida e não é necessário explorar as circunstâncias II e III. Finalmente, vejamos este exemplo: P → Q, Q → P P ↔ Q 1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há 2 cir- Capítulo 2 Lógica proposicional 31 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. cunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) P é V e Q é F; II) P é F e Q é V. Comecemos por I. 2. A primeira premissa é falsa, dado que P é V e Q F. Logo, na circuns- tância I não se dá o caso de as premissas serem V e a conclusão F. Temos de explorar a circunstância II. 3. Na circunstância II, a segunda premissa é falsa, dado que Q é V e P é F. 4. Logo, a forma argumentativa é válida, dado que não há qualquer cir- cunstância na qual as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Exercícios: Usando este método, testa a validade das formas apresenta- das nos exercícios complementares da secção anterior. 6. Variáveis de fórmula EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.7. Questão de revisão 1.2. Trata-se de uma contraposição: A → B Logo, ¬B → ¬A A = (P ∨ R) B = ¬(Q ∨ P) Questão de revisão 1.4. Trata-se de um modus ponens: A → B A Logo, B A = ¬P B = Q 32 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 4.7. 1. Tendo em mente o quadro da secção 4.7. do manual, identifica as seguin- tes formas lógicas: 1) ¬[P → (Q ∨ R)] Logo, P ∧ ¬(Q ∨ R) 2) (P ↔ Q) → (R ∧ S) R ∧ S Logo, P ↔ Q 3) ¬(¬P → ¬Q) Logo, ¬P ∧ ¬¬Q 4) ¬(P ∧ Q) → (R ∨ S) ¬(P ∧ Q) Logo, R ∨ S 7. Formalização A formalização é um dos aspectos mais importantes do estudo da lógica, entendida como instrumento do pensamento correcto. Pois para poder aplicar os instrumentos lógicos de análise de argumentos é necessário primeiro for- malizar os argumentos tal como estes ocorrem no dia-a-dia, nos livros, nos ensaios dos filósofos, etc. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.8. Questão de revisão 1.2. Se Deus existe, os seres humanos são apenas o resultado de um desígnio incompreensível. Se os seres humanos são apenas o resultado de um desígnio incompreensí- vel, a vida não faz sentido. Logo, se a vida faz sentido, Deus não existe. Questão de revisão 2.1. Alguém duvida que a nossa vida seja uma ilusão? É que, no que respeita ao livre-arbítrio, só há duas alternativas: ou é realmente possível ou a nossa vida é uma completa ilusão. Não há receitas automáticas para formalizar adequadamente um dado conjunto de afirmações ou argumentos. E há cinco aspectos que dificultam a formalização: Capítulo 2 Lógica proposicional 35 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. livro» tem de ser interpretada como uma forma económica de dizer «Dou-te um livro se, e só se, te portares bem». Evidentemente, este processo é complexo, exige um domínio razoável da lógica elementar e uma forte intuição lógica. Não é isto que se exige neste manual, mas é bom ter consciência de que o que estamos a estudar agora são as bases para que, no futuro, se possa fazer isto. Para ajudar a dar os primeiros passos, os exercícios do manual, tal como os exercícios complementares que apresentamos a seguir, são versões muito simplificadas de formalizações. São simplificadas porque os argumentos dados para formalizar já estão semi-formalizados. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 4.8. 1. Reescreve os argumentos seguintes na forma canónica: 1) A arte é a criação de um artista. A criação de um artista é a expressão das emoções. Logo, a arte é a expressão das emoções. 2) Quem precisa do estado? Se o estado fosse útil, não haveria guerras entre todos. Mas desde que se criaram os primeiros estados que as guerras não cessam. 3) Não é verdade que uma condição necessária para haver inteligência é ter cérebro. Ter cérebro não é sequer uma condição suficiente para ter inteligência. Portanto, qual é o problema de afirmar que os com- putadores um dia serão inteligentes? 4) Uma condição suficiente para ter direito à vida é querer viver. Ora, um feto não quer viver, porque não é consciente. Logo, os fetos não têm direito à vida. 5) A acção é, por natureza, egoísta. Ou agimos porque temos interesse em fazer o que estamos a fazer, ou não o fazemos. Se não temos inte- resse no que estamos a fazer, não agimos. 6) Uma decisão sobre um assunto qualquer nunca pode ser a melhor a menos que seja tomada por quem tem conhecimento de causa. Numa democracia, as decisões não são tomadas por quem tem conhecimento de causa. É por isso que defendo que a democracia é irracional. 7) Tanto Sócrates como Platão eram atenienses. Sócrates era grego se era ateniense. E Platão também. Portanto, tanto Sócrates como Pla- tão eram gregos. 36 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 2. Os argumentos seguintes estão na forma canónica; reescreve-os de uma maneira mais natural. 1) Ou a vida não é sagrada ou o aborto é permissível. O aborto não é permissível. Logo, a vida é sagrada. 2) Se Sócrates era ateniense, era grego. Se Sócrates era grego, não era português. Sócrates era ateniense. Logo, Sócrates não era português. 3) A argumentação lógica não serve para nada. Se a argumentação lógica não serve para nada, não vale a pena estu- dar lógica. Não vale a pena estudar filosofia. Logo, não vale a pena estudar lógica nem filosofia. 8. Derivações Esta secção do manual é opcional. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 4.9. Questão de revisão 1.1. 1. P ∧ Q Premissa 2. P 1, elim. da conjunção 3. P ∨ R 2, intro. da disjunção Questão de revisão 1.3. 1. P → (R ∨ S) Premissa 2. ¬R ∧ ¬S Premissa 3. ¬(R ∨ S) 2, De Morgan 4. ¬P 1, 3, modus tollens Questão de revisão 1.5. 1. ¬(¬P ∧ Q) Premissa Capítulo 2 Lógica proposicional 37 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 2. ¬P ∧ R Premissa 3. ¬¬P ∨ ¬Q 1, De Morgan 4. ¬P 2, elim. da conjunção 5. ¬Q 3, 4, silogismo disjuntivo Questão de revisão 2.2. 1. P ∨ Q Premissa 2. P → R Premissa 3. ¬R → ¬ Q Premissa 4. ¬R Premissa da redução 5. ¬P 2, 4, modus tollens 6. Q 1, 5, silogismo disjuntivo 7. ¬Q 3, 4, modus ponens 8. Q ∧ ¬Q 6, 7, intro. da conjunção 9. R 4, 8, redução ao absurdo Questão de revisão 2.4. 1. ¬(P ∨ Q) Premissa 2. ¬P → R Premissa 3. ¬R Premissa da redução 4. ¬¬P 2, 3, modus tollens 5. ¬P ∧ ¬Q 1, De Morgan 6. ¬P 5, elim. da conjunção 7. ¬¬P ∧ ¬P 4, 6, intro. da conjunção 8. R 3, 7, redução ao absurdo Questão de revisão 2.6. 1. ¬(P → Q) Premissa 2. P → ¬R Premissa 3. R Premissa da redução 4. P ∧ ¬Q 1, neg. da condicional 5. P 4, elim. da conjunção 6. ¬R 2, 5, modus ponens 7. R ∧ ¬R 3, 6, intro. da conjunção 8. ¬R 3, 7, redução ao absurdo A última derivação pode provocar a seguinte perplexidade: Por que razão não podemos parar no passo 6? Afinal, já tínhamos concluído nesse passo o que queríamos concluir: ¬R. Não podemos parar o passo 6 porque estamos a fazer uma demonstração por redução ao absurdo. E neste tipo de demonstrações temos primeiro de encontrar uma contradição (uma fórmula da forma «A ∨ ¬A»). É por isso que 40 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Questão de revisão 2.3. O argumento é falacioso; trata-se da falácia do apelo à ignorância. A ausência de prova não é prova de ausência: ainda que seja verdade que os melhores filósofos nunca conseguiram provar que há um mundo exterior, daí não se segue que o mundo exterior é uma ilusão. Por exemplo, antes de os melhores biólogos terem provado que há organismos invisíveis a olho nu, não deixaria de ser falacioso argumentar que, por causa disso, não há organismos invisíveis a olho nu. Logo, o argumento não nos oferece qualquer boa razão a favor da ideia de que não há mundo exterior. É importante compreender que se usa muitas vezes o termo «falácia» de um modo derivado e não literal. Literalmente, uma falácia é um argumento inválido que parece válido. Mas a falácia do falso dilema, por exemplo, ocor- re muitas vezes em argumentos válidos. E por vezes diz-se que uma dada premissa ou proposição é falaciosa. Contudo, literalmente, só os argumentos podem ser falaciosos. As premissas ou proposições só podem ser verdadeiras ou falsas. Quando usamos esta forma de expressão o termo «falácia» tem um significado derivado; significa apenas que a premissa ou proposição é falsa, apesar de parecer verdadeira, e que está a ser usada num argumento como se fosse verdadeira. O resultado é um argumento que parece sólido mas não é, apesar de ser válido. E um argumento válido mas que não é sólido não apre- senta boas razões a favor da sua conclusão. Quando detectamos uma falácia, o importante é compreender por que razão se trata de um argumento que não apresenta boas razões em defesa da sua conclusão. Quando apresentamos um argumento, temos de nos perguntar até que ponto as premissas são boas razões a favor da nossa conclusão. Um argumento pode ser parecido com uma falácia informal e no entanto não ser falacioso. Tomemos o exemplo do apelo à misericórdia. Poderia pen- sar-se que o seguinte argumento é falacioso por ser um apelo à misericórdia: Se não me ajudares atirando-me uma bóia, vou morrer afogado. Logo, deves atirar-me uma bóia. Este argumento é muito semelhante ao seguinte: Se não me ajudar dando-me positiva, vou chumbar. Logo, deve dar-me positiva. O segundo é falacioso, mas o primeiro não é. O facto de alguém se estar a afogar é uma boa razão para lhe atirar uma bóia; mas o facto de alguém chumbar não é uma boa razão para lhe dar positiva. Porquê? Porque dar positivas ou negativas é algo que deve unicamente responder ao desempenho Capítulo 3 Falácias Iniformais 41 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. escolar do estudante, e não ao facto de isso ajudar ou deixar de ajudar o estudante em causa. Ao passo que atirar uma bóia a alguém é algo que res- ponde, precisamente, a situações de emergência, como quando alguém se está a afogar. Se um argumento invocar razões irrelevantes para a conclusão que pre- tende estabelecer, é falacioso. Pois nesse caso as premissas não nos dão boas razões para aceitar a conclusão. Avaliar um argumento é perguntar se as premissas nos dão boas razões para aceitar a conclusão. Se a resposta for negativa, o argumento deve ser recusado. Note-se, contudo, que um argumento falacioso pode ter uma conclusão verdadeira. Provar que um argumento é falacioso não é equivalente a provar que a conclusão desse argumento é falsa; é apenas provar que esse argumen- to não nos dá boas razões a favor da conclusão — mas pode haver outros argumentos que nos dêem boas razões a favor daquela conclusão. Isto é muito fácil de ver no seguinte exemplo: A neve é branca. Logo, Sócrates era um filósofo. Este argumento não nos dá boas razões para aceitar a sua conclusão. Mas daqui não se segue que a conclusão é falsa. A conclusão é, de facto, verda- deira — porque há outros argumentos que nos dão boas razões a favor desta conclusão. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 2.2. 1. Avalia, comparativamente, os seguintes pares de argumentos: 1) Se legalizarmos as drogas, toda a gente poderá drogar-se. Se toda a gente puder drogar-se, acabaremos na mais completa barbá- rie. Logo, se legalizarmos as drogas, acabaremos na mais completa barbá- rie. 1*) Se Sócrates era ateniense, era grego. Se era grego, não era egípcio. Logo, se Sócrates era ateniense, não era egípcio. 2) A vida é sagrada. Se a vida é sagrada, o aborto é um assassínio. Logo, o aborto é um assassínio. 2*) O aborto é um assassínio. Logo, não deve ser permitido. 42 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 3) Mais de 90% da população humana acredita num qualquer tipo de Deus. Logo, Deus existe. 3*) Mais de 90% das pessoas acreditam que existem. Logo, essas pessoas existem. 4) Ou podemos conhecer tudo ou não podemos conhecer nada. Mas não podemos conhecer tudo. Logo, não podemos conhecer nada. 4*) Ou existo ou não existo. Mas não é verdade que eu não existo. Logo, eu existo. Nota final Os problemas 45 Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. 2. Múltiplas respostas correctas Vejamos um exemplo: no Capítulo 2, secção 1.3., o Problema 1 pode ser respondido de maneiras muito diferentes. Tanto se pode concordar como discordar. Não é a concordância ou discordância que torna a resposta correc- ta ou errada. O que conta, nestes casos, é a justificação. Vejamos dois exemplos de respostas possíveis, igualmente correctas, mas que respondem de formas opostas: Concordo com o argumento dado porque se compararmos as duas hipóteses vemos que quando um orador é honesto há menos probabilida- de de ele nos estar a enganar e a conduzir ao erro. Imaginemos um ora- dor honesto, que está a dizer-nos o que genuinamente pensa. É verdade que ele pode estar a conduzir-nos ao erro porque ele próprio pode estar enganado. Mas a probabilidade de isto acontecer é menor do que no caso do orador desonesto. Pois neste último caso, à probabilidade normal de ele poder estar enganado soma-se a probabilidade de ele saber a verdade mas estar deliberadamente a enganar-nos porque isso lhe convém. Logo, sempre que um orador é honesto há mais razões para aceitar o que ele diz do que quando um orador é desonesto. Compare-se agora com outra resposta, igualmente correcta, mas oposta: Discordo do argumento dado porque se compararmos as duas hipóte- ses vemos que o facto de um orador ser honesto não é suficiente para que a probabilidade de ele nos enganar ser menor do que a de um orador desonesto. A falácia de pensar o contrário consiste em presumir que o orador desonesto é quase omnisciente: que, quando ele pensa que nos está a enganar, está realmente a enganar-nos. Mas isso é falso. Um ora- dor pode ser desonesto porque está a afirmar que é verdade o que ele pensa que é falso; mas ele pode estar enganado e o que ele pensa que é falso ser de facto verdadeiro. Portanto, tanto faz que um orador seja honesto como desonesto: a probabilidade de engano é sempre a mesma. É por isso que o que conta na argumentação é exclusivamente o valor dos próprios argumentos e não o carácter do orador. Como se vê, as duas respostas são opostas. Mas ambas estão correctas. Porquê? Porque ambas articulam os elementos essenciais necessários para uma resposta correcta; porque nenhuma delas comete falácias evidentes; porque ambas justificam de forma sólida e sóbria o que defendem. Assim, muitos dos problemas admitem mais de uma resposta correcta. Mas daqui não se segue que tudo é subjectivo e que se pode dizer tudo. Algumas respostas são erradas: 46 A Arte de Pensar Caderno do Estudante Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004. Concordo porque a probabilidade é menor e além disso quem nos quer enganar é porque está a dizer falsidades e portanto não devemos confiar nele. Esta resposta está errada porque não é articulada, não justifica o que defende, não revela qualquer reflexão pessoal e nem sequer uma compreen- são mínima da matéria dada. O facto de concordar é irrelevante. Se discor- dasse mas tivesse a mesma falta de articulação, justificação, reflexão e compreensão, a resposta estaria igualmente errada. 3. Actividades Muitos dos Problemas sugeridos podem e devem ser aproveitados para realizar diferentes tipos de actividades. Por exemplo, o Problema 2 da sec- ção 3 do Capítulo 2 é evidentemente uma actividade que implica a interac- ção entre estudantes. Mas muitos outros problemas podem e devem ser usa- dos para organizar actividades na sala de aula. Por exemplo, o Problema 1 da secção 2.2. do mesmo capítulo pode ser respondido por cada estudante indi- vidualmente, mas também pode e deve ser discutido na sala de aula. Discutir filosofia oralmente é um dos aspectos centrais do nosso estudo. E como se discute filosofia oralmente? Uma vez mais, não há receitas, tal como não há receitas para saber escrever boas respostas e bons ensaios. Mas há alguns elementos que nos ajudam a discutir melhor, muitos dos quais são exactamente os mesmos que nos ajudam a escrever melhor: ao discutir filoso- fia oralmente é necessário articular os elementos essenciais necessários para uma resposta correcta; não cometer falácias evidentes; procurar justificar de forma sólida e sóbria o que se defende; ouvir com atenção as ideias e objec- ções dos outros e responder-lhes adequadamente e sem ataques pessoais. Discutir ideias em filosofia é uma das experiências humanas mais ricas, com a qual se aprende imenso; é como entrar na cabeça das outras pessoas e ver o mundo a partir dos olhos delas; aprendemos a ver coisas que antes não víamos, e corrigimos mutuamente os nossos erros e distracções. Mas para que a discussão filosófica seja uma experiência enriquecedora é necessário enca- rá-la com seriedade, com o objectivo de descobrir a verdade, e não com o objectivo de «ganhar a discussão» ou de exibir superioridade perante os outros. Ensinar a fazer isto foi um dos objectivos que nos levaram a escrever este manual.