Analise matemática I

Analise matemática I

(Parte 1 de 3)

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3. INTEGRAL INDEFINIDO

Dada ][IRbaf→,: função derivável, definimos a sua função derivada

][)( ,,:xfxIRbag′→֏. Inversamente, dada uma função g, à função f tal que gf=′ chama-se primitiva de g ou integral indefinido de g. Utiliza-se frequentemente a seguinte notação:

A partícula dx não tem significado especial; indica apenas a variável independente relativamente à qual se está a primitivar. Vejamos os seguintes exemplos:

Se f é primitiva de g, então Cf+, onde IRC∈, também é uma primitiva de g, porque ()gfCf=′=′+ .

Por este motivo, escrevemos

+=∫ ln22 , sendo C uma constante real qualquer. Se hf′=′, em ][ba,, então existe uma constante IRC∈, tal que Cfh+=.

Notemos ainda que ∫+=′Cxfdxxf)()( e

Nem todas as funções possuem primitiva; sabemos, contudo, que se fé contínua em []ba,, então existe primitiva de f.

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Algumas primitivas imediatas

( ) uecu usen x xarcsen − u uarcsen u u α cx dxx α cu dxuu

5. cudx u a dxa x x ln a dxau u u ln

19. cuarcsendx u

Apontamentos Teórico-Práticos de Análise Matemática ECA, EA, EERC, EI e ESER 07/08 25 x xarctg + u uarctg cot x xgarc + u ugarc

′ cuarctgdx cot

′ cugarcdx u cot

26.cxdxxtg+−=∫cosln

Enumeremos ainda mais algumas regras de integração: 27. cudxutgu+−=′∫cosln 28. cxsendxxg+=∫ ln cot 29. cusendxugu+=′∫ ln cot arctgadx xa arctgadx ua x arcsendx u arcsendx

Propriedades das primitivas A. []∫∫∫±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()()(;

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Exercício: 1. Calcule as seguintes primitivas (IRba∈,):

x x∫ a x x ln xartgx xsenx xsenx cos

3.1 Integração por partes

Sejam )(xfu= e )(xgv= duas funções deriváveis definidas no intervalo ][ba,.

dxvuuvdxvu dxvudxvuuv dxvudxvudxuv

Em suma, da regra de derivação do produto de duas funções, decorre uma técnica de integração chamada integração por partes, que se enuncia do seguinte modo:

Se )(xfu= é primitivável e )(xgv= é derivável, então

dxvUUvdxuv∫∫′−=,∫=udxU.

Vejamos o seguinte exemplo de aplicação da integração por partes:

x x exe dxexedxxe

Apontamentos Teórico-Práticos de Análise Matemática ECA, EA, EERC, EI e ESER 07/08 27 onde xveux==,e xxedxeU==∫. Neste exemplo, ambas as funções ue v são facilmente primitiváveis (faça o mesmo cálculo considerando agora xevxu==,). A escolha da função a primitivar deve recair sobre aquela que menos se simplifica por derivação.

Exercício: 2. Calcule as seguintes primitivas, utilizando o método de integração por partes:

arcsenxx

3.2 Integração de funções racionais

Chama-se função racional a qualquer função da forma )( polinómios em x.

O cálculo de dx xD

)( realiza-se segundo as seguintes etapas:

1. Se o grau de )(xD é maior do que o grau de )(x , passamos para a etapa 2. Caso contrário, isto é, se )(deg)(degxDx ≥, procedemos à divisão de )(x por )(xD, obtendo um quociente )(xQ e um resto )(xR, tais que )()()()(xRxDxQx += xR xQ

Deste modo, dx xD xR dxxQdx

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2. Factorização do polinómio )(xD num produto de polinómios de 1º grau e/ou polinómios de 2º grau irredutíveis (i.e., sem raízes reais).

3. Decomposição da fracção )( xR numa soma de fracções mais simples, de acordo com as seguintes indicações determinadas pela factorização de )(xD.

da forma

A cada raiz β de )(xD de multiplicidade k correspondem k fracções simples

A cada factor da forma []k xλδ+−2)( (+∈IRλ) de )(xD, correspondem k

fracções simples da forma

xCBx xCB xR decompõe-se na soma de 123++ fracções simples, do seguinte modo, x xCBx xCBx xCBx AxAxA xD em que 321321321,,,,,,,,,CBA são constantes (únicas) que teremos de determinar, reduzindo o membro direito da identidade ao denominador comum )(xD, de modo a que a igualdade das duas fracções corresponda à igualdade dos respectivos numeradores.

4. Por fim, dxxFdxxFdxxFdxxQdx xD

)(,),(),(21xFxFxFn… são as fracções simples obtidas no passo anterior. Resta-nos, por conseguinte indicar como determinar a primitiva de cada uma das fracções simples, já que o integral do polinómio )(xQ é imediato.

No que diz respeito às fracções resultantes de raízes simples e múltiplas, facilmente vemos que

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1 sen

rA dx x A r r αα α

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