Os Principia de Newton

Os Principia de Newton

(Parte 1 de 4)

Vértice, 72, 61-68

Augusto J. Santos Fitas, 1996, Os Principia de Newton, alguns comentários (Primeira parte, a Axiomática),

Os Principia de Newton, alguns comentários (Primeira parte, a Axiomática)

Augusto J. Santos Fitas

1. Introdução

Isaac Newton (1642-1727), no prefácio da primeira edição dos

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, escreve: «(...) ofereço esta obra como os princípios matemáticos da filosofia, pois todo o tema da filosofia parece consistir no seguinte -- dos fenómenos do movimento investigar as forças da natureza e, então, destas forças demonstrar os outros fenómenos; e com este propósito são apresentadas as proposições gerais do primeiro e segundo livros. No terceiro livro dou um exemplo disto na explicação do Sistema do Mundo; pois, pelas proposições matematicamente demonstradas no primeiro livro, no terceiro eu derivo dos fenómenos celestes a força da gravidade através da qual os corpos são atraídos para o Sol e para diversos planetas. Então destas forças, usando outras proposições matemáticas, deduzo o movimento dos planetas, dos cometas, da lua e do mar (...)»1 .

Está exposto de uma forma clara e sintética todo o seu programa de investigação no que diz respeito à filosofia natural. São três as características essenciais deste programa. Em primeiro lugar, o seu

1 NEWTON, Isaac, Principia mathematica philosophiae naturalis, ed. Cajori, T.I, p.21 (1962, University of California Press), p.XVII. Esta edição corresponde à primeira tradução em língua inglesa feita por Andrew Motte sobre a última edição em idioma latino, publicada no ano de 1726, ainda em vida de Newton e por ele revista.

objectivo fundamental reside na explicação do movimento dos astros: é fornecido um modo rigoroso de derivar as leis de Kepler, desenvolvendo-se uma explicação quantitativa da causa desse movimento. Em segundo lugar, o rigor subjacente a toda a formulação está na linguagem matemática usada pelo autor para descrever os fenómenos fisicos observados na natureza. Pode dizer-se que, em Newton, «a matemática servia para disciplinar a sua imaginação criadora»2, permitindo-lhe, para lá da intuição física ou filosófica, entender as relações quantitativas expressas pela natureza. Por último, o ter chegado à formulação de leis naturais que unificam o mundo terrestre com o mundo dos astros, leis que explicam o movimento do cometa e da bala, a queda da maçã e a trajectória da Lua em torno da Terra.

Os Principia são a primeira exposição sistemática, e rigorosa sob o ponto de vista matemático, da compreensão científica do Mundo, projectando-se a sua influência, de uma forma decisiva, na forma e no método como a partir de então se começou a pensar e a fazer ciência.

No sentido de melhor entender o espírito de Newton, a lógica de todo o edíficio erigido nesta obra fundamental, leia-se o que escreveu um eminente matemático português do sec.XVIlI, José Anastácio da Cunha que, no seu Ensaio sobre os Princípios da Mecanica3, publicado postumamente, discorria:

2 COHEN, I.Bernard, 1983, La revolucion newtoniana y la transformacion de las ideas cientificas, Madrid, Alianza Editorial, p.72. 3 CUNHA, José Anastácio da Ensaio sobre os Princípios da Mecanica, in Actas do Colóquio Internacional Seguidas de uma Antologia de Textos, Lisboa, Imprensa Nacional-Casa da Moeda, 1991, p.339.

«o autor de um tratado puramente matemático, pode-se dizer que é um legislador, um creador; o autor de um tratado matemático de Física, é mero intérprete e comentador da Natureza. A verdade matemática não consiste senão na legitimidade com que os teoremas, e as soluções dos problemas se derivam das definições, postulados e axiomas; porém as definições, postulados e axiomas, pode-se dizer que a nenhuma lei são sujeitos. D’aqui vem que muitas coisas, que na Física são e devem ser objectos de demonstração experimental, na Matemática nem devem, nem ordinariamente podem ser demonstradas (...)

(...) Posso escrever um tratado de Óptica, em que tomo como hipótese, que a luz se propaga não em linha recta, mas em linha circular, ou em qualquer outra linha. Posso compor uma Mecânica, supondo as leis do movimento que eu muito quiser. E se os meus teoremas e as minhas soluções dos problemas forem legitimamente derivados dos princípios que estabeleci, ninguém me poderá arguir de erro.

Poderão sim censurar-me de ter indignadamente abusado do precioso tempo, se essas bem ajustadas e talvez elegantes teorias se não poderem aplicar à filosofia natural; se delas não poder tirar o género humano utilidade: e esta só consideração é que pode e deve pôr limites à imaginação do inventor. Por isso o geómetra que não quiser incorrer na censura de inútil, deve tomar, por princípios ou hipóteses, noções comuns, verdades de facto, que a Natureza, que a experiência ensinam: então o físico mostrando que os corpos naturais são (ou exacta ou proximamente) dotados daquelas mesmas propriedades, que o geometra supos nos corpos matemáticos, poderá fazer uma feliz aplicação da teoria puramente matemática a alguns assuntos físicos.

Assim no livro dos princípios as leis intituladas do movimento, não vem demonstradas geometricamente; mas de serem realmente as leis que a Natureza segue, dá sir Isaac por fiadora a mesma Natureza: quero dizer, que as abona com a experiência. Os autores que depois tem escrito sobre o mesmo assunto (e alguns deles grandes geómetras) tem-se empenhado em achar demonstrações matemáticas daquelas leis, - porém debalde (...)».

2. Os Axiomas dos Principia, o seu enunciado

As leis físicas, introduzidas logo de início por Newton e base de toda a Mecânica Clássica, alicerçam-se em observações experimentais. Podiam não ser assim, mas são. E são-no porque as observações conduzem a estes enunciados. Estas leis podem ser entendidas como postulados ditados pela Natureza. Se as suas implicações, toda a teoria construida que delas deriva, também estão de acordo com a observação da Natureza, então, consistentemente, podem aceitar-se estes postulados como verdadeiros. Eles assumem, portanto, a categoria de leis físicas, isto é, verdades manifestadas pela própria Natureza.

Se a experiência ou a observação não estiver de acordo com as consequências deriváveis das leis, então a teoria tem que ser modificada no sentido de se tornar coerente com os factos observados já conhecidos. Contudo, nem sempre esta tarefa consegue ser levada a bom termo, havendo observações que, muitas vezes, não são enquadráveis pela teoria e, embora esta se procure ajustar aos novos factos, este propósito de coerência resulta impossível. Está-se, portanto, na eminência de alterações das próprias leis. Estas devem ser entendidas, portanto, como verdades relativas manifestadas pela Natureza. São relativas porque dependem da capacidade do homem, numa determinada época histórica, em perscrutar e entender o real, e alterá-las provocará uma verdadeira crise no corpo de conhecimentos científicos, prenúncio daquilo a que alguns historiadores da ciência definem como uma revolução científica.

Eis os enunciados das leis de Newton retirados da edição de 1726 dos Principia:

I - Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

Il - Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secumdum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

I - Actioni contrariam semper et aequalam esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

Em português4 escrever-se-á: I - Todo o corpo permanece no seu estado de repouso, ou de movimento uniforme rectilíneo, a não ser que seja compelido a mudar esse estado devido à acção de forças aplicadas.

4 SILVA, Mário, s/data, Lições de Física -vol.I, Coimbra, Livraria Almedina.

lI - A variação de movimento é proporcional à força motriz aplicada; e dá-se na direcção da recta segundo a qual a força está aplicada.

I- A toda a acção sempre se opõe uma reacção igual; ou, as acções mútuas de dois corpos são sempre iguais e dirigidas às partes contrárias.

Os Principia foram escritos numa forma dita geométrica, isto é na forma de um sistema hipotético-deductivo. Como facilmente se depreende dos enunciados apresentados, os três axiomas definem relações entre termos, ou grandezas, tais como movimento uniforme rectilíneo, variação do movimento, força aplicada, acção e reacção. Daí que, anteriormente à apresentação dos axiomas, a exposição newtoniana se inicie com um conjunto de oito definições prévias que incidem fundamentalmente sobre os conceitos empregues nas leis do movimento.

3. As Definições dos Principia

A Definição I debruça-se sobre a noção de quantidade de matéria ou massa. Newton define esta grandeza como o produto da densidade pelo volume. Uma definição feita à custa de uma relação entre duas novas grandezas, situação que coloca de imediato uma outra questão: o que é a densidade? A esta pergunta não é dada previamente qualquer resposta: parte-se do princípio que a densidade é um dado a priori. No seu comentário à definição de quantidade de matéria, o autor dos Principia escreve: «(...) E é a esta quantidade que, a partir de agora, passarei a designar por corpo ou massa; é proporcional ao peso, como eu determinei por experiências com pêndulos (...)»5. Sublinhe-se para já a referência à relação entre massa e peso ou, aquilo que se pode chamar, a omnipresença do problema da gravidade.

Na Definição I caracteriza a grandeza quantidade de movimento, a sua expressão é mv, o produto da massa pela velocidade. As definições seguintes referem-se aos diferentes tipos de força.

A Definição I define a vis insita, ou seja a natureza inerte da matéria que é concebida como uma força de inactividade. Segundo Newton, a inércia é uma força inerente à própria matéria, insita, e latente enquanto não existir qualquer outra força aplicada ao corpo. Nesta definição de força não se vislumbra qualquer relação entre esta grandeza, este tipo de força, e o movimento por si provocado, isto é, qualquer grandeza cinemática observada. É importante citar o comentário desenvolvido por Newton a esta definição: «(...) Um corpo, devido à natureza inerte da matéria, não é sem dificuldade que sai do seu estado de repouso ou de movimento. Por este motivo, esta vis insita pode tomar a designação mais significativa de inércia (vis inerciae) ou força de inactividade. Mas um corpo só exerce esta força quando uma outra força, aplicada sobre ele, altera a sua condição, e o exercício desta força pode ser considerada como resistência e impulso (...)»6. É esta propriedade que é responsável pela resistência à alteração do estado de movimento e, ao mesmo tempo, é também ela que garante o estado de movimento do corpo se sobre ele nenhuma outra força actua. Assim, de acordo com Newton, a vis insita é a capacidade que cada corpo tem de resistir à alteração do seu

5 NEWTON, Isaac, op.cit., p.1.

estado de movimento. Diferentes corpos oferecerão diferentes resistências, mas esta propriedade será constante para cada um deles. A característica individual de cada corpo é a sua inércia ou como se designa em mecânica clássica a massa inercial. O comentário de Newton a esta definição termina do seguinte modo: «(...) movimento e repouso, tal como são vulgarmente entendidos, só se podem distinguir de uma forma relativa, nem estão verdadeiramente em repouso os corpos que como o repouso entendido como um estado particular do movimento, é aqui, nos Principia, colocado pela primeira vez, sendo a diferença entre estes estados associada à existência de uma força particular, a vis insita. Newton prepara o caminho para a Primeira Lei da dinâmica.

As definições I e I apontam para duas grandezas que são, respectivamente, a quantidade de matéria ou massa gravítica (grandeza presente na expressão da Lei da Gravitação universal) e a massa inercial. Newton tem necessidade de postular a existência de ambas: a primeira tem para ele um significado físico (material) muito preciso, enquanto que a segunda corresponde a uma necessidade conceptual da sua teoria. Para Newton estas “duas massas” de qualquer corpo são iguais. Assume de uma forma implícita esta conclusão, não a prova8 .

6 Ibid. p.2. 7 Ibid. p.2. 8 É com Einstein, como consequência do “princípio de equivalência” da Teoria da Relatividade Geral, enunciado em 1916, que se mostra a equivalência entre a massa inercial e a massa gravítica. Na mecânica newtoniana esta equivalência tinha um carácter meramente empírico e acidental, enquanto que na Teoria da Relatividade Geral ela surge como uma decorrência lógica dos princípios teóricos estabelecidos.

A Definição IV centra-se no conceito de força aplicada, vis impressa, como sendo a força que, actuando sobre um corpo, é responsável por modificar o seu estado de movimento, ou, bem entendido, de repouso. Newton clarifica que este estado de movimento é uniforme e rectilíneo. Para outros tipos de movimento Newton definirá outros tipos de forças. Três aspectos distinguem as forças aplicadas das forças inatas: «(...) primeiro do que tudo são uma acção pura, de caracter transitivo, passageiro; segundo, não permanecem no corpo se a acção termina; terceiro, enquanto que a inércia é uma força universal da matéria, as forças aplicadas possuem diferentes origens, tal como percussão, pressão, força centrípeta (...)»9. O carácter efémero destas forças traduz a ideia escolástica cessante causa cessat effectus. As forças aplicadas resultam de uma acção exterior sobre o corpo, enquanto que as forças inatas constituem uma característica do próprio corpo, residem nele.

Na Definição V Newton introduz o terceiro e último tipo de força, o de força centrípeta: aquela «pela qual os corpos são puxados ou impelidos, ou de qualquer outro modo tendem, em direcção a um ponto como para um centro»10; a designação newtoniana de força centrípeta corresponde às forças ditas centrais. Nas Definições VI, VII, VIII introduzem-se conceitos directamente relacionados com a força centrípeta. Uma questão se impõe: no comentário de Newton à Definição IV, já tinha sido colocado como um exemplo de uma força aplicada a força centrípeta, qual o motivo para uma definição particular deste tipo de

9 JAMMER, Max. 1957, Concepts of Force, Cambridge-Massachusets, Harvard University Press. 10 NEWTON, Isaac, op.cit., p.2.

força? «Parece que Newton olhava para a força centrípeta como uma força de maior importância que todas as outras»11. A nota à Definição V, conforme escreveu Newton, inicia-se deste modo, «Deste tipo é a gravidade, pela qual os corpos tendem para o centro do magnetismo terrestre(...)»12, o que é bastante revelador sobre os motivos que levavam o autor dos Principia a dar uma especial atenção à força centrípeta ou força central.

Deste corpo de definições pode concluir-se: primeiro, a existência de imprecisão na definição do conceito de força, Newton jamais o define, procurando associar a certos efeitos, a existência de uma grandeza que passa a designar por força, donde aceitar-se a força como um conceito dado a priori (surgia intuitivamente de uma certa analogia com a força muscular); segundo, também o conceito de massa aparece definido de uma forma equívoca, este termo aparece associado a duas grandezas que são, respectivamente, a quantidade de matéria ou massa gravítica e a massa inercial que se assumem iguais; terceiro, as considerações tecidas por Newton sobre o conceito de força estão metodologicamente relacionadas com os seus estudos sobre a gravitação, a explicação dinâmica dos movimentos planetários, dados pelas três leis cinemáticas de Kepler, era o grande problema da época.

1 JAMMER, Max, po.cit.. 12 NEWTON, Isaac, op.cit., p.3.

4. O Escólio

Entre as oito definições referidas e o enunciado dos três axiomas,

Newton desenvolveu um conjunto de considerações com o propósito de caracterizar o que é tempo absoluto, verdadeiro e matemático, espaço absoluto e relativo, movimento absoluto e relativo. Ele próprio escreve: «Não defino tempo, espaço, lugar e movimento, como sendo já do conhecimento de todos (...) Contudo observo que é vulgar conceber estas quantidades através das relações que experimentam com os objectos sensíveis. Daqui advêm certos preconceitos, para os eliminar, será conveniente distingui-los entre absoluto e relativo, verdadeiro e aparente, matemático e comum»13. E, porque estes conceitos são do conhecimento de todos, Newton evita formalizar um novo conjunto de definições que engrossasse o conjunto prévio com que abrira os Principia (é o que acontece na terceira edição...)14. Não define espaço e tempo, lugar e movimento, desenvolvendo um longo comentário de sete páginas, onde procura clarificar estas noções, eliminando alguns preconceitos.

Dissertando sobre o espaço, Newton começa por afirmar, «(...) o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem uma relação com o que quer que seja exterior, permanece sempre igual e imóvel (...)»15, passando de imediato à noção de «espaço relativo (...) que os nossos sentidos determinam pela sua posição em relação aos corpos e que é vulgarmente

13 Ibid., p.6. 14 Em vida de Newton os Principia sofreram três edições: em Londres, 1687; em Cambridge, 1713 (reimpresso em Amesterdão em 1714 e 1723); em Londres, 1726. Todas estas edições diferem entre si na exposição científica, bem como nas posições filosóficas expressas. 15 Ibid., p.6.

tomado pelo espaço imóvel, tal como a dimensão de um subterrâneo (...) é determinada pela sua posição com respeito à terra (...)»16. A ideia de espaço relativo dada por Newton é aquilo que hoje se entende por um sistema de referência, três eixos (...e um relógio se se considerar o tempo), que qualquer observador tem que usar para poder estudar o movimento; é elucidativo o exemplo da dimensão de um túnel, entendida como a diferença de posição, num determinado instante, em relação à terra, ou seja ao sistema de eixos que é o referencial. Quanto à referência ao espaço absoluto, nada foi adiantado, pois é qualquer coisa que permanece sempre igual e imóvel; mas, igual e imóvel em relação a quê?

Newton sabe que o espaço é homogéneo e, perante os nossos sentidos, as suas partes são indistinguíveis à nossa percepção. Contudo, esta entidade tem que ser alvo de medidas, sem as quais é impossível falar em movimento. Assim escreve, «(...) porque as partes do espaço não podem ser vistas, ou distinguidas uma da outra através dos nossos sentidos, portanto em seu proveito usamos as suas medidas sensíveis. Longe das posições e distâncias das coisas de um corpo qualquer considerado como imóvel, definimos todos os lugares, e então com respeito a tais lugares, estimamos todos os movimentos, considerando os corpos como que transferidos de um daqueles lugares para outros. E assim, em vez de espaço e movimento absolutos, usamos os relativos; isto sem qualquer inconveniência nos assuntos comuns, mas nos desenvolvimentos filosóficos, temos que abstrair dos nossos sentidos, e considerar as coisas em si, distintas do que são as medidas sensíveis. Até

16 Ibid., p. 6.

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