Baixe Principia - Issac Newton e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Augusto J. Santos Fitas, 1996, Os Principia de Newton, alguns comentários (Primeira parte, a Axiomática), Vértice, 72, 61-68. 1 Os Principia de Newton, alguns comentários (Primeira parte, a Axiomática) Augusto J. Santos Fitas 1. Introdução Isaac Newton (1642-1727), no prefácio da primeira edição dos Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, escreve: «(...) ofereço esta obra como os princípios matemáticos da filosofia, pois todo o tema da filosofia parece consistir no seguinte -- dos fenómenos do movimento investigar as forças da natureza e, então, destas forças demonstrar os outros fenómenos; e com este propósito são apresentadas as proposições gerais do primeiro e segundo livros. No terceiro livro dou um exemplo disto na explicação do Sistema do Mundo; pois, pelas proposições matematicamente demonstradas no primeiro livro, no terceiro eu derivo dos fenómenos celestes a força da gravidade através da qual os corpos são atraídos para o Sol e para diversos planetas. Então destas forças, usando outras proposições matemáticas, deduzo o movimento dos planetas, dos cometas, da lua e do mar (...)»1. Está exposto de uma forma clara e sintética todo o seu programa de investigação no que diz respeito à filosofia natural. São três as características essenciais deste programa. Em primeiro lugar, o seu 1 NEWTON, Isaac, Principia mathematica philosophiae naturalis, ed. Cajori, T.I, p.21 (1962, University of California Press), p.XVII. Esta edição corresponde à primeira tradução em língua inglesa feita por Andrew Motte sobre a última edição em idioma latino, publicada no ano de 1726, ainda em vida de Newton e por ele revista. 2 objectivo fundamental reside na explicação do movimento dos astros: é fornecido um modo rigoroso de derivar as leis de Kepler, desenvolvendo-se uma explicação quantitativa da causa desse movimento. Em segundo lugar, o rigor subjacente a toda a formulação está na linguagem matemática usada pelo autor para descrever os fenómenos fisicos observados na natureza. Pode dizer-se que, em Newton, «a matemática servia para disciplinar a sua imaginação criadora»2, permitindo-lhe, para lá da intuição física ou filosófica, entender as relações quantitativas expressas pela natureza. Por último, o ter chegado à formulação de leis naturais que unificam o mundo terrestre com o mundo dos astros, leis que explicam o movimento do cometa e da bala, a queda da maçã e a trajectória da Lua em torno da Terra. Os Principia são a primeira exposição sistemática, e rigorosa sob o ponto de vista matemático, da compreensão científica do Mundo, projectando-se a sua influência, de uma forma decisiva, na forma e no método como a partir de então se começou a pensar e a fazer ciência. No sentido de melhor entender o espírito de Newton, a lógica de todo o edíficio erigido nesta obra fundamental, leia-se o que escreveu um eminente matemático português do sec.XVIlI, José Anastácio da Cunha que, no seu Ensaio sobre os Princípios da Mecanica3, publicado postumamente, discorria: 2 COHEN, I.Bernard, 1983, La revolucion newtoniana y la transformacion de las ideas cientificas, Madrid, Alianza Editorial, p.72. 3 CUNHA, José Anastácio da Ensaio sobre os Princípios da Mecanica, in Actas do Colóquio Internacional Seguidas de uma Antologia de Textos, Lisboa, Imprensa Nacional-Casa da Moeda, 1991, p.339. 5 e, embora esta se procure ajustar aos novos factos, este propósito de coerência resulta impossível. Está-se, portanto, na eminência de alterações das próprias leis. Estas devem ser entendidas, portanto, como verdades relativas manifestadas pela Natureza. São relativas porque dependem da capacidade do homem, numa determinada época histórica, em perscrutar e entender o real, e alterá-las provocará uma verdadeira crise no corpo de conhecimentos científicos, prenúncio daquilo a que alguns historiadores da ciência definem como uma revolução científica. Eis os enunciados das leis de Newton retirados da edição de 1726 dos Principia: I - Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Il - Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secumdum lineam rectam qua vis illa imprimitur. III - Actioni contrariam semper et aequalam esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. Em português4 escrever-se-á: I - Todo o corpo permanece no seu estado de repouso, ou de movimento uniforme rectilíneo, a não ser que seja compelido a mudar esse estado devido à acção de forças aplicadas. 4 SILVA, Mário, s/data, Lições de Física -vol.I, Coimbra, Livraria Almedina. 6 lI - A variação de movimento é proporcional à força motriz aplicada; e dá-se na direcção da recta segundo a qual a força está aplicada. III- A toda a acção sempre se opõe uma reacção igual; ou, as acções mútuas de dois corpos são sempre iguais e dirigidas às partes contrárias. Os Principia foram escritos numa forma dita geométrica, isto é na forma de um sistema hipotético-deductivo. Como facilmente se depreende dos enunciados apresentados, os três axiomas definem relações entre termos, ou grandezas, tais como movimento uniforme rectilíneo, variação do movimento, força aplicada, acção e reacção. Daí que, anteriormente à apresentação dos axiomas, a exposição newtoniana se inicie com um conjunto de oito definições prévias que incidem fundamentalmente sobre os conceitos empregues nas leis do movimento. 3. As Definições dos Principia A Definição I debruça-se sobre a noção de quantidade de matéria ou massa. Newton define esta grandeza como o produto da densidade pelo volume. Uma definição feita à custa de uma relação entre duas novas grandezas, situação que coloca de imediato uma outra questão: o que é a densidade? A esta pergunta não é dada previamente qualquer resposta: parte-se do princípio que a densidade é um dado a priori. No seu comentário à definição de quantidade de matéria, o autor dos Principia escreve: «(...) E é a esta quantidade que, a partir de agora, passarei a designar por corpo ou massa; é proporcional ao peso, como 7 eu determinei por experiências com pêndulos (...)»5. Sublinhe-se para já a referência à relação entre massa e peso ou, aquilo que se pode chamar, a omnipresença do problema da gravidade. Na Definição II caracteriza a grandeza quantidade de movimento, a sua expressão é mv, o produto da massa pela velocidade. As definições seguintes referem-se aos diferentes tipos de força. A Definição III define a vis insita, ou seja a natureza inerte da matéria que é concebida como uma força de inactividade. Segundo Newton, a inércia é uma força inerente à própria matéria, insita, e latente enquanto não existir qualquer outra força aplicada ao corpo. Nesta definição de força não se vislumbra qualquer relação entre esta grandeza, este tipo de força, e o movimento por si provocado, isto é, qualquer grandeza cinemática observada. É importante citar o comentário desenvolvido por Newton a esta definição: «(...) Um corpo, devido à natureza inerte da matéria, não é sem dificuldade que sai do seu estado de repouso ou de movimento. Por este motivo, esta vis insita pode tomar a designação mais significativa de inércia (vis inerciae) ou força de inactividade. Mas um corpo só exerce esta força quando uma outra força, aplicada sobre ele, altera a sua condição, e o exercício desta força pode ser considerada como resistência e impulso (...)»6. É esta propriedade que é responsável pela resistência à alteração do estado de movimento e, ao mesmo tempo, é também ela que garante o estado de movimento do corpo se sobre ele nenhuma outra força actua. Assim, de acordo com Newton, a vis insita é a capacidade que cada corpo tem de resistir à alteração do seu 5 NEWTON, Isaac, op.cit., p.1. 10 força? «Parece que Newton olhava para a força centrípeta como uma força de maior importância que todas as outras»11. A nota à Definição V, conforme escreveu Newton, inicia-se deste modo, «Deste tipo é a gravidade, pela qual os corpos tendem para o centro do magnetismo terrestre(...)»12, o que é bastante revelador sobre os motivos que levavam o autor dos Principia a dar uma especial atenção à força centrípeta ou força central. Deste corpo de definições pode concluir-se: primeiro, a existência de imprecisão na definição do conceito de força, Newton jamais o define, procurando associar a certos efeitos, a existência de uma grandeza que passa a designar por força, donde aceitar-se a força como um conceito dado a priori (surgia intuitivamente de uma certa analogia com a força muscular); segundo, também o conceito de massa aparece definido de uma forma equívoca, este termo aparece associado a duas grandezas que são, respectivamente, a quantidade de matéria ou massa gravítica e a massa inercial que se assumem iguais; terceiro, as considerações tecidas por Newton sobre o conceito de força estão metodologicamente relacionadas com os seus estudos sobre a gravitação, a explicação dinâmica dos movimentos planetários, dados pelas três leis cinemáticas de Kepler, era o grande problema da época. 11 JAMMER, Max, po.cit.. 12 NEWTON, Isaac, op.cit., p.3. 11 4. O Escólio Entre as oito definições referidas e o enunciado dos três axiomas, Newton desenvolveu um conjunto de considerações com o propósito de caracterizar o que é tempo absoluto, verdadeiro e matemático, espaço absoluto e relativo, movimento absoluto e relativo. Ele próprio escreve: «Não defino tempo, espaço, lugar e movimento, como sendo já do conhecimento de todos (...) Contudo observo que é vulgar conceber estas quantidades através das relações que experimentam com os objectos sensíveis. Daqui advêm certos preconceitos, para os eliminar, será conveniente distingui-los entre absoluto e relativo, verdadeiro e aparente, matemático e comum»13. E, porque estes conceitos são do conhecimento de todos, Newton evita formalizar um novo conjunto de definições que engrossasse o conjunto prévio com que abrira os Principia (é o que acontece na terceira edição...)14. Não define espaço e tempo, lugar e movimento, desenvolvendo um longo comentário de sete páginas, onde procura clarificar estas noções, eliminando alguns preconceitos. Dissertando sobre o espaço, Newton começa por afirmar, «(...) o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem uma relação com o que quer que seja exterior, permanece sempre igual e imóvel (...)»15, passando de imediato à noção de «espaço relativo (...) que os nossos sentidos determinam pela sua posição em relação aos corpos e que é vulgarmente 13 Ibid., p.6. 14 Em vida de Newton os Principia sofreram três edições: em Londres, 1687; em Cambridge, 1713 (reimpresso em Amesterdão em 1714 e 1723); em Londres, 1726. Todas estas edições diferem entre si na exposição científica, bem como nas posições filosóficas expressas. 15 Ibid., p.6. 12 tomado pelo espaço imóvel, tal como a dimensão de um subterrâneo (...) é determinada pela sua posição com respeito à terra (...)»16. A ideia de espaço relativo dada por Newton é aquilo que hoje se entende por um sistema de referência, três eixos (...e um relógio se se considerar o tempo), que qualquer observador tem que usar para poder estudar o movimento; é elucidativo o exemplo da dimensão de um túnel, entendida como a diferença de posição, num determinado instante, em relação à terra, ou seja ao sistema de eixos que é o referencial. Quanto à referência ao espaço absoluto, nada foi adiantado, pois é qualquer coisa que permanece sempre igual e imóvel; mas, igual e imóvel em relação a quê? Newton sabe que o espaço é homogéneo e, perante os nossos sentidos, as suas partes são indistinguíveis à nossa percepção. Contudo, esta entidade tem que ser alvo de medidas, sem as quais é impossível falar em movimento. Assim escreve, «(...) porque as partes do espaço não podem ser vistas, ou distinguidas uma da outra através dos nossos sentidos, portanto em seu proveito usamos as suas medidas sensíveis. Longe das posições e distâncias das coisas de um corpo qualquer considerado como imóvel, definimos todos os lugares, e então com respeito a tais lugares, estimamos todos os movimentos, considerando os corpos como que transferidos de um daqueles lugares para outros. E assim, em vez de espaço e movimento absolutos, usamos os relativos; isto sem qualquer inconveniência nos assuntos comuns, mas nos desenvolvimentos filosóficos, temos que abstrair dos nossos sentidos, e considerar as coisas em si, distintas do que são as medidas sensíveis. Até 16 Ibid., p. 6. 15 5. O significado dos Axiomas dos Principia O primeiro axioma, ou Primeira Lei, é conhecido como a Lei da Inércia. Esta lei é o culminar de um ponto de ruptura muito importante com a física pré-galilaica ou aristotélica. Nesta concepção o movimento era entendido como um processo, um desenvolvimento, que alterava as características inerentes ao corpo, opondo-se ao repouso que correspondia à ausência desse processo. Depois de Galileu movimento e repouso são indescerníveis, deixaram de afectar os atributos dos corpos, só podem ser definidos quando em relação com outros corpos. No universo newtoniano, esta lei associa a alteração do movimento de um corpo, enquanto estado, ao aparecimento de uma grandeza denominada força aplicada. Ou, outra importante inovação, os corpos oferecem resistência em, por si só, alterarem o seu estado de movimento (tendo sempre presente o repouso como um estado particular de movimento); para conseguirem esta alteração é necessário o aparecimento de causas exteriores que produzam tal efeito (as forças aplicadas). A Definição III preparou o caminho para esta lei. A inércia deixou de ser, pura e simplesmente, a resistência ao movimento; a inércia passa a ser a resistência à mudança do estado de movimento. A permanência do movimento deixou de implicar a acção contínua de uma força, tal como assinalámos no comentário à Definição III, o corpo pode estar em movimento sem ser sob a acção de uma força. Contudo, a esta primeira lei, para se constituir como tal, falta-lhe a relação entre grandezas O seu enunciado corresponde à forma física de definir determinados sistemas privilegiados de referência. De acordo 16 com este axioma, a ausência de força aplicada implica que o corpo esteja em repouso ou em movimento uniforme e rectilineo. Então, para que tal seja observado requere-se um referencial em que se verifique o enunciado dado: o tal referencial privilegiado (referencial inercial) é aquele no qual é verdadeira a primeira lei. Newton, ao enunciar o Corolário V20, mostra que não existe um só referencial que satisfaça as condições requeridas, mas sim um conjunto de referenciais, uma classe de espaços, que se designam por referenciais inerciais nos quais é verdadeira a lei da inércia. O segundo axioma relaciona a força aplicada com a variação de movimento ou, de uma forma mais correcta, com a variação temporal da quantidade de movimento, ∆p, aquilo que actualmente se pode escrever F∆t=∆p enquanto que Newton escrevia unicamente F ∝∆p A apresentação deste postulado como lei implica a existência de uma relação entre grandezas, entendidas estas, evidentemente, como entidades físicas mensuráveis. Mas, como anteriormente se escreveu, Newton, nas suas definições prévias, nada diz como medir massa e força. Logo, esta lei dificilmente pode tomar esse carácter, sendo, por muitos autores, apresentada, alternativamente, como a forma de definir a grandeza física força. Sublinhe-se ainda, no conteúdo deste segundo axioma, a ausência prévia de uma definição clara do conceito de massa. 20 "Os movimento dos corpos num dado espaço [em relação a um determinado referencial] são os mesmos entre si, quer o espaço esteja em repouso, ou se mova uniformemente para a frente segundo uma linha recta sem movimento circular" (Ibid., p.20). 17 Apesar de todas as limitações conceptuais e insuficiências axiomáticas, Newton consegue dar a ligação matemática, ou geométrica, entre a vis impressa (força aplicada) no corpo e os efeitos cinemáticos por este sofridos. Do conhecimento da força passa a conhecer-se as características de movimento. Não esquecer que Newton conhece a expressão analítica de uma força, a força gravítica (aquela que mais lhe interessa), podendo, então, estudar o movimento causado por ela; este era o seu objectivo principal! O terceiro axioma acrescenta uma característica nova ao conceito de força: o seu aspecto dual; a existência de acção e reacção simultâneas. Esta é uma conclusão nova e muito importante. Há, no entanto, que chamar a atenção para o facto de esta terceira lei não ser uma lei geral da natureza, já que não é válida para qualquer tipo de forças. Esta lei só se aplica a forças que resultam da interacção de dois pontos materiais e cuja direcção coincida com a linha que une os pontos, ou seja, só se aplica às chamadas forças centrais (todas as forças elementares o são, e são-no a resultante de forças entre corpos extensos). A importância desta lei é manifesta, mesmo em formulações diferentes e mais recentes da mecânica clássica21. Newton sabia que as suas leis da mecânica só faziam sentido se se definisse um sistema de eixos e um relógio, um referencial ou uma classe de referenciais, em relação ao qual se pudesse fazer as medidas sobre o movimento dos corpos. Todavia, no enunciado destas leis não é feita qualquer menção a estes sistemas de referência nem às suas 20 em repouso em relação ao balde mostra que o movimento relativo não pode estar associado à força centrífuga; terceiro, a força centrífuga, responsável pela concavidade, está relacionada com o movimento de rotação da água em relação ao espaço absoluto. QUADRO I Enunciado de Newton24 Observação 1 2 3 4 5 Se um balde, suspenso de uma corda comprida, sofrer muitas voltas em torno da corda, sendo depois cheio com água, e largado do repouso conjuntamemte com a água; então por acção de uma outra força, rodará em torno do mesmo eixo mas em sentido contrário e quando a corda deixar de estar torcida, o balde continuará por algum tempo com o mesmo movimento; a superfície da água será no princípio plana, tal como antes do balde começar a rodar; mas depois, o balde começará por gradualmente comunicar o seu movimento à água, começando esta a rodar e a pouco e pouco subirá junto ás paredes do balde, formando ele própria uma figura côncava (como eu experimentei), e quanto mais rápido for o movimento, mais alto subirá a água no balde, até por fim rodar simultaneamente com ele, ficando em repouso relativamente ao balde. (completamos a experiência: o balde finalmente imobilizar- se-á continuamdo a água a rodar e a pouco e pouco descerá junto ás paredes do balde, sendo a sua superfície cada vez menos côncava, para no fim ser um plano) aceleração da água em relação ao balde é nula; a superfície livre da água é plana aceleração da água em relação ao balde não é nula; a superfície livre da água é plana aceleração da água em relação ao balde é nula; a superfície livre da água é concava aceleração da água em relação ao balde não é nula; a superfície livre da água é concava aceleração da água em relação ao balde é nula; a superfície livre da água é plana Os argumentos são controversos e o próprio Newton reconhece que «é de facto um assunto de grande dificuldade descobrir, e efectivamente distinguir, o movimento verdadeiro dos corpos do aparente, porque as partes desse espaço imóvel, no qual esses 23 Ibid., p.10. 24 NEWTON, Isaac, op.cit., p.10. 21 movimentos têm lugar, não ficam por nenhuns meios sob a observação dos nossos sentidos (...)»25. O físico austríaco E. Mach contestou o raciocínio de Newton e escreveu: «A experiência de Newton com o balde de água em rotação informa-nos simplesmente que o movimento relativo da água em relação às paredes do balde não produz forças centrífugas, mas que estas forças são produzidas pela rotação em relação à terra e aos outros corpos do universo(...)»26, acrescentando que nada se pode dizer se a experiência for feita noutras condições (diferente massa e espessura do balde). A experiência de Newton não era suficientemente geral para provar o que quer que fosse. Uma experiência análoga à descrita por Newton pode servir de contra-exemplo, ei-la: num balde, suspenso de uma corda comprida que está completamente torcida, é colocado no seu interior, e ajustando-se perfeitamente à sua cavidade um molde de uma substância rígida, por exemplo madeira;o balde ao ser largado do repouso, conjuntamente com o molde, rodará em torno do mesmo eixo mas em sentido contrário e quando a corda deixar de estar torcida, o balde continuará por algum tempo com o mesmo movimento; o balde comunicará gradualmente o seu movimento ao molde, não se alterando a superfície livre da madeira, até por fim rodarem os dois simultaneamente, encontrando-se ambos em repouso relativo. Conclusão: primeiro, a superfície livre da madeira não é côncava, é plana, então não há qualquer deformação que permita supor a 25 Ibid., p.12. 26 MACH, E., 1960, The Science of Mechanics, The Open Court Publisshing Company, , p.284. 22 existência de uma força (o que não significa que não exista e não se manifeste em efeitos não observáveis directamente); segundo, o facto de não se identificar uma força centrífuga (através da observação directa) obriga a reconhecer que não há qualquer movimento do molde em relação ao espaço absoluto. As duas experiências, a de Newton e esta última, são formalmente iguais e as conclusões extraídas são completamente diferentes. A experiência apresentada por Newton nos Principia, de modo a ilustrar a ideia de espaço absoluto, foi, ao longo de vários séculos, contestada por diferentes autores. Todavia só o Princípio da Equivalência de Einstein na Teoria da Relatividade Geral permitiu clarificar toda esta polémica 27. Embora em tudo o que se expôs até aqui, o conceito de espaço seja aquele a que se deu mais atenção, a primeira definição a ser apresentada no Escólio é referente ao tempo. Newton escreve «o tempo absoluto, verdadeiro e matemático. em si próprio, e da sua própria natureza, flui igualmente sem relação com nada exterior», enquanto que «o tempo relativo, aparente e comum é a medida sensível e exterior da duração através do movimento, que é comummente utilizada em vez do tempo verdadeiro»28. O conceito de tempo absoluto é deveras difícil de entender: qualquer coisa que «flui igualmente» (o que pressupõe uma comparação), em relação a quê? A medição deste fluir não tem termo de comparação. Será que Newton não se apercebeu que este conceito era 27 Consultar, por exemplo, Max Born, 1962, Einstein's Theory of Relativity, NY, Dover Publications, Inc.. 28 NEWTON, Isaac, op.cit., p.6. Augusto J. Santos Fitas, 1996, Os Principia de Newton, alguns comentários (Segunda parte, a Gravitação), Vértice, 73, 97-102. 25 Os Principia de Newton, alguns comentários (Segunda parte, a Gravitação) Augusto J. Santos Fitas 1. Depois da Axiomática Na parte dos Principia que precede o Livro I, Axiomas e Leis de Movimento, sucedem-se às três leis, seis corolários que descrevem as propriedades dos movimentos dos corpos, dos quais se destacam dois: a regra do paralelogramo para a composição de forças (Corolário I); o centro de massa de um sistema de corpos sujeitos exclusivamente às suas interacções mútuas permanece em movimento uniforme e rectilíneo ou em repouso (Corolário IV). Este capítulo inicial termina com um Escólio onde, entre os diversos comentários desenvolvidos, Newton referencia os seus predecessores: «(...)com as duas primeiras Leis e os primeiros dois Corolários, Galileu descobriu que a descida dos corpos variava com o quadrado do tempo (in duplicata ratione temporis) e que o movimento dos projécteis era ao longo de uma curva que era uma parábola; a experiência concorda com ambos a não ser que estes movimentos sejam um pouco retardados pela resistência do ar(...)»1; «(...)[Com as mesmas Leis e Corolários] Sir Christopher Wren, Dr.Wallis, e Mr.Huygens, os maiores geómetras dos nossos tempos, determinaram as regras de 1 NEWTON, Isaac, Principia mathematica philosophiae naturalis, ed. Cajori, T.I, p.21 (1962, University of California Press), p.21. 26 impacto e reflexão dos corpos rígidos e, mais ou menos na mesma altura, comunicaram as suas descobertas à Royal Society, exactamente concordando entre si nessas regras(...)»2. Newton referencia parte daqueles que ao longo dos séculos XVI e XVII haviam contribudo decisivamente para o avanço da mecânica, em particular no que diz respeito ao estudo dos choques de corpos rígidos. A reflexão sobre este último problema tinha levado Wren, Wallis, e Huygens a descobrirem independentemente a lei da conservação do momento linear. Deve-se, no entanto, destacar a ausência de menção a Descartes. 2. Os Principia e a Geometria O Livro I intitula-se o Movimento dos Corpos, sendo a sua primeira secção constituida por dez Lemas que constituem as proposições demonstráveis necessárias para fundamentar dedutivamente os teoremas sobre o movimento, apresentados posteriormente. As proposições aqui apresentadas correspondem a noções elementares de cálculo diferencial, embora jamais se faça qualquer referência a este domínio matemático. Estes lemas versam sobre os limites de áreas, linhas e arcos de curva, as suas provas são feitas à custa de um raciocínio exclusivamente geométrico, ignorando toda a linguagem analítica já introduzida na Geometria (Descartes). No Escólio apresentado no fim desta secção Newton explica o porquê desta opção metodológica no cariz das demonstrações: «(...) Estes Lemas foram permitidos para evitar as aborrecidas deduções envolvidas nas demonstrações ad absurdum, de 2 Ibid., p.22. 27 acordo com o método dos antigos geómetras. Pelo método dos indivisíveis as demonstrações são mais curtas, mas, porque a hipótese dos indivisiveis parece ser, até certo ponto, desarmoniosa e, portanto esse método é considerado para o cálculo menos geométrico(...)»3. fig.-1 Embora este cálculo, através dos indivisíveis, fosse considerado menos geométrico no seu método, Newton desenvolverá as noções de limite e convergência com base numa exposição exclusivamente geométrica, prescindindo de qualquer linguagem analítica. Como exemplo repare-se no Lema II: «Se em qualquer figura AacE limitada pelas linhas rectas Aa, AE e a curva acE se inscrever um qualquer de paralelograrmas Ab, Bc, Cd, etc., e os lados Bb, Cc, Dd, etc., forem paralelos ao lado da figura Aa; e os parlelogramas aKbl, bLcm, cMdn, etc., estiverem completados: então se a largura desses paralelogramas 3 Ibid., p.38. 30 triângulo BCS situa-se no mesmo plano que o anterior. O raciocínio prossegue para todos os segmentos, concluindo-se assim que as sucessivas trajectórias se encontram todas no mesmo plano. fig.-2 Considere-se um intervalo de tempo dividido em duas partes iguais. Na primeira parte o corpo percorre AB e, caso nenhuma força actuasse sobre ele, na segunda percorreria Bc, de tal modo que AB=Bc (Primeira Lei). Os triagulos ABS e BcS, porque têm bases iguais (AB=Bc) e altura comum, So, as suas áreas são iguais. Se em B intervier uma força centrípeta na forma de impulso o corpo é desviado de Bc e passa a deslocar-se segundo a direcção BC. Aplique-se a regra do paralelograma (Corolário I): pelo ponto c traça-se uma paralela à direcção 7 Ibid., p.40. 31 SB que vai encontrar a recta BC no ponto C pertencente ao plano do triângulo ASB. Os triângulos BcS e BCS possuem a mesma base, BS, como a distância dos pontos C e c a este segmento é a mesma (Cc é paralela a BS), então a área dos triângulos é igual. As áreas de ABS e BCS são iguais. Repetindo os argumentos utilizados conclui-se pela igualdade das áreas BCS e CDS, CDS e DES, ... e, por composição, as diversas somas destas áreas elementares estão entre si como os intervalos de tempo gastos em percorrê-las. Para terminar esta demonstração leia-se o que escreveu Newton: «(...) aumente-se o número de triângulos, e a sua base diminuiu in infinitum; e o seu perímetro final ADF será uma linha curva: e portanto a força centrípeta, pela qual o corpo é continuamente afastada da tangente a esta curva actuará continuamente, e quaisquer áreas descritas SADS, SAFS que são sempre proporcionais aos tempos de descrição, serão, também neste caso, proporcionais a esses tempos. Q.E.D.»8. Toda esta argumentação exclusivamente geométrica, da qual é afastado qualquer tratamento analítico, é a utilizada por Newton ao longo desta sua obra, não existindo qualquer recurso à linguagem de cálculo diferencial, entretanto por ele descoberto, e de que, tão insistentemente, se afirmou o pioneiro. Newton, no período de 1664-65, ainda estudante do Trinity College em Cambridge, desenvolveu um método de análise, o Método das Fluxões, onde introduzira a noção de derivada, de diferencial e de 8 Ibid., p.41. 32 infinitésimo, passando qualquer linha curva a não ser entendida como uma soma de vários segmentos, mas como uma linha continua. Em 1669, os resultados respeitantes à pesquisa sobre séries que, entretanto, desenvolvera, são compilados na obra Sobre a Análise de Equações não Limitadas no Número dos seus Termos. Um ano depois tenta publicar estes seus dois trabalhos de matemática num único livro, Método de Fluxões e Séries Infinitas, «contudo, na forte depressão que se seguiu ao Grande Incêndio de Londres de 1666, não havia mercado para tais livros»9; esta obra só será publicada em 1736. Num relatório datado de 1715, Newton descreve o seu encontro com a geometria antiga como sendo posterior à elaboração da teoria da gravitação universal: «É com o auxí1io da nova análise [a que desenvolveu na sua juventude] que o Sr.Newton descobriu a maior parte das proposições dos seus Principia Philosophiae; mas como, para atingir a certeza, os Antigos só admitiam em geometria o que fosse demonstrado de uma forma sintética, ele demonstra as proposições sinteticamente de modo que o sistema dos céus fosse fundado sobre a boa geometria»10. Newton dá a entender que a sua primeira abordagem aos temas tratados nos Principia foi através da análise, optando por, na sua obra máxima, preferir o tratamento geométrico. Porquê esta opção? Esta relação com a geometria poderá entender-se com base no Prefácio que escreveu para a primeira edição dos Principia. É explícito ao 9 COHEN, I.Bernard, 1983, La revolucion newtoniana y la transform.acion de las ideas cientificas, Madrid, Alianza Editorial, p.298. 10 Newton, I., An account of the book entitled Commercium epistolicum, in VERLET, Loup, 1993, La malle de Newton, Paris, Editions Gallimard, p.331 35 dos raios luminosos15, pois, relembre-se Euclides, a intensidade da luz emitida por uma fonte varia na razão inversa do quadrado da distância a esta. Daí que Kepler, arrastado por esta semelhança, suspeite que a acção proveniente do Sol, virtus movens, e sentida pelos diversos planetas, deve respeitar a lei do inverso do quadrado das distâncias. Kepler fica-se pela suspeita porque, devido a erros de cálculo e à sua concepção aristotélica do movimento, é impelido para uma força proporcional ao inverso da distância. De qualquer modo, embora muito perto da solução que Newton virá a encontrar, seria impossível ao astrónomo polaco vislumbrá-la, pois a sua força magnética não é de forma alguma uma alternativa para a gravitação: «(...) ela não é responsável pela manutenção dos planetas nas suas órbitas (...) para Kepler, tal como para Aristóteles, o movimento circular é um movimento simples e natural (...)»16. Descartes substituia o virtus movens de Kepler pelo seu éter pleno de vórtices. O filósofo francês renegava a interacção à distância no vazio, substituindo todo o espaço por qualquer coisa como um líquido cheio de turbilhões que seriam os responsáveis pelo transporte dos planetas no seu movimento em torno do Sol. Embora senhor de ferramentas analíticas para tratar os problemas geométricos, Descartes não fez qualquer tentativa para explicar as célebres Leis de Kepler, no sentido de as adaptar ao seu sistema. Hooke num artigo publicado em 1674 e intitulado Uma tentativa para provar o Movimento anual da Terra aderia, sem qualquer prova, à 15 DUGAS, René, 1988, A History of Mechanics, New York, Dover Pub., p.215. 16 KOYRE, Alexandre, op. cit., p.16. 36 hipótese de acção à distancia entre os planetas17: «Todos os corpos celestes sem excepção exercem o poder de atracção ou peso dirigido para o seu centro; em virtude do qual não só retêm as suas próprias partes evitando que escapem, como é o caso da Terra, mas também atraem todos os corpos celestes que se encontram dentro da sua esfera de actividade. Assim, por exemplo, não só o Sol e a Lua actuam no sentido de fazer progredir o movimento da Terra, tal como a Terra actua sobre eles, mas também Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno têm, devido ao seu poder atractivo, uma influência considerável no movimento destes corpos». Hooke acabou por defender, influenciado pela analogia óptica, que o valor da atracção variava na razão inversa do quadrado da distância. Halley, segundo parece o grande responsável pela publicação dos Principia, aplicou alguns teoremas enunciados por Huyghens sobre a força centrífuga, publicados sem demonstração no final da obra Horologium Oscillatorum, à hipótese de Hooke e assumindo a terceira lei de Kepler ( a T 3 2 = constante), concluiu sobre a lei do inverso do quadrado da distância. Tudo indica que Newton estaria na posse de todos as hipóteses necessárias para inferir a sua célebre lei. Analise-se, nos seus primeiros passos, como Newton conduziu de uma forma matemáticamente rigorosa a relação entre as Leis de Kepler e a expressão analítica da Força da gravidade. 17 in, DUGAS, René, op. cit., p.216. 37 5. Os Principia e as Leis de Kepler No primeiro teorema da Secção II, Proposição I, estabelece-se que um corpo sujeito à acção de uma força central tem que obrigatoriamente obedecer à segunda lei de Kepler (a linha que une os planetas ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais) e que a sua órbita é plana. Na Proposição II prova-se a afirmação recíproca. Está encontrada (provada) a Segunda Lei de Kepler. Na Proposição IV (Teorema IV) e nos nove corolários que lhe estão associados, são afirmados os resultados decorrentes do movimento circular descrito por acção da força centrípeta, comentando Newton no Escólio: «O caso do sexto corolário obtido para os corpos celestes (tal como Sir Christopher Wren, Dr.Hooke e Dr.Halley observaram cuidadosamente), e portanto no que se segue tenciono tratar de uma forma mais ampla as questões que estão relacionadas com o decréscimo da força centrípeta com o quadrado da distância ao centro (...)»18e, referindo-se a Huyghens, no seu «excelente livro De Horologio Oscillatorio, comparou a força da gravidade com as forças centrífugas dos corpos em movimento de revolução»19. Na secção III, composta pelas proposições XI à XXIX, é tratado o movimento dos corpos ao longo de trajectórias que constituem secções cónicas, demonstrando-se que, no caso do corpo estar sujeito à acção atractiva de uma força central, esta variará na razão inversa do quadrado da distância entre a posição do corpo e o centro da força. Na Proposição 18 NEWTON, Isaac, Principia, p.46. 19 Ibid., p.46. 40 Está encontrada (provada) a Primeira Lei de Kepler que satisfaz não só elipses como hipérboles e parábolas. Após ter estabelecido a relação entre uma força central, variando na razão inversa do quadrado da distância, e os movimentos ao longo de secções cónicas dos corpos a ela sujeitos, Newton enuncia na Proposição XV (Teorema VII) a proporcionalidade entre os cubos dos semi-eixos maiores das órbitas elípticas e os quadrados dos tempos gastos em percorrê-las, quando o corpo está sujeito a uma força dirigida para um dos focos e é proporcional ao inverso do quadrado da distância. Está encontrada (provada) a Terceira Lei de Kepler. As três Leis de Kepler são uma consequência das Leis de movimento, aceitando ainda a hipótese de que a força responsável pelo movimento é central e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Apesar de se garantir a proporcionalidade, ainda não foi calculada a sua constante, logo, na integra, não foi ainda estabelecida a Lei da Gravitação Universal. 6. A Gravidade No Livro I dos Principia, Newton apresenta os conceitos, relaciona-os e estabelece as principais conclusões do seu modelo matemático; o problema das forças centrais não passa de uma hipótese que serve para sustentar diversos teoremas, mas nada é dito sobre a relação dos resultados atingidos e o comportamento da natureza. Newton edificou todo o seu sistema físico-matemático, mas é no Livro III dos 41 Principia, intitulado O Sistema do Mundo, que vai aplicar as conclusões teóricas ao estudo dos fenómenos naturais. Este livro abre com as Regras de Raciocínio em Filosofia, são quatro e o propósito da sua apresentação corresponde aos seguintes objectivos: o número de causas explicadoras de um dado fenómeno natural deve sempre ser tomado no seu valor mínimo (Regra I); deve assumir-se que efeitos similares são provocados por causas idênticas (Regra II); as qualidades comuns a todos os corpos, determinadas pela experiência, devem ser entendidas como as propriedades dos corpos estendidas a todo o universo (Regra III); na natureza devem ser entendidas como verdadeiras as conclusões que se extraem através da indução geral, até serem refutadas por um qualquer fenómeno (Regra IV). Segue-se uma lista de dados sobre fenómenos astronómicos: características das órbitas dos satélites de Júpiter e o seu acordo com as Leis de Kepler; o mesmo para os satélites de Saturno; identicamente para os planetas do sistema solar. Baseado nos resultados do Livro I (Proposições II e IV), bem como nos dados astronómicos previamente expostos, Newton, nas Proposições I, II e III, mostra que as forças que actuam sobre os planetas são centrais, orientadas para o foco da trajectória e variam na razão inversa do quadrado da distância. Na Proposição IV (Teorema IV) onde se enuncia, «A Lua gravita em direcção à Terra, e pela força da gravidade é continuamente afastada do seu movimento rectilíneo e mantida na sua órbita»23, Newton, 23 NEWTON, Isaac, Principia, p.407. 42 recorrendo aos dados astronómicos apresentados por vários autores (Ptolomeu, Huygens, Copérnico, Street, Tycho), conclui que «(...) a força pela qual a Lua é mantida na sua órbita torna-se, à superfície da Terra, igual à força da gravidade que aí observamos nos corpos pesados (...) portanto (pela Regra 1 e 2) a força pela qual a Lua é mantida na sua órbita é a mesma força que comummente designamos de gravidade (...)»24. De acordo com a demonstração feita pelo seu autor, onde são exibidos argumentos numéricos, o objectivo desta proposição é sobretudo mostrar que é a mesma, a força que é responsável pela queda dos corpos para a Terra, bem como a outra que aguenta a Lua na sua órbita. No Escólio a esta proposição, Newton ilustra o uso das suas Regras de Raciocínio em Filosofia com que abre o Livro III: se ambas as forças referidas (gravidade dos corpos pesados e força central actuando sobre a Lua) possuem a direcção do centro da Terra e têm o mesmo valor então deverão possuir a mesma causa (regra 1 e 2)... A conclusão exposta nesta última proposição é generalizada para os satélites dos vários planetas nas Proposições V e VI. Na Proposição VII escreve: «Existe o poder de gravidade pertencendo a todos os corpos, proporcional em várias quantidades à matéria que eles contêm»25. Está definida a constante de proporcionalidade como uma função da massa gravítica; é nesta proposição que Newton enuncia a Lei da Gravitação Universal e, como assinala Chandrasekhar26, das cartorze proposições 24 Ibid. p.408. 25 Ibid. p.414. 26 .CHANDRASEKHAR, S., 1995, Newton's Principia for the common reader, Oxford, Clarendon Press.