Potenciação

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar. Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16            ↓ Fatores iguais. Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma: A base sempre será o valor do fator. O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto.

Como se lê uma potência

Toda potência tem a sua forma de representação, assim, possui também uma leitura específica que irá depender do valor do expoente. Veja como é feita a leitura das potências. 51 = cinco elevado a potência um ou cinco elevado a um. 42 = quatro elevado a potência dois ou quatro elevado a dois ou quatro elevado ao quadrado ou quadrado de nove.

83 = oito elevado a terceira potência, oito elevado a três ou oito elevado ao cubo ou cubo de oito. 94 = nove elevado a quarta potência, nove elevado a quarta. 25 = dois elevado a quinta potência ou dois elevado a quinta. Quando o expoente é igual a 2 ou 3 chamamos de quadrado ou cubo, essa denominação veio do cálculo da área de um quadrado que é o produto de dois fatores iguais (lados iguais) e do volume do cubo que é o produto de três fatores iguais (comprimento, largura e altura). Observação: A base de uma potência pode assumir qualquer valor real como o expoente também, ou seja, a base ou o expoente podem ser representados em forma de fração, número decimal, número negativo. Exemplo: Considere a potência 54 = 625, agora faça a identificação de seus elementos: 5 é a base 4 é o expoente 625 é a potência Exemplo: Veja como calculamos algumas potências: 302 = 30 . 30 = 900 123 = 12 . 12 . 12 = 1728 104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10000

Potência de base inteira

Quando trabalhamos com base sendo números inteiros é necessário obedecer algumas regras no cálculo da potência. O cálculo da potência de base de número inteiro é dividido em base positiva e base negativa. • Base positiva Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. (+2)5 = +2 . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = 32 Como a base é positiva podemos escrever essa mesma potência sem representação do sinal de +. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 • Base negativa Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação. (-5)3 = (-5) . (-5) . (-5) = - 125 Como estamos multiplicando uma quantidade ímpar de fatores e todos eles são negativos a potência (resultado) também será negativa, ou seja, sempre que o expoente for ímpar e a base negativa a potência será negativa. (-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81 Nesse caso, a potência (resultado) ficou positiva, pois quando multiplicamos quantidades pares de fatores negativos a potência sempre será positiva, ou seja, quando a Base for negativa e o expoente for par a potência será positiva. Exemplos: (-15)2 = 225 (-3)3 = -27

Potenciação de monômio

São várias as propriedades que formam as regras de potenciação de números reais, duas delas irão ajudar na compreensão da resolução de potência que envolve monômio. Essas propriedades dizem o seguinte: Potência de um produto (a . b)m = am . bm Potência de potência (am)n = am . n Iremos aplicar essas duas propriedades no cálculo de potência de monômios. Por exemplo: Esses exemplos têm como resultado monômios, veja uma potenciação de monômio onde o resultado não será um monômio e sim, uma fração algébrica. Dessa forma, podemos dizer que sempre que o expoente for negativo o resultado da potência será uma fração algébrica.

Expressões numéricas envolvendo potência

Para chegarmos ao valor numérico de uma expressão numérica é preciso obedecer às regras de resolução de uma expressão numérica e quando encontramos em sua estrutura uma potência é preciso dar preferência a ela. Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura. Exemplo: • 3 . {43 – [5 . 60 + 7 . (92 – 80)]} Nessa expressão numérica iremos resolver as potências 43, 60 e 92 antes de qualquer outra operação. 3 . {64 – [5 . 1 + 7 . (81 – 80)]} Depois de eliminar todas as potências, é preciso aplicar as regas de resolução. 3 . {64 – [5 + 7 . 1 ]} 3 . {64 – [5 + 7]} 3 . {64 – 12} 3 . 52 156 • (33 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (32 . 2 + 10)2]} Nessa expressão numérica iremos resolver as potências 33 e 32 antes de qualquer outra operação. (27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)2]} Para resolvermos as potências (9 + 3 . 7)2 e (9 . 2 + 10)2 é preciso resolver as operações que estão dentro dos parênteses. (27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)2]} 2304 : {4 . [800 -784]} 2304 : {4 . 16} 2304 : 64 36

Potência especial

Existem algumas potências que possuem bases e expoentes que facilitam o cálculo do seu resultado. Potência de expoente 1. Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à base. 51 = 5 251 = 25 Potência de expoente zero. Sempre que o expoente for igual a zero o seu resultado será igual a 1. 20 = 1 50 = 1 (-10)0 = 1 650 = 1 Deduzimos que toda potência de expoente zero é igual a 1, porque ao efetuarmos a divisão de potências de bases iguais e expoentes iguais, chegamos a valores diferentes veja: 43 : 43 = 43 – 3 = 40 43 : 43 = 1 Utilizamos dois métodos diferentes para a resolução da mesma divisão e encontramos dois resultados diferentes, portanto, concluímos que: 40 = 1 Assim, é possível concluir que toda potência de expoente zero será igual a 1.

Potência de base 10 Sempre que uma potência tiver base igual a 10 seu resultado será igual a 1, seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoentes. 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000

Propriedades das potências

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos. Produto de potência de mesma base Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma: 22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32 Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes. 22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32 51 . 53 = 51 + 3 = 54 = 625 Quocientes de potências de mesma base Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma: 128 : 126 = 429981696 : 2985984 = 144 Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes. 128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144 (-5)6 : (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625 Potência de Potência Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja: (32)3 = (3 . 3)3 = 93 = 9 . 9 . 9 = 729 Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja: (32)3 = 32 . 3 = 36 = 729 (-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81 Potência de um produto Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade: (3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4) (3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 (3 x 4)3 = 27 x 64 (3 x 4)3 = 1728 Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim: (3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728

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