Topografia aplicada a ngenharia civil

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(Parte 2 de 12)

O processo de intersecção de retas pode ser de dois tipos: por intersecção de retas oblíquas e por intersecção de retas perpendiculares.

1.2. Intersecção de Retas Oblíquas

Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas retas como mostra a figura 1 onde os elementos conhecidos são:

Coordenadas do ponto A (NA, EA) Coordenadas do Ponto B (NB, EB) Azimute da linha AI (AzA) Azimute da linha BI (AzB)

E os elementos procurados:

Coordenadas da Intersecção (NI, EI)

(NB-EB)AzA

AzB

Figura 1. Intersecção oblíqua de duas retas

Departamento de Geodésia – IG/UFRGSPorto Alegre/RS

Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2006 / 8ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa

AAIEEE∆+=(1) AAINNN∆+= (3)
BBIEEE∆+=(2) BBINNN∆+= (4)

A partir da figura 1 podemos dizer:

AAIAtgAzNNE)(−=∆(5)
BBIBtgAzNNE)(−=∆(6)

logo: substituindo-se as equações (5) e (6) nas equações (1) e (2) temos:

AAIAItgAzNNEE)(−+=(7)
BBIBItgAzNNEE)(−+=(8)

analogamente podemos dizer:

AAIAgAzEENcot)(−=∆(9)
BBIBgAzEENcot)(−=∆(10)

substituindo-se as equações (9) e (10) nas equações (3) e (4) termos:

AAIAIgAzEENNcot)(−+=(1)
BBIBIgAzEENNcot)(−+=(12)

Igualando-se as equações (7) e (8) temos:

BBIBAAIA tgAzNNEtgAzNNE )()( −+=−+ BBBIBAAAIA tgAzNtgAzNEtgAzNtgAzNE −+=−+

BA I tgAztgAz tgAzNEtgAzNE N

da mesma maneira se igualarmos as equações (1) e (12) temos:

BBIBAAIA gAzEENgAzEEN cot)(cot)( −+=−+ BBBIBAAAIA gAzEgAzENgAzEgAzEN cotcotcotcot −+=−+

)cot(cot)cot()cot( ABIBBBAAA gAzgAzEgAzENgAzEN −=−−− logo:

BA I AzgAzg gAzENgAzEN E

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1.3. Intersecção de retas Perpendiculares

Seja determinar as coordenadas métricas de um ponto situado na intersecção de duas retas como mostra a figura 2 onde os elementos conhecidos são:

Coordenadas do ponto A (NA, EA) Coordenadas do Ponto B (NB, EB) Azimute da linha AI (AzA)

E os elementos procurados:

Coordenadas da Intersecção (NI, EI)

I AzA

Figura 2. Intersecção perpendicular de duas retas Da figura 2 podemos dizer que:

AAIAtgAzNNE)(−=∆(1)

como

A gAzAztg cot) 2

)cot)((ABIBgAzNNE−−=∆(3)

substituindo-se na equação (2) temos: como

AAIEEE∆+=BBIEEE∆+=

substituindo-se os valores das equações (1) e (3) temos:

AAIAItgAzNNEE)(−+=(4)
)cot)((ABIBIgAzNNEE−−+=(5)

igualando-se as equações (4) e (5) temos:

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)cot)(()( ABIBAAIA gAzNNEtgAzNNE −−+=−+ ABAIBAAAIA gAzNgAzNEtgAzNtgAzNE cotcot +−=−+ AIAIBABAAA gAzNtgAzNEgAzNtgAzNE cotcot −−=−−− multiplicando-se por (–1) temos:

AIAIBABAAA gAzNtgAzNEgAzNtgAzNE cotcot +=+++− logo:

ABAAAB I gAztgAz gAzNtgAzNEE N cot cot+

AAIAItgAzcoEENN)(−+=(6)

de maneira análoga temos:

onde:

igualando-se as equações (6) e (7) temos:

))((cot)( ABIBAAIA tgAzEENgAzEEN −−+=−+ ABAIBAAAIA tgAzEtgAzENgAzEgAzEN +−=−+ cotcot

AIAIBABAAA tgAzEgAzENtgAzEgAzEN −−=−−− cotcot

ABAAABAAI tgAzEgAzENNtgAzgAzE ++−=+ cot)(cot logo:

ABAAAB I tgAzgAz tgAzEgAzENN E

cot cot

1.4. Exercícios Aplicativos:

1) Seja determinar as coordenadas métricas do ponto de intersecção entre duas retas oblíquas que apresentam as seguintes coordenadas e azimutes em seus pontos extremos:

NA=6.848.967,807mNB=6.849.025,357m
EA=673.040,056mEB=673.165,305m
AzA=182º28’16”AzB=209º0’0”

2) Seja determinar as coordenadas métricas do ponto de intersecção entre duas retas perpendiculares que apresentam as seguintes elementos:

NA=6.848.967,807mNB=6.848.860,703m
EA=673.040,056mEB=673.185,382m
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