Divisibilidade e números inteiros

Divisibilidade e números inteiros

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Divisibilidade e Números Inteiros

Introdução à Aritmética Modular Samuel Jurkiewicz

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Sobre o Autor

Samuel Jurkiewicz é carioca e Doutor em Matemática pela Universidade Pierre et Marie, em Paris. Atualmente é professor da Escola de Engenharia da UFRJ. Já atuou como docente em todos os níveis, inclusive no pré-escolar. Além do ensino de graduação e pós-graduação, tem desenvolvido atividades junto a professores e alunos do Ensino Médio através de oficinas de Matemática Discreta.

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Sumário

1.1 Múltiplos, Fatores e Divisores9

1 Divisão de Números Naturais 4 1.2 Critérios de Divisibilidade e o Sistema de Numeração . 1

tenciação31
1.4 Números Primos e Números Compostos36
1.5 Infinitude do Conjunto dos Números Primos41
1.6 Número de Divisores45
1.7 Um Tema Avançado: Números Perfeitos49
1.8 Maior Divisor Comum51
1.9 Algoritmo de Euclides54
1.10 Menor Múltiplo Comum56
1.1 Um Truque de Divisibilidade62
1.12 Uma Aplicação Geométrica63

1.3 Outras Propriedades dos Restos: Multiplicação e Poi

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SUMÁRIO i

2 Aritmética Modular 67

3 Material Complementar 89 A Para saber mais 130

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Antes de começar

Caros Colegas, Professores e Estudantes

É com grande satisfação que levamos às suas mãos este primeiro volume de uma série destinada a acompanhá-los durante o estágio de premiação da I Olimpíada de Matemática da Escola Pública. O principal motivo desta satisfação é saber que as mãos que irão recebê-lo são de pessoas que gostam de pensar, praticar, descobrir e se divertir com a Matemática.

Isso representa para nós grande responsabilidade: a de manter vivo esse gosto pelo conhecimento e pelo estudo. Aqueles que estão recebendo este material mostraram, além de competência, que o prazer de aprender e de resolver problemas já está presente. Nossa intenção é fazer com que este sentimento cresça e se espalhe. Felizmente, a Matemática nos oferece muitas escolhas e não nos faltaria assunto para muitas páginas.

Ao pensar que tipo de material seria adequado, tivemos em mente três aspectos: o conteúdo, a forma e a profundidade adequadas. No caso do conteúdo pensamos em abordar temas clássicos, como a Di-

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2 SUMÁRIO visibilidade, a Geometria, os Conjuntos Numéricos; temas menos frequentes no currículo habitual, como a Combinatória; e alguns temas ligados à fundamentação da Matemática como a argumentação lógica. Nossa intenção é contemplar, sempre que possível, aspectos originais da Matemática que por diversos motivos não se encontram facilmente nos livros didáticos do Ensino Fundamental. Claro, não poderemos fugir aos conhecimentos centrais da Matemática, mas procuraremos nos valer de sua versatilidade para oferecer material que desperte interesse além do que já conhecemos.

Na questão da forma, os fascículos terão sempre algumas características comuns: exposição de conteúdos, exercícios resolvidos, exercícios propostos, propostas de atividades e curiosidades relativas ao tema em estudo.

O ponto mais delicado é o da profundidade, por estarmos nos dirigindo a uma população com idades e história escolar bastante diversificada. É certamente um desafio oferecer material que seja adequado a todos. Optamos por dividir o material em duas partes, com dificuldades variadas. Um primeiro exemplo é este volume que vocês têm em mãos.

A divisibilidade, a decomposição em números primos, a divisibilidade, a obtenção do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum, tudo isto é bem familiar aos alunos do Ensino Fundamental. Nossa experiência, entretanto, nos faz acreditar que este é um aspecto fundamental da Matemática que vale a pena revisitar. Um motivo adicional é o renovado interesse sobre estes assuntos na Matemática Superior e nas aplicações computacionais, como a Criptografia e a codificação de informações. Este é o material da primeira parte.

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SUMÁRIO 3

A segunda parte se dedica à Aritmética Modular, que será novidade para a maior parte dos alunos. Ela se apóia nos conteúdos fundamentais de que falamos, mas trazendo um aspecto generalizador que é a base da Álgebra abstrata moderna. Procuramos manter esta parte em nível acessível, trabalhando “passo a passo”.

Procuramos fazer o melhor mas certamente o trabalho terá falhas. Sugestões e críticas são benvindas. Mais ainda, incentivamos o professor a complementar o trabalho com suas próprias idéias, uma vez que o assunto é vasto e rico de aspectos interessantes que não caberiam num fascículo deste porte. Ao estudante lembramos que nada substitui a iniciativa e a imaginação. Não se contentem com o que já sabem, peçam mais de seus professores e procurem mais nos livros.

Espero que estas páginas sejam úteis a todos, e espero receber notícias.

Um abraço

Samuel Jurkiewicz jurki@pep.ufrj.br

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Capítulo 1

Divisão de Números Naturais

Se quisermos dividir 3 queijos por duas pessoas não teremos problemas, cada pessoa ficará com 1 queijo e meio. A operação matemática que fizemos foi dividir 3 por 2:

Observação. Podemos indicar a divisão com os símbolos /, : e ÷ . Usaremos 5: 7 para indicar “5 dividido por 7”.

Mas nem todos os problemas podem ser resolvidos com divisões fracionárias. Se quisermos dividir 27 livros por 4 alunos, não temos a opção de cortar um livro em pedaços. Por isso, é interessante que estudemos as divisões com números naturais. Nas páginas seguintes estaremos falando sempre de números inteiros, positivos ou negativos.

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N = {1,2,3,4,} mas o zero será utilizado pois tem um papel impor-
bém com o conjunto dos números inteiros negativos, {−1,−2,−3,}.

Aqui vale a pena fazer uma observação: o conjunto N dos números naturais é o conjunto dos números que usamos para contar. Muitos professores incluem o 0 (zero) no conjunto N, mas isso não é obrigatório. No nosso caso o conjunto dos números naturais será tante. Então você verá frequentemente este conjunto expresso como N ∪{ 0} (os naturais e o zero). Em alguns casos, trabalharemos tam- Vamos então voltar ao problema de dividir os livros.

Vamos colocar um livro de cada vez na pilha do aluno 1, depois na pilha do aluno 2, depois na pilha do aluno 3 e depois na pilha do aluno 4. Voltamos ao aluno 1 e assim por diante. Quando paramos? Paramos quando, depois de colocar um livro para o aluno 4, sobram menos do que 4 livros. No nosso caso cada aluno ficou com 6 livros e ainda sobraram 3 livros. Essa situação pode ser retratada matematicamente como:

Note que podemos descobrir o número de livros que tínhamos no começo se soubermos:

• quantos alunos receberão livros (4); • quantos livros cada aluno recebeu (6);

• quantos livros sobraram (3).

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Observação. Embora seja bastante comum simbolizar a multiplicação por um ponto (como em 7 · 8= 56)u saremosc om freqüência os ímbolo × (como em 7 × 8= 56). Em geral, só usaremos o ponto para indicar multiplicação entre símbolos literais.

Estamos prontos para entender o que é a divisão entre números naturais. Temos:

• um número que queremos dividir (chamado de dividendo -n o nosso caso, o 27);

• um número que vai dividir o dividendo (chamado de divisor - no nosso caso, o 4). Lembre-se: o divisor é sempre diferente de 0;

• o maior número de vezes que conseguimos colocar o divisor dentro do dividendo (chamado de quociente ou resultado -n o nosso caso, o 6);

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