Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

(Parte 1 de 3)

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Notas de aula

Professor: Altemir José Borges

Curitiba Agosto de 2006

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Definição: Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres. Exemplos:

b) xeydxdydx

c) xdxdydx

Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do exemplo d é uma equação diferencial parcial.

Ordem: Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem.

Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o exemplo c é do terceiro grau.

Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular.

Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias.

Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) xyy6'''5−=+, sujeita às condições

Chama-se solução singular de uma equação diferencial à envoltória1 da família de curvas integrais.

Teorema da existência: A equação ),(yxgdx dy= admite solução se:

• g(x,y) é contínua e unívoca em uma região D de pontos (x,y). • yg∂∂existe e é contínua em todos os pontos de D.

_ 1 Envoltória de uma família de curvas é a uma curva tangente a todas as curvas da família.

Exercícios: 1. Mostre, por substituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas:

e) xxBxAxyln2ln+++=, xydx dyxdx ydx ln 2

2. Determine uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:

d) x2xBeAey+= e) Cyy x+=1ln

3. Encontre uma equação diferencial da família de circunferências de raio 5 e de centros sobre o eixo dos x.

4. Nas equações diferenciais a seguir, substitua rxey= para determinar todos os valores de r para

5. Nos exercícios seguintes, uma função y=g(x) é descrita por alguma propriedade geométrica de seu gráfico. Escreva uma equação diferencial da forma y’=f(x,y), tendo a função y=g(x) como solução: a) A inclinação (declividade) do gráfico de g no ponto (x,y) é a soma de x e y. b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto (x,y) intercepta o eixo dos x em (x/2,0). c) Cada reta normal ao gráfico de g passa pelo ponto (0,1). d) A reta tangente ao gráfico de g em (x,y) passa pelo ponto (-y,x).

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU:

Neste estudo vamos dividir as equações de 1a ordem e 1o grau, para um melhor entendimento, em alguns tipos.

1°TIPO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

A equação de 1a ordem e 1o grau 0dy)y,x(Ndx)y,x(M=+ será de variáveis separáveis se: • M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

• M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Resolução:

Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos separar a variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dx como sendo uma função exclusiva da variável x e o coeficiente da diferencial dy como sendo uma função exclusiva da variável y, e então integrarmos cada diferencial.

Exemplo:

Determine a solução geral da equação diferencial xydx dycos3=

Solução: Primeiramente devemos escrever a EDO na forma de uma diferencial.

xdxydycos3=

Vamos determinar um fator integrante2 que separe as variáveis, que será:

Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante, vem:

xdxy dycos3=

Integrando ambos os membros, teremos:

Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis.

2 Fator integrante é um fator que quando multiplicado em ambos os membros da equação separará as variáveis ou transformará a equação num modelo conhecido.

dxxy

28. )cos(yxdx dy+= (Dica: Faça x+y=t)

32. Encontre as soluções singulares da equação dydxyx=−21

2. Cy x=

2° TIPO: EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

Definição: A função definida por z=f(x,y) será uma função homogênea de grau m se tivermos f(λx,λy)= λmf(x,y). Exemplos:

a) f(x,y)=2x3+5xy2 é homogênea de grau 3, pois f(λx,λy)=2(λx)3+5λx.(λy)2=λ3f(x,y). b) f(x,y)=yex/y é homogênea de grau 1, pois f(λx,λy)=λyeλx/λy=λf(x,y).

Definição: A equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 será chamada de equação diferencial homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. Resolução:

7 Se Mdx + Ndy = 0 for uma equação diferencial homogênea, então ela poderá ser escrita da

yfdx dy, onde a mudança de variáveis x yt= irá separar as variáveis.

Exemplo:

Como as funções M(x,y)=2x2-3y2 e N(x,y)=-6xy são funções homogêneas de grau 2, então a equação dada é homogênea.

Fazendo x yt=, ou y=x.t (1) e diferenciando, teremos dy=x.dt+t.dx (2). Substituindo (1) e

Separando as variáveis, resulta: 0 dttx dx.

Voltando para as variáveis x e y: Cx yx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

Impondo a condição inicial y(1)=1/3, teremos a solução particular: 19223=−xyx

Resolva as seguintes equações:

xy xydxdy+−=

3° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A HOMOGÊNEAS OU A EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. Exemplos:

Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente.

Analisando as somas das variáveis, vemos que 2x-6y é proporcional a x-3y, logo se fizermos x-3y=t as duas somas deixarão de existir. Assim:

Diferenciando (1), teremos: dtdydx=−3, ou dydtdx3+= (2)

Voltando para as variáveis x e y, teremos a solução geral: Cyxyx =−−+− )103ln(72

yx yxdx dy

Escrevendo a equação diferencial na forma de uma diferencial, teremos: 0)243()13( =−+−−− dyyxdxyx

Observemos novamente que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente.

Como as somas x-3y e 3x+4y não são proporcionais, não é possível eliminar estas somas simultaneamente. Logo deveremos eliminar os termos independentes e transformar a equação em homogênea, que equivale a efetuar uma translação de eixos.

Determinando a solução do sistema de equações ⎩⎨⎧ =−+ yx obteremos as

10P. Logo a translação

1310 irá eliminar os

termos independentes.

Substituindo as fórmulas de translação e suas respectivas diferenciais na equação diferencial teremos:

Reduzindo os termos semelhantes, vem: 0)43()3(=+−−dvvuduvu, que é homogênea, cuja solução é:

Resolver as seguintes equações através de uma mudança adequada de variáveis:

v P

4° TIPO: EQUAÇÕES EXATAS Forma : A equação Mdx+Ndy=0 será uma equação diferencial exata , quando existir uma função f(x,y)=C tal que df=Mdx+Ndy = 0 ou se a relação xNyM∂∂=∂∂for verdadeira. Resolução: Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja z=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por dyy fdxx fdz∂∂+∂∂= (2). Então, comparando (1) e (2) teremos:

Para obtermos a sua solução z=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), em relação à variável x, da qual teremos ∫+=)(),(),(ygdxyxMyxf(5).

Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: )(' ),(

yxNyg

∂∫. Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos 1 dxyxM

Cdy y dxyxM

Inicialmente vamos verificar a que modelo esta equação pertence. i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis x e y, i. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferenciais não são funções homogêneas, i. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação xNyM∂∂=∂∂.

Como a condição xNyM∂∂=∂∂ é verificada temos que a equação é exata.

fdf, assim comparando com a equação

dada teremos ),(yxMx f=∂∂ ou yxx f232+=∂∂, que integrado parcialmente em relação a x resulta

integrado nos fornece yyyg52)(2+−=. Daí a solução f(x,y)=C fica:

Resolver as seguintes equações diferenciais: 1) 02)(2=−−xydydxyx

yxyy

yx

5° TIPO: EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A EXATAS

Na equação Mdx+Ndy=0, quando as derivadas parciais yM∂∂ exN∂∂ diferirem, muitas vezes pode-se determinar um fator integrante que irá transformar a equação dada numa equação exata. Vejamos o exemplo:

Primeiramente, é sempre importante verificar a que modelo esta equação pertence: i. Ela não é de variáveis separáveis porque temos soma das variáveis. i. Ela não é homogênea porque os coeficientes das diferencias são polinômios que não têm os mesmos graus.

i. Para verificarmos se a equação é exata vamos utilizar a relação xNyM∂∂=∂∂.

N a equação também não é

exata.

Agora vamos determinar um fator integrante, isto é, um fator que ao se multiplicar ambos os membros da equação a transforme em exata. Seja ),(yxλ este fator integrante.

A equação parcial acima admite infinitas soluções, dependendo da função λ. No entanto, necessitamos de somente um fator integrante e preferencialmente o mais simples. Assim, vamos impor a condição que o fator integrante seja uma função somente de x, isto é 0=∂∂y λ, pois nos interessa neste exemplo anular o termo que possui as duas variáveis x e y. Logo, teremos:

Separando as variáveis e integrando teremos um fator integrante:

Multiplicando ambos os membros da equação dada pelo fator integrante, resulta:

xy

021)( 2 =+− dyxdxx xy, que é exata e terá solução geral igual a:

Através do processo anterior podemos determinar os seguintes fatores integrantes para a equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1):

i. Se )(xfN xNyM yMxN

i. Se 0≠+NyMx e (1) é homogênea então NyMx+1 é um fator integrante.

Resolva as seguintes equações diferenciais, mediante o uso de um fator integrante adequado: 21) 0)1(2=++dyxydxy 26) ()0ln=++xdyxdxyx

14 RESPOSTAS

Equações exatas.

6° TIPO: EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM

Conceito: As equações da forma )()(xQyxPdx dy=+ (1), onde P e Q são funções de x ou constantes, são chamadas de equações lineares de 1a ordem. Quando Q(x)=0 a equação será chamada de linear homogênea, devido a analogia com os sistemas de equações algébricas lineares homogêneos, ou seja, aqueles que possuem termo independente igual a zero.

Resolução: 1. Método de Lagrange ou da substituição. A equação linear será resolvida através da substituição tzy.= (2) que irá separar as variáveis, onde z=z(x) e t=t(x) são funções a determinar. Derivando ambos os membros de (2) em relação à x e substituindo em (1), teremos

)()( xQztxPzdx dttdx

Fatorando t no primeiro membro (3) vem: Qzdx dtPzdx dz, teremos: ∫=−Pdx ez, onde P=P(x) e Q=Q(x).

CQdxeey PdxPdx. que é a solução geral da equação linear.

2. Fator de integração

O fator ∫=dxxPe )(λ transformará a equação (1) numa equação diferencial exata, isto é:

Escrevendo (1) com diferenciais, vem ()0=−+dxQPydy. Quando multiplicada pelo fator integrante λ, resultará na equação exata 0..=⎟⎠⎞⎜⎝ ⎛ ∫−∫+∫ dxeQyePdye PdxPdxPdx .

Resolva as seguintes equações diferenciais:

23. θ=θ+θcossecrd dr

26. ERidt diL=+, sendo L, R e E constantes,

32. Encontre uma solução contínua satisfazendo )(xfydx dy=+, em que ⎩⎨⎧> a condição y(0)=0

16 RESPOSTAS

e y

7° TIPO: EQUAÇÕES DE BERNOULLI Conceito:

As equações da forma nyxQyxPdx dy)()(=+ (1) com 1≠n, onde P e Q são funções de x ou constantes, são chamadas de equações de Bernoulli.

Resolução: Para resolvermos a equação de Bernoulli iremos transformá-la numa equação linear multiplicando ambos os membros de (1) por y-n, o que implicará em )()(1xQyxPdx dyynn=+−−

(2).

Como exemplo da equação de Bernoulli, podemos citar um modelo empírico usado para a determinação do peso de peixes, que é a equação de Von Bertalanffly,

onde p é peso de cada peixe em função do tempo t, α é a constante de anabolismo, isto é, a taxa de síntese de massa por unidade de superfície do peixe e β é a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuição da massa por unidade de massa.

Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Respostas:

6. Cxy x=−ln

12. Cxy

8° TIPO: EQUAÇÕES DE RICCATI Conceito:

As equações da forma )()()(2xRyxQyxPdx dy+=+ (1), onde P, Q e R são funções de x ou constantes, são chamadas de equações de Riccati.

Resolução: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular oyy= qualquer de (1), na qual a mudança de variáveis oyzy+= irá eliminar o termo independente R(x) transformando a equação de Riccati numa equação de Bernoulli.

Resolva as seguintes equações de Riccati, onde y1 é uma solução conhecida para a equação:

1. xxyxydx

2. xyxxydx

5. x y

6. xxxeyyeedx

7. xxyxy xdx

Respostas:

2. Cx

6. xxCe

7. Cx

9° TIPO: SUBSTITUIÇÕES DIVERSAS

Tais equações não se enquadram diretamente em nenhum dos modelos anteriores, mas após a aplicação de uma determinada mudança de variáveis elas se transformarão numa equação diferencial conhecida.

Resolva as seguintes equações diferenciais, por uma substituição apropriada:

3) xy

ey xydx

=−4) x

dyx 3 xedx

5) 0)1(=++dyyeydxx6)524xy

exy

7) 0'2=+++xyxyy8) )ln(22cos2tgyxdx

dyyecx−=

Respostas:

20 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE 1a ORDEM E 1o GRAU

1. Determine a equação das curvas que possuem a subnormal constante. 2. Determine a equação das curvas que possuem a subtangente constante. 3. Nos problemas a seguir determine as trajetórias ortogonais de cada família de curvas dadas: a. cxy= h. θcos2cr= i. θ2sen2cr=

4. Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de yceyx=+, que passam por

P(0,5). 5. Um investidor aplica determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo que o aumento é proporcional ao capital existente a cada instante? 6. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 7. Suponha que a população da comunidade do problema 6 anterior seja 10.0 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 8. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas existem 2000. Qual era o número inicial de bactérias ? 9. O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 10. Quando um raio de luz vertical passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua intensidade I decresce é proporcional a I(t), em que t representa a espessura do meio (em metros). No mar a intensidade a 3 m abaixo da superfície é de 25% da intensidade inicial Io do raio incidente. Qual é a intensidade do raio a 15m abaixo da superfície?

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