Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

(Parte 2 de 3)

1. Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30oC? 12. Um termômetro é retirado de uma sala, em que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 15ºF? 13. Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados. A temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa

21 viva é de 36.5oC, prende a secretária. Por que?. No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que? 14. Em um depósito há 100l de uma solução aquosa que contém 10kg de sal. Jogase água neste depósito com uma velocidade de 3l/min ao mesmo tempo em que, através de um orifício desse tanque, a mistura escoa com uma velocidade de 2l/min. A mistura se mantém homogênea por agitação. Que quantidade de sal haverá no tanque 1h depois de iniciada a operação 15. Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantas gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E após um longo tempo? 16. Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal no tanque em qualquer instante. 17. Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontra 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias x(4)= 50. 18. Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de 8m/s, qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de 1m/s? 19. Um bote está sendo rebocado a uma velocidade de 12nós(6,17m/s). No instante em que o cabo do reboque é largado, um homem no bote começa a remar, no sentido do movimento com uma força de 10N. Sabendo que o peso do homem e do bote é 200N e que a resistência ao deslocamento, em N, é de 2.6v, sendo v a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote no fim de 30 segundos. 20. Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 0.5 Henry e a resistência 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero. 21. Achar a equação da curva que passa pelo ponto P(5,6), conhecendo-se a declividade de sua tangente num ponto qualquer yxdxdy3 2=.

2. Achar a equação da curva cuja subtangente seja o dobro da abscissa do ponto de contato. 23. Achar a equação da curva cuja subtangente num ponto P(x,y) seja igual à ordenada de P. 24. Uma curva dada passa pelos pontos (0,0) e (3,9). Achar a sua equação sabendo que a mesma tem a propriedade de dividir o retângulo formado pelos eixos coordenados e pelas retas paralelas a estes, tomadas por um ponto P(x,y), em duas partes, sendo a área de uma dela o triplo da outra. 25. Achar a equação da família de curvas em que a subnormal, num ponto P(x,y) seja igual à abscissa desse ponto.

2 26. Um marca passo, como indicado na figura abaixo, consiste em uma bateria, um capacitor e o coração como resistor. Quando a chave S está em P, o capacitor C é carregado; quando S está em Q, o capacitor R descarregado, enviando um impulso elétrico ao coração. Durante esse tempo, a voltagem E aplicada ao coração é dada por 21 t, 1ttE RCdt dE<<−=, onde R e C são constantes.

Determine E(t) se E(t1)=E0. (É claro que a chave é aberta e fechada periodicamente para simular o batimento cardíaco natural.)

27. Em março de 1987 a população mundial atingiu cinco bilhões, e estava crescendo à taxa de 380 mil pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade constantes, para quando se deve esperar uma população mundial de 10 bilhões de pessoas. 28. É um fato da física que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente em um processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos têm mostrado que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade de elemento presente. Sabe-se que a meia-vida específica do carbono-14 radioativo está em torno de 5730 anos. Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano, que apareceu em 1356, contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O relatório do Museu mostrou que as fibras no pano continham entre 92 e 93% do carbono-14 original. Use esta informação para estimar a idade do sudário. 29. Ache uma curva do plano xy que passa pelo ponto P(0,3) e cuja reta tangente em um ponto qualquer tem inclinação 2x/y2. 30. Uma bala de massa m=3.56x10-3kg é disparada para cima com uma velocidade inicial vo=988m/s, e torna-se mais lenta pela força da gravidade e uma força de resistência do ar de kv2, sendo k=7.3x10-6kg/m. Determine a altura máxima atingida pela bala.(Considere g=9,8m/s2)

Coração R

23 31. Considere um compartimento que contém 3 litros de água salgada. Suponha que água, contendo 25 gramas de sal por litro, esteja sendo bombeada no compartimento a uma taxa de 2 litros por hora, e a mistura, que é homogeneizada continuamente é bombeada para fora do compartimento com a mesma taxa. Encontre a concentração de sal na mistura após 3 horas. 32. Em uma certa floresta tropical, “restos vegetais” (principalmente devido à vegetação morta) se acumulam no solo a uma taxa de 10 g/cm2/ano. Ao mesmo tempo, entretanto, estes restos vegetais se decompõem a uma taxa de 80% ao ano. Determine a quantidade de restos vegetais, em g/cm2, após 5 anos, sabendo-se que inicialmente esta quantidade era de 300g/cm2. 3. Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50ºF, é posto num forno a 375ºF às 5 horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura do assado é de 125ºF. Quando será a temperatura do assado de 150ºF (meio mal passado). 34. Uma pedra é solta a partir do repouso de uma altura h acima da superfície da

Terra. Desprezando a resistência do ar, qual a velocidade com que atinge o solo? 35. Um tanque hemisférico tem raio do topo de 121.92cm e no instante t=0s está cheio de água. Neste momento um buraco circular com diâmetro de 2.54cm é aberto no fundo do tanque. Quanto demorará para que toda a água do tanque tenha escoado? (Dica: Use a equação de Torricelligyadt dyyA2)(−= e g=9,8m/s2 para

chegar a ydt dyyy 6424

36. Um aterrissador lunar está em queda livre em direção à superfície da lua a uma velocidade de 1000mi/h. Seus foguetes retro propulsores, quando disparados no espaço livre, produzem uma desaceleração de 33000mi/h2. A que altura da superfície lunar devem os foguetes retro propulsores ser ativados para assegurar um pouso suave (v=0) no impacto? (Considere gLua=13kmi/h2 e rLua=1,08kmi) 37. Suponha que uma corda flexível de 4 pés de extensão começa com 3 pés de seu comprimento arrumados num monte bem junto à borda de uma mesa horizontal, com o resto pendurado (em repouso) para fora da mesa. No instante t=0 o monte começa a desenrolar e a corda começa gradualmente a cair para fora da mesa, sob a força da gravidade puxando a parte pendurada. Assumindo que as forças de atrito de quaisquer tipo sejam negligenciáveis, quanto tempo levará para toda a corda cair para fora da mesa? (Dica: )()(dt dxvdt dvxdt xvdgx+==ωωω. Você

T, onde 32secxu= que

deverá der resolvida pela Regra de Simpsom com 100 subintervalos ou por integração numérica.)

2) CKx ey+=

a) 222Cyx=+f)Cyx=+3
c) Cyxy++=2ln2h) θsenCr=
d )Cxy+=2i) θ2cos2Cr=

A(∞) = 600 gramas

24) xxy243you 3

Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação diferencial.

Envolvida:

É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução particular da equação.

Envoltória:

É a curva tangente, em cada um dos seus pontos, a uma curva da família de curvas integrais. (Cf. PISKOUNOV N. Cálculo diferencial e integral. V I, Porto: Lopes da Silva, 1984, p. 43).

Equação da envoltória: Seja a família de envolvidas cuja equação é dada por y = f(x, C)0),,(=⇔CyxF, onde C é um parâmetro com as seguintes características: Nas envolvidas, C é uma constante;

25 Na envoltória y = g(x), C é uma função de x e y, ou seja, C=C(x,y)≠constante.

Um ponto P(x,y) pertencente à envoltória também satisfaz a equação F(x, y, C(x,y))=0, pois pertence a certa curva da família.

Neste ponto P(x,y),

edx dy⎟⎠⎞⎜⎝⎛ é a declividade da reta tangente à envolvida e;

Edx dy⎟⎠⎞⎜⎝⎛ é a declividade da reta tangente à envoltória E

Derivando F(x, y, C(x,y))=0 em relação a x, vem: 0=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂xyyCCFxCCFxyyFxxx

F (1)

Nas envolvidas, como C= constante, vem de (1):0 ,0.≠∂

F x dxdydxdyyFx F.

Na envoltória, como em qualquer ponto P (x,y)

0.0=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∂∂∂∂+∂∂∂∂⇒=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂ xyyCxCCFxyyCCFxCC

Como C = C(x,y) ≠ constante, vem que 0=∂∂C F.

Daí, a equação da envoltória é dada resolvendo-se o seguinte sistema:

0=y))C(x, y, F(x, .

1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas, onde α é o parâmetro. Represente num mesmo sistema cartesiano as curvas integrais e sua envoltória:

02) Determinar a envoltória da família de retas que forma com os semi-eixos positivos um triângulo de área constante igual a 20.

e e

Solução singular de uma equação diferencial: Conceito: A solução singular de uma equação diferencial é uma solução que satisfaz a equação, mas não é uma de suas soluções particulares. Geometricamente, a solução singular é representada pela envoltória das curvas integrais, quando esta envoltória existe. Isto decorre do fato de que em cada ponto (x0, y0) da envoltória, o coeficiente angular da reta tangente à envoltória e à curva integral corresponde a dx dy0. Assim, os elementos x0, y0 e dx dy0 em cada ponto da envoltória satisfazem a equação diferencial F(x,y,

dy)=0, uma vez que são sempre elementos de uma linha integral

01) Encontre a solução singular da equação dydxyx=−21.. Represente geometricamente a solução geral e a singular num mesmo sistema cartesiano.

02) Obter a solução geral e singular das seguintes equações:

dyyb) y - x.dx

c) y = 2 dy +

2 2x d) y = x.dx dy - lndx dy

Resposta:

02) a) (x-C)2 + y2 = 1 e y =1± b) y = Cx + C2 e y = - 4 2x c) y = 2 2x +Cx + C2 e y = 4 2x d) y = Cx – lnC e y = 1+lnx e) CxCy4422−= e como solução singular o ponto P(0,0).

27 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E GRAU

DIFERENTE DE 1:

Conceito: São as equações da forma ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=dx dyfdx dyxy.

Resolução: Chamando pdx dy= a equação de Clairaut fica ()pfxpy+=.

Derivando a equação anterior em relação a x, teremos:

dx dppfpdx dpxdx

Logo p=C e a solução geral será: ()CfCxy+=

Derivando a solução geral parcialmente em relação ao parâmetro C, teremos 0)('=+Cfx, que é a condição para obtermos a solução singular.

Resolva as seguintes equações e obtenha uma solução singular: 1. 'ln1'yxyy−+=

dy

dyx

dy

Aplicações: 1. Achar a curva, em que a soma dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k. 12. Achar a curva, em que o produto dos segmentos determinados sobre os eixos cartesianos pela reta tangente seja igual a k.

1. lnx2y, ln1+=−+=ccxy
2. 323427y, xccxy=−=
3. x-xlnxy, =−=cecxy

Respostas:

x-y,
5. yccxy4x, 2=−=
6. yccxy12x, 322−=+=
7. 232274y, 1xc
8. ()()xcxyc165-y, 0452==++−
9. 4/27y, /1232xccxy−=−=
10. 22x-1y, 1=++=ccxy

dyxfy.

Resolução: Chamando pdx dy= a equação de Lagrange fica ()pgpxfy+=)(.

Derivando a equação anterior em relação a x, teremos:

dx dppgpfdx dppxfdx

pfp pgx pfp pfdpdx−=−− (que é uma equação linear).

Como em geral não será possível isolar p na solução da equação linear anterior, a solução geral da equação de Lagrange será dada na forma paramétrica:

)( pyy pxx

Resolva as seguintes equações:

1. dxdydy dxxy−= dyxy

dyy

dyxdx dyy 2

6. dxdy edx dyy .2

7. dxdydx dyy ln22

8. dydxdx dyxy+=2

Aplicação: 1. Achar a curva em que a reta tangente em qualquer ponto P, da curva, seja bissetriz do ângulo formado pela reta vertical que passa por P e pela reta que une P à origem.

Respostas:

pCppp y

Cppp px

Cp Cy p Cx 2

2pepcy pcex p pcpy pcpx

−= ppcy ppcx epy cpeex .2

−= ppy pcpx ln2 p Cpy p Cpx ln 2

Carcsenppx

30 EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM SUPERIOR

Tipos especiais de equações de 2ª ordem:

yd=

Solução:

xfdx yd = dxxfdx dydxfdxdydx vem:

yd

yd=:

Faz-se )( ,xpppdx dy== , vem: dxdpdx

Assim, tem-se dx dp ),(pxf=, que é uma equação de primeira ordem em relação a p, cuja solução geral desta equação é p =F(x, C1).

Como p=dx dy, vem:

Ex.: Resolva as equações:

3º) Equação do tipo )(2 yfdx yd=:

Faz-se )( ,ypppdx dy==, donde vem:

dy dppdxdydydpdxdpdx

Cdyyf dydxCdyyfdx dyCdyyfdxdy que é uma equação de variáveis separadas em x e y.

Ex.: Resolva a equação y+9y = 0

Ex: Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo dos x atraída por outra, situada na origem, com a força F = -4mx-3, sendo x > 0. Determinar a equação do movimento, sabendo-se que para t =0 se tem x = 2 e a velocidade v = -3.

yd=:

Procedendo de modo análogo ao anterior, a equação se reduz a ),(pyfdy dpp=.

Resolvendo-a em relação a p e substituindo pelo seu valor dx dy, obtém-se uma equação de variáveis separadas.

Ex.: Resolver a equação y.y - y2.y=(y)2

Equações lineares de ordem superior Forma: Equações diferenciais lineares de ordem superior são as equações da forma

ByAdx dyAdx ydAdx ydAdx

1L (1), onde Ai e B são constantes ou

funções de x, com i = 0n. Quando B=0 diremos que a equação é linear homogênea.

Resolução: Iremos inicialmente resolver as equações lineares homogêneas de coeficientes constantes.

Observe que se fizermos An=...=A2=0 teremos uma equação linear de primeira ordem cuja solução particular pode ser da forma rxey=. Impondo que tal solução seja também uma solução particular da equação linear homogênea de coeficientes constantes, teremos a equação polinomial

Em relação à equação característica podemos ter três casos a considerar: i. Todas as raízes da equação característica são reais e distintas

Sejam nrrrr ,..., , ,321 as raízes reais e distintas da equação característica, então a solução geral será dada por:

i. A equação característica tem raízes complexas Sejam bjar+=1 e bjar−=2 as raízes complexas da equação característica

00122=++ArArA, proveniente da equação linear de segunda ordem ydA, então a solução geral será dada por:

i. A equação característica tem raízes múltiplas Sejam 21rr= raízes múltiplas da equação característica 00122=++ArArA, proveniente da equação linear de segunda ordem ByAdx dyAdx ydA =++ 0122 2, então a solução geral será dada por:

EXERCÍCIOS: Encontre a solução geral para cada equação dada: 1. 0'y"y4=+

15. 0dx yddx yddx

Resolva as seguintes equações sujeita às condições indicadas: 17. -2(0)y' e 2y(0) ,0y16''y===+

21. 1(1)y' e 0y(1),02'3''===+−y

Respostas:

3coscexccy 43

EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma:

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