limites e derivadas

limites e derivadas

LIMITES

1. Calcule os limites:

a) b)

c) d)

e)

_____________________________________

2. Determine:

a) b)

c) d)

e) f)

_____________________________________

3. Calcule:

a) b)

c) d)

_____________________________________

4. Ache o valor de:

a) b)

c) d)

_____________________________________

5. Calcule os limites:

a)

b)

_____________________________________

6. Calcule , em cada caso:

a)

b) c)

d) e)

_____________________________________

7. Dada a função , calcule:

a) b)

c) d)

e)

_____________________________________

8. Dada a função diga se f(x) é contínua nos pontos:

a) x = 0 b) x = – 1 c) x = 2

_____________________________________

9. Seja m R e f: R → R a função definida por:

Calcular o valor de m para que f(x) seja contínua em x = 3.

_____________________________________

10. Dada a função , diga se f(x) é contínua nos pontos:

a) x = 5 b) x = 2

_____________________________________

11. Seja R e seja f: R → R a função definida por

Calcule para que f(x) seja contínua em x=3.

12. Determine se a função f , definida por:

é contínua ou descontínua nos pontos:

a) x = 1 b) x = 3

_____________________________________

13. Mostre se a função é contínua ou descontínua em x = 3.

_____________________________________

14. Considere a função, definida em R por:

Calcular o valor de k para que a função seja contínua em x = 1.

_____________________________________

15. Dada a função:

Determinar m para que f(x) seja contínua em x = 2.

Sugestão: multiplicar o numerador e denominador pelo “conjugado” .

_____________________________________

16. A função contínua y = f(x) está definida no intervalo [– 4, 8] por:

Sendo a e b números reais.

Calcule os valores de a e b e esboce o gráfico cartesiano da função dada.

_____________________________________

17. Determine:

a)

b)

18. Determine:

a)

b)

_____________________________________

19. Ache o valor de:

a) b)

_____________________________________

20. Calcule:

a)

b)

c)

_____________________________________

21. Calcule:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

_____________________________________

22. Calcule

_____________________________________

23. Determine:

a) c)

b) d)

24. Calcule

_____________________________________

25. Determine:

a) c)

b) d)

_____________________________________

26. Calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

27. Calcule:

a)

b)

c)

_____________________________________

28. Calcular

_____________________________________

29. Ache o valor de

_____________________________________

30. Calcular

_____________________________________

31. Determine:

a) b)

_____________________________________

32. Determine

33. Calcule

_____________________________________

34. Calcule

_____________________________________

35. Calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

36. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

_____________________________________

37. Fatore as expressões e simplifique as frações para obter o valor de:

a) c)

b) d)

_____________________________________

38. Calcular o valor de

_____________________________________

39. Determine:

a)

b)

c) d)

e)

_____________________________________

40. Calcule

_____________________________________

41. Multiplique o numerador e o denominador pelo “conjugado” de um deles para determinar:

a) b)

_____________________________________

42. Calcular o valor de

_____________________________________

43. Calcular o valor da expressão

_____________________________________

44. Determine o valor de

Sugestão: multiplicar o denominador e numerador pelos “conjugados” de ambos.

_____________________________________

45. Calcular

_____________________________________

46. Calcule

_____________________________________

47. Calcule:

a) b)

_____________________________________

48. Determine:

_____________________________________

49. Calcular o valor de

_____________________________________

50. Dada a função

, calcule:

a) b)

51. Calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

52. Calcule

_____________________________________

53. Ache o valor de

_____________________________________

54. Calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

55. Calcular para:

a) k = 0 b) k ≠ 0

_____________________________________

56. Calcular:

a)

b)

c)

_____________________________________

57. Determine

_____________________________________

58. Sejam R e a R, a ≠ 0. Determine:

a)

b)

59. A função f: R → R, com

é contínua para x = 4. Calcular o valor de m.

_____________________________________

60. A função não está definida para x = 1. Seja f(1) = k. Calcular o valor de k para que a função f(x) seja contínua no ponto x = 1.

_____________________________________

61. Esboce o gráfico da função e determine o limite:

a) d)

b) e)

c) f)

_____________________________________

62. Calcule:

a) b)

_____________________________________

63. Calcular os limites:

a) b)

_____________________________________

64. Calcule:

a) b)

_____________________________________

65. Esboce o gráfico da função e determine o limite:

a) b)

_____________________________________

66. Calcular:

a) b)

67. Esboce o gráfico da função e dê o valor de:

a) b)

_____________________________________

68. Calcule

_____________________________________

69. Calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

70. Determinar

_____________________________________

71. Calcular o valor de

_____________________________________

72. Ache o valor de

_____________________________________

73. Determine

_____________________________________

74. Determine:

a)

b)

_____________________________________

75. Calcule o valor de

_____________________________________

76. Calcule:

a) b)

_____________________________________

77. Sabendo que , calcule

78. Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:

a) c)

b) d)

_____________________________________

79. Ache o valor de

_____________________________________

80. Calcule

_____________________________________

81. Calcule

_____________________________________

82. Determine

_____________________________________

83. Calcule

_____________________________________

84. Se , calcule ln a.

_____________________________________

85. Calcule .

Sugestão:

_____________________________________

RECORDANDO

1. Calcule:

a)

b)

c)

2. Ache o valor de .

_____________________________________

3. Seja λ um número real e seja f: R → R a função tal que:

Calcule λ para que exista

_____________________________________

4. Sabendo-se que , x ≠ m, então podemos afirmar que:

  1. m é maior do que 4

  2. m é menor do que – 4

  3. m [1, 4]

  4. m [– 4, 1]

  5. não existe m, tal que

_____________________________________

5. Seja f definida por

o valor de é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

_____________________________________

6. Determine:

a)

b)

c)

d)

_____________________________________

7. Calcule

_____________________________________

8. Determine m para que

9. Determine:

a) b)

_____________________________________

10. O valor de é:

a) zero b) + ∞ c) – ∞ d) 2 e) 1

_____________________________________

11. Determine:

a)

b)

c) d)

_____________________________________

12.Calcule:

a) b)

c) d)

_____________________________________

13. Dada a função f: R → R, definida por , calcule

_____________________________________

14. Calcule

_____________________________________

15. Determine

_____________________________________

16. Calcule:

a) b)

_____________________________________

17. Determine:

a) b)

18. Dada a função f: R → R tal que

Determinar o valor de m de modo que f(x) seja contínua em x = 1.

_____________________________________

19. Calcule

_____________________________________

20. Sabe-se que

. Conclui-se que :

a) é b) é 0 c) é infinito

d) é indeterminado e) não existe

_____________________________________

21. Calcule

_____________________________________

22. Calcule:

a) b)

_____________________________________

23. Determinar

Sugestão:

_____________________________________

24. Calcular

Sugestão:

_____________________________________

25. Determine

DERIVADAS

1. Aplicando a definição, calcule a derivada da função f(x) = x2 + x no ponto de abscissa:

a) x = 3 b) x = – 2

_____________________________________

2. Dada a função f(x) = x2 – 5x + 6. Calcule:

a) f ’(1) b) f ’(– 4)

_____________________________________

3. Dada a função f(x) = 2 – x3, calcule f’(– 2)

_____________________________________

4. Dada a função , determine, se existir, a derivada da função no ponto de abscissa:

a) x = 1 b) x = 0

_____________________________________

5. Dada a função , determine a derivada de f(x) no ponto x = 1.

_____________________________________

6. Usando a definição, calcule a derivada da função f(x) = 3x + 1

_____________________________________

7. Usando a definição, calcule f’(x) em cada caso:

a) f(x) = – 5x2 b)

_____________________________________

8. Dada a função , determine a derivada de f(x) para x = 4.

_____________________________________

9. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:

a) f(x) = 8 f)

b) g)

c) f(x) = x6 h)

d) f(x) = x-5 i) f(x) = 7x2

e) j) f(x) = – 4x

10. Ache a derivada das seguintes funções:

a) c)

b) d)

_____________________________________

11. Dada a função , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.

_____________________________________

12. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções:

a) c)

b) d)

_____________________________________

13. Dada a função . Calcular a derivada da função para:

a) x = 1 c) x = 3

b) x = 4 d) x = 6

_____________________________________

14. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

_____________________________________

15. Considere as funções definidas em R por g(x)= 4x + 1 e h(x) = 2x – 3.

a) Calcule f’(x), sabendo que f(x) = g[h(x)]

b) Calcule f’(2)

_____________________________________

16. Se , calcule f’(π).

_____________________________________

17. Determinar a derivada f’(x) das funções para x = 2 nos seguintes casos:

a) f(x) = 6x3 – 5x2 + 2x – 1

b) f(x) = 5x4 – 2x2 + 18

c) f(x) = 2x5 – 3x2 + 4x – 2

18. Determine a derivada das funções:

a)

b)

c)

d)

_____________________________________

19. Dada a função de R em R definida por f(x) = x3 – 12x + 7, determine o valor de sua derivada para x = – 3.

_____________________________________

20. Calcule f’(x) das seguintes funções:

a) f(x) = 3x . sen x

b) f(x) = sen x . cos x

c) f(x) = x2 . cos x

d) f(x) = x3 . (2x2 – 3x)

_____________________________________

21. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:

a) f(x) = (x + 4) (x – 2)

b) f(x) = (x – 1) (2x – 3)

c) f(x) = (x3 – 7) (2x2 + 3)

d) f(t) = (t2 – 1) (t2 + 1)

_____________________________________

22. Em cada caso, calcule a derivada f’(t):

a) f(t) = (t2 + 1) . (t3 – 2)

b) f(t) = (t5 – 2t3) . (t2 + t – 2)

_____________________________________

23. Dada a função

f(x) = (x2 – 1) . (x2 + x – 2) . (1 – x)

Calcule a derivada f’(x) para:

a) x = 0 c)

b) x = 1 d) x = – 2

_____________________________________

24. Determine a derivada f’(x) das seguintes funções:

a) b)

_____________________________________

25. Calcule a derivada das funções para x = 2 nos seguintes casos:

a) b)

_____________________________________

26. Considere a função definida em R por

a) Determine as raízes de f’(x)

b) Calcule f’(1) e f’(– 1)

c) Resolva a inequação f’(x) < 0

27. Dada a função , determine f’(x).

_____________________________________

28. Aplicando a derivada do quociente, demonstre que:

a) Se f(x) = cotg x, então f’(x) = – cosec2 x

b) Se f(x) = sec x, então f’(x) = tg x . sec x

c) Se f(x) = cosec x, então f’(x) = – cotg x . cosec x

_____________________________________

29. Dado , calcular

_____________________________________

30. Quais os valores de x que anulam a derivada f’(x) da função

_____________________________________

31. Calcule a derivada das funções:

a) f(x) = cos 6x

b) f(x) = sen (3x + 1)

c) f(x) = sen 3x – cos 2x

d) f(x) = sen 2x + sen 4x

_____________________________________

32. Dada a função , calcule f’(x)

_____________________________________

33. Calcule a derivada das funções:

a) f(x) = sen2 x

b) f(x) = sen2 (1 – x2)

_____________________________________

34. Determinar a derivada das funções:

a) f(x) = (x2 – 1)3 b) f(x) = (x3 – 2x)2

c) f(x) = (x4 – 3x2 + 1)2

_____________________________________

35. Considere a função definida em R – {2} por . Calcule:

a) f’(x) b) f’(3)

_____________________________________

36. Ache a derivada das funções:

a)

b)

_____________________________________

37. Dada a função ,determinar:

a) f’(x) b) f’(3)

38. Calcular a derivada da função

para x = 2.

_____________________________________

39. Sabendo que , determinar f’(1).

_____________________________________

40. Determinar a derivada f’(x) das funções:

a)

b)

_____________________________________

41. Calcule a derivada da função

para x = 2.

_____________________________________

42. Determine a derivada das funções:

a) d)

b) e)

c) f)

_____________________________________

43. Dada a função , calcule f’(2).

_____________________________________

44. Dada a função , determinar f’(1).

_____________________________________

45. Dado , calcule f’(1).

_____________________________________

46. Sabendo que , determine f’(x)

_____________________________________

47. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:

a) c)

b) d)

_____________________________________

48. Se f(x) = ln (x2 – 4x + ). Calcule f’(x).

_____________________________________

49. Se , determine f’(x).

_____________________________________

50. Determine f’(x), sabendo que .

51. Determine f’(x) sabendo que .

_____________________________________

52. Calcule o valor da derivada de:

a) para x = 2

b) para x = – 1

c) para x = 0

d) para x = 1

_____________________________________

53. Dada a função . Calcule:

a) f’(4) b) f’(6) c) f’(10)

_____________________________________

54. Ache as quatro primeiras derivadas da função f(x) = x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1.

_____________________________________

55. Se f(x) = sen x + cos x, determine f(4)(x).

_____________________________________

56. Determine a derivadasegunda de

f(x) = 4x3 – 5x2 + 2x – 1 no ponto x = 0.

_____________________________________

57. Calcule a derivada terceira da função para x = 2.

_____________________________________

58. Seja a função f(x) = 4x3 + 2x2 – 5x + 2, calcule f’(0) + f’’(0) + f’’’(0).

_____________________________________

59. Obtenha as leis das duas primeiras funções derivadas de .

_____________________________________

60. Dada a função f(x) = sen x – cos x. Calcule:

a) f’ b) f’’ c) f’’’

_____________________________________

61. Calcule o coeficiente angular da tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos de abscissa também indicados:

a) para x = – 1

b) para x = 4

c) para x = 8

62. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 5 no ponto de abscissa x = 0.

_____________________________________

63. Seja a curva de equação y = x3 – 12x. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (4, 16).

_____________________________________

64. Qual a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ?

_____________________________________

65. Considere a função f: R → R definida por f(x) = x3 – 3x2 + x + 2. Calcule as coordenadas dos pontos do gráfico dessa função nos quais a reta tangente tem coeficiente angular igual a 1.

_____________________________________

66. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 – 4 e que seja paralela à reta de equação y = 2x – 1.

_____________________________________

67. Determinar um ponto sobre a curva f(x) = x3 – 1 de tal modo que a reta tangente à curva nesse ponto seria paralela à reta y = 12x + 1.

_____________________________________

68. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = – 3 cos x no ponto em que .

_____________________________________

69. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 2x2 – 1, no ponto de abscissa x = 1.

_____________________________________

70. Em que ponto da curva f(x) = x2 – 3x – 4 a reta tangente é paralela ao eixo Ox?

_____________________________________

71. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 4x + 1, que é perpendicular à reta 2y + x – 5 = 0.

_____________________________________

72. Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x = 10.

_____________________________________

Aplicando a regra de L’Hospital, resolva:

73.

74.

_____________________________________

75.

_____________________________________

76.

_____________________________________

77.

_____________________________________

78. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções:

a) b)

c)

d)

e)

_____________________________________

79. Dada a função , determine k para que f(x) seja crescente em R.

_____________________________________

80. Dada a função , determine:

a) o ponto em que o gráfico corta o eixo y

b) os pontos em que a reta tangente ao gráfico de f(x) é paralela ao eixo x

c) um esboço do gráfico de f’(x)

d) o conjunto em que f(x) é crescente

e) o conjunto em que f(x) é decrescente

f) um esboço do gráfico de f(x)

_____________________________________

81. Considerando a concavidade da parábola, classifique os pontos cujas abscissas são os pontos críticos das funções quadráticas:

a) f(x) = x2 – x + 1 b) f(x) = x – x2

_____________________________________

82. Determine os pontos cujas abscissas são pontos críticos da função

f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 + 2

_____________________________________

83. Calcule os pontos , sendo que é o ponto crítico das funções:

a) f(x) = 2x3 + 3x2 + 1 b) f(x) = x3 – 3x

c) f(x) = (x2 – 1)2 + 3

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