Ficha técnica sobre Cáculo I, Notas de estudo de Matemática

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SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 TEMA 10 – Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 TEMA 15 – Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TEMA 16 – Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 TEMA 18 – Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM PERFIL DOS AUTORES TEMA 01 FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1.1. Definição, elementos Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b, uma regra que nos permite associar a cada ele- mento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado ima- gem de f e que se indica por Imf: Imf = {f(x)|x∈Df} Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são sub- conjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f : A B uma função. O conjunto Gf = {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordena- dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla- no de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen- sado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f. Observação – Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de explicitar o domínio e o con- tradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão. Exemplo: Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função. Solução: M = {0, 1 ,2} N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02 = 0 x = 1 y = 12 = 1 x = 2 y = 22 = 4 No diagrama de flechas, temos que: Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplica- ção, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N. Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. Gráficos de funções Dizemos que uma relação binária R: A B é fun- ção ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A. Exemplos: 1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun- ção. 11 Cálculo I – Função Solução: Dado o gráfico, temos que: Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação. 2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou aplicação. Solução: Dado o gráfico abaixo, temos: Observe que todas as retas verticais que tra- çarmos, tocarão em um e único ponto no grá- fico. Logo g é uma função ou aplicação. 3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que: • Df = IR • Im(f) = {x3 / x∈IR} = IR • O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3. • f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 03 = 0, f(1) = 13 = 1 • O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3, x∈IR} Domínio de funções O domínio de uma função representa o conjun- to de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos: a) O domínio de uma função polinomial é sem- pre real. b) Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este dife- rente de zero. c) Radical com índice par no numerador pos- sui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero. Exemplos: 1. Qual é o domínio mais amplo para a função ? Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio é dado por D(f) = IR – {1}. 2. Qual é o domínio da função ? Solução: → 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}. 3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se: a) Df = IR b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3 = y. 12 UEA – Licenciatura em Matemática g(x) = 3 – 4x (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 = 6 – 8x – 1 = 5 – 8x (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) = 3 – 8x + 4 = 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) = 5 – 8x – 7 + 8x = –2 a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0). Solução: (fog)(x) = 2x + 1 f(x) = –2x + 3 g(0) = ? (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1 1. Qual é o domínio mais amplo da função ? Solução: (1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 (2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2 Fazendo-se (1) (2), temos que: – D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2} 2. Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e g(x) = 2– 3x. Solução: f(x) = 2kx +1 g(x) = 2– 3x fog(x) = gof(x) 2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 4k = –1 k = –1/4 3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x. Solução f(2x –1) = 3 – x 2x – 1 = –1 x = 0 f(–1) = 3 – 0 f(–1) = 3 4. Determine o domínio da função . Solução: x + 1 = t x = t – 1 3 – x > 0 x < 3 D(f) = ]–;3[ 1.4 Função polinomial do 1.o grau Definição Chama-se função polinomial do 1.o grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chama- do de coeficiente de x, e o número b é chama- do termo constante. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1.o grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. • Se a > 0, então f será crescente. 15 Cálculo I – Função 16 UEA – Licenciatura em Matemática Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • Se a < 0, então f será decrescente; Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Observação – Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a): Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos: 1. Esboce os gráficos. a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I Solução: a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon- tos (0, 0) e (1, 2). b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2). c) Primeiro, eliminemos o módulo y = –2x 2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2. Solução: Primeiro, eliminemos o módulo ou Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma: para x ≥ 1, f(x) = x + 1 para x < 1, f(x) = –x + 3 Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma. Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi- co de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtém- se do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas uni- dades. 1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o grau) Definição Chama-se função quadrática, ou função poli- nomial do 2.o grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2.o grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. • a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; • a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo. Observação – A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obti- do para o radicando Δ, chamado discrimi- nante, a saber: • quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando Δ é zero, há só uma raiz real; • quando Δ é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: Exemplo: (PUC) Determine as coordenadas do vértice da 17 Cálculo I – Função 1. Calcule: a) f(–1) e sendo f(x) = –x2 + 2x b) g (0), g (2) e g( ) sendo c) sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0 d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0 2. Simplifique sendo dados: a) f(x) = x2 e p = 1 b) f(x) = 2x + 1 e p = 2 c) f(x) = 1/x e p = 2 d) f(x) = e p = –3 e) f(x) = 5 e p = 2 3. Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x) igual a: a) 2x + 1 b) x2 c) –2x2 + 3 d) 5 e) 4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a) f(x) = 3x b) c) h(x) = d) g(x) = e) f(x) = 5. Determine o domínio das funções: a) b) c) d) e) 1.6 Função exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em ex- poente. A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais posi- tivos, maiores que zero). Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1. y = 2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabe- la e o gráfico abaixo: 2. y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a ta- bela e o gráfico seguintes: 0 20 UEA – Licenciatura em Matemática Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes. b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1). c) Os valores de y são sempre positivos (po- tência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente. Se a > 1, então f será decrescente. 1.7 Função logaritmica Considere a função y = ax, denominada função exponencial, em que a base a é um número po- sitivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que, nessas condições, ax é um nú- mero positivo, para todo x∈IR, onde IR é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais po- sitivos por R+*, poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R → R*+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1 Essa é bijetora, pois: a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos- suem imagens distintas. b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co- incide com o seu contradomínio. Assim sendo, a função exponencial é BIJETO- RA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa. Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay → y = logax Portanto a função logarítmica é então: f: R*+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1. Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y = x. 0 21 Cálculo I – Função Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: • Para a > 1, as funções exponencial e loga- rítmica são CRESCENTES. • Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = logax é o conjun- to R+* . • O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais. • O domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais. • O conjunto-imagem da função y = ax é o conjunto R*+. Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarít- mica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponen- cial. Isso ocorre porque as funções são inver- sas entre si. 0 22 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS 2.1 O papel dos limites de funções reais O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria ma- temática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. O motivo para isso é que nem tudo o que que- remos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estu- dos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e con- tinuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresenta- do no fim), que é uma conseqüência do estu- do de continuidade de funções. 2.2 Idéia intuitiva de limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1} → R definida por: lim Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1. Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) quanto por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1. Pela esquerda de x = 1 Pela direita de x = 1 Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotare- mos por: lim x→1 f(x) = 2 Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo: 2.3 Limite de uma função real Seja f uma função real definida sobre o interva- lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per- tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos: lim x→ +∞ f(x) = Ld O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproxi- mam de Le, quando x se aproxima de c por va- lores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos: lim x→ +∞ f(x) = Le Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos: 25 Cálculo I – Limites 26 UEA – Licenciatura em Matemática lim x→ c f(x) = L O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi- trário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão. O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites dife- rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único. Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B. Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0<|x–a|<d". Tomando d=min{d',d"}>0, temos que: |f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que 0<|x–a|<d. Pela desigualdade triangular, temos: |A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos: |A–B| < e então |A–B| = 0, o que garante que A=B. Exemplos: 1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (val- ores menores que 1) e calcular o valor corres- pondente de y: Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja: lim x→1 (2x + 1) = 3 Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x as- suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: lim x→a f(x) = b se, quando x se aproxima de a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b). 2. Seja, agora, a função lim Como x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x → 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, lim x→1 g(x) = lim x→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 27 Cálculo I – Limites 3. Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c. à Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2: à Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan- to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2. 2.4 Generalização do conceito de limite Definição Dados uma função f: B IR e um ponto de acu- mulação a de B, diz-se que um número ∈IR é limite de f em a, e escreve-se: lim x→a f(x) = ou f(x) → , com x → a quando vale a seguinte condição: Para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε. Exemplos: 1. Consideremos a função à Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por- tanto, é natural suspeitar que lim x→1 f(x) = 4. Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever |f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2 obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo: lim x→1 2(x2 – 1)/(x – 1) = 4 [δ = ε/2] à 2. lim x→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon- trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| . Assim, se tomarmos δ = ε/3, temos: 0 > |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε. 3. lim x→2 (x2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, |x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto, |x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então |(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε. Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}. 4. lim x→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem- pre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos tomar δ = ε uma vez que, nesse caso: 0 <|x – a|< δ,então: |cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2| à de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3). 6. Verifique se a função é contínua em x = 3. Cálculo de f(3): Cálculo de lim x® 3 f(x) = Como lim x® 3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3 Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. 1. 2. 3. 4. 5. TEMA 04 PROPRIEDADES DOS LIMITES 4.1 Introdução Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduzire- mos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a. • Se f(x) = C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C. • Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b. • Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então: (1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B (2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B (3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A (4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An (5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo. (6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) • Se acontecer uma das situações abaixo: Lim f(x) = 0. Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar. Então: Exemplos: 1. 2. 3. 4. 30 UEA – Licenciatura em Matemática 31 Cálculo I – Limites 5. 6. 7. 8. Observações sobre as propriedades: As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de fun- ções. As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem que, se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas. 4.2 Teoremas importantes Teorema do anulamento – Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0, quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Esse resultado é útil para podermos obter cál- culos com limites. Teorema do Confronto (regra do sanduiche) – Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim h(x), então Lim g(x) = L. Generalização: Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x∈B, e lim x→a f(x) = lim x→a h(x) = . Então lim x→a g(x) = . O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a figura abaixo. Demonstração: Seja ε > 0 um número qualquer. Como lim x→a f(x)= lim x→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε, x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε, Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a condição 0 < |x – a| < δ implica ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε, Donde |g(x) – | < ε, ou seja, lim x→a g(x) = . Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x→0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1 Observações – Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são deno- minadas expressões indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso. Exemplo: Seja f uma função e suponha que para todo x tenhamos |f(x)| ≤ x2. a) Calcule, caso exista, lim x→ 0 f(x); b) f é contínua em x = 0? Por quê? Solução: a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2 Como lim x→ 0 f(–x2) = 0 = lim x→ 0 x2, segue, do teo- rema do confronto, que lim x→ 0 f(x) = 0. b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim, lim x→ 0 f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0. 1. Calcular . Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 se anulam para x = 3, cairemos na expressão e nada poderemos concluir. Assim, devemos sim- plificar a fração, eliminando a indeterminação. Logo, 2. Calcular . Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. 3. Calcular . 4. Calcular . 1. Calcule lim x→ 1 (log 10x). a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Determine o Valor de . a) 1/5 b) 2/6 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/5 3. Calcule . a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 19 4. Calcule a) 2/5 b) 3/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 2/4 5. Ache o valor de . a) 1 b) –1 c) –2 d) 3 e) –4 6. O é igual a: a) –4 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 7. Calcular . a) x b) 2x c) 4x d) 3x e) 5x 32 UEA – Licenciatura em Matemática Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal. Definição: Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho- rizontal do gráfico de f se lim x→∞ f(x) = L ou lim x→–∞ f(x) = L 5.3 Limite de uma função polinomial para x→±∞ Seja a função polinomial f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0. Então: Demonstração: Mas: Logo: De forma análoga, para g(x) = bmxm +...b1x + b0, temos: Exemplos: 1. 2. 3. 1. Calcule a) 1/5 b) 2/6 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4 2. Calcule a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 3. Calcule . a) 0 b) 1 c) 6 d) 2 e) –2 4. Calcule . a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 5. Calcule os limites: a) b) c) d) e) 35 Cálculo I – Limites TEMA 06 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 6.1 Introdução Demonstração: Para x → 0, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: Mas: lim x→0 1 = lim x→0 cos x = 1 g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se lim x→a g(x) = lim x→a h(x) = b então, lim x→a f(x) = b. Logo, 6.2 Exemplos: a) b) c) d) 1. Determinar . 2. Determinar Transformando, temos: 3. Calcular Transformando, temos: 1. Calcular os seguintes limites: a) b) 36 UEA – Licenciatura em Matemática 2. Determine: a) b) c) 3. Calcular os seguintes limites: a) b) c) d) e) f) TEMA 07 LIMITES EXPONENCIAIS 7.1 Introdução Nesse caso, e representa a base dos logarit- mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú- mero irracional cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de . Notamos que à medida que . De forma análoga, efetuando a substituição , temos: Ainda de forma mais geral, temos : As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios desse tipo e evitam substituições algébricas. Se ax – 1 = u, então ax + 1 = u. Mas: 37 Cálculo I – Limites UNIDADE III Derivada 45 Cálculo I – Derivada Exemplo: 1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 – 2 no ponto x0 = 2 Solução: Como , temos: 2. Dada a função f(x) = 3x2, definida em IR, calcu- lar a função derivada f’(x). Solução: 1. Calcule a razão incremental da função f (x), re- lativa ao ponto x0, nos seguintes casos: a) f(x) = 3x2 + 1, no ponto x0 = 2 b) f(x) = x2 + 3x, no ponto x0 = 1 c) f(x) = x3, no ponto x0 = –1 2. Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0 em cada caso: a) f(x) = x2 + 1, no ponto x0 = 3 b) f(x) = x2 + 2x, no ponto x0 = 4 c) f(x) = x2 – 3x + 4, no ponto x0 = 1 d) f(x) = 2x – 1, no ponto x0 = 2 3. Dada a função f (x), definida em IR, determine f´(x) nos seguites casos: a) f(x) = x2 – 2x b) f(x) = x c) f(x) = d) f(x) = 3x + 4 e) f(x) = x3 + 2x2 4. Determine o valor de x que anula a derivada da função f(x) = x2 – 4x 5. Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t – 2. Calcule a sua velocidade no instante t0= 2seg. 1. A derivada da função f(x) = x2 – 3x no ponto x = 0 é igual a: a) 0 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) n.d.a. 2. Sendo f(x) = 2x2, então f’(3) é igual a: a) 4 b) 12 c) 18 46 UEA – Licenciatura em Matemática d) 36 e) n.d.a. 3. Se f(x) = 6x3, então f’(x) é igual a: a) 9x2 b) x2 c) 18x2 d) 3x2 e) n.d.a. 4. A função derivada de y = x3 é definida por: a) y’ = 3x b) y’ = 3x2 c) y’ = x2 d) y’ = 3x3 e) 5. A função derivada da função é: a) b) c) d) e) n.d.a. 6. A função derivada da função f(x) = 3x2 – 2x anula-se para: a) x = 0 b) x = 3 c) d) e) n.d.a. TEMA 09 A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 9.1. Introdução Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f (x) admita uma reta tangente t num ponto P de abscissa x0. Vamos represen- tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta tan- gente em relação ao eixo x. Da geometria analítica, sabemos que o coefi- ciente angular da reta t, que vamos indicar por mt(x0), é dado por: mt(x0) = tgαt(x0). Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, de abscissa x ≠ x0, a reta S = é uma secante ao gráfico. O coeficiente angular da secante, que indicaremos por Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixo e Q movimentando-se sobre o gráfico, aproxi- 47 Cálculo I – Derivada mando-se de P, observamos que a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tan- gente: αs → αt(x0) Nesse caso, temos tambem: tgαs → tgαt(x0) ms → mt(x0) Então, temos: Quando existe o limite finito Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x² no ponto de abscis- sa x = 1 Solução 9.2 DEFINIÇÃO Para estudar esse problema, consideremos o gráfico da função y = f (x) indicado na figura: Em que: Δx= incremento da variável x Δyincremento da função razão incremental Na figura, temos: s é uma reta secante à curva; t é uma tangente à curva no ponto A(x0, y0); (considerando o triângulo ABC) Note que, quando Δx → 0, o ponto B tenderá ao ponto A, e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo β tenderá a α, e teremos: Enquanto Δx tende a zero, a reta secante tende a uma posição limite, que é a reta tangente à curva no ponto A de abscissa x0. Portanto o coeficiente angular da tangente é o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando Δx tende a zero. O valor desse limite denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, e indica- mos f’(x0). 50 UEA – Licenciatura em Matemática • A função f : IR –{3} → tal que é derivável no intervalo ]1, 5[? SOLUÇÃO Para que uma função f seja derivável em um ponto de abscissa a, a definição exige que exista f (a). Como 3 ∉ D(f), temos que f não é derivável no ponto de abscissa 3 e, por- tanto, não é derivável no intervalo ]1, 5[. • Mostrar que a função f : IR –{3} → IR tal que é derivável em todo seu domínio. SOLUÇÃO Temos que: , para x ≠ 3. Existe f’(a) se, e somente se, existe e é fini- to o limite: Para qualquer a, a ∈ IR e a ≠ 3, temos: Como esse limite existe e é finito para todo elemento real a, a ≠ 3, temos que f é derivável em seu domínio. 1. Considerando a reta t, tangente à curva defini- da por f (x) = x², no ponto de abscissa 2, deter- minar: a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t. 2. Considerando a reta t, tangente à curva defini- da por , no ponto de abscissa 1, determinar: a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t 3. Qual é a equação da reta tangente à curva y = x2 – 3x no seu ponto de abscissa 4? 4. A equação da reta tangente à curva de equação y = 2x2 – 1, no ponto de abscissa 1, é: a) y = 4x – 3 b) y = 4x – 1 c) y = 2x + 3 d) y = –2x + 1 e) y = 3x + 2 5. Aplicando a definição, calcule: a) a derivada da função f(x) = x2 + x no ponto de abscissa x = 3. b) a derivada da função f(x) = x2 – 5x + 6 no ponto x = 1. 6. Através da definição, ache a derivada de f (x) = cos x 51 TEMA 10 REGRAS DE DERIVAÇÃO 10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS Regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) mais facilmente. A demons- tração dessas regras poderá ser feita com a aplicação da definição; como esse processo é demasiado longo, faremos algumas, e as ou- tras ficarão como exercícios complementares. a) Derivada da função constante f(x) = k ⇒ f’(x) = 0; k ∈ IR Demonstração: Exemplo: f(x) = ⇒ f’(x) = 0 b) Derivada da função identidade A derivada da função identidade f (x) = x é 1, ou seja: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1 Demonstração: c) Derivada da função potência A derivada da função f(x) = xn (n ∈ N*) é: f’(x) = n × xn–1, ou seja: f(x) = xn ⇒ f’(x) = nxn–1 Exemplos: • f(x) = x3 ⇒ f’(x) = 3x3–1 = 3x2 • f(x) = 4x2 ⇒ f’(x) = 2 × 4 × x2–1 = 8x •f(x) = x–5 ⇒ f’(x) = –5 x x–5–1 = –5x–6 = • d) Derivada da função seno A derivada da função f (x) = senx é a função f´(x) = cosx, ou seja: f(x) = senx ⇒ f’(x) = cosx Demonstração Obs.: e) Derivada da função co-seno A derivada da função f (x) = cosx é a função f’(x) = –senx f) Derivada da funçãoe exponencial A derivada da função exponencial f(x) = ax (a > 0 e a ≠ 1 é a função f’(x) = ax . ln a Demonstração: Obs: Exemplo: f(x) = 5x ⇒ f’(x) = 5x . ln 5 g) Derivada da função logarítmica neperiana A derivada da função f (x) = lnx é a função (x > 0) Cálculo I – Derivada Caso seja dado o logaritmo numa base a, a > 0 e a ≠ 1, fazemos a mudança para a base e. Então: Exemplos: • (x > 0) • (x > 0) 10.2 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO Sejam u e v funções deriváveis em um interva- lo aberto I. Para todo x, x∈I, tem-se que: a) Derivada da soma f(x) = u(x) + v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) + v’(x) Demonstração: f’(x) = u’(x) + v’(x) c . q . d b) Derivada da diferença f(x) = u(x) – v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) – v’(x) Obs.: A soma ou a diferença para n funções • f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un ⇒ f’(x) = u’1(x) + u’2(x) +...+ u’n(x) • f(x) = u1(x) – u2(x) –...– un ⇒ f’(x) = u’1(x) – u’2(x) –...– u’n(x) 1. Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = x4 + sen x Solução: f’(x) = 4x3 + cos x b) g(x) = x5 – x3 Solução: g’(x) = 5x4 – 3x2 c) h(x) = 3 – x + cos x + ln x Solução: 2. Obtenha as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 10 ⇒ f’(x) = 10 b) f(x) = x5 ⇒ f’(x) = 5 . x5–1 = 5x4 c) f(x) = x3 + x2 ⇒ f’(x) = 3x2 + 2x d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4 d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4 e) f(x) = sen x + cos x ⇒ f’(x) = cos x + (–sen x) = cos x – sen x f) f(x) = 2x ⇒ f’(x) = 2x ln 2 g) f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex . 1 = ex h) 3. Encontre a equação da reta tangente à curva: a) y = x5 no ponto x0 = 1 SOLUÇÃO y = x5 no ponto x0 = 1 f(x) = x5 ⇒ f(x0) = f(1) = 1 f’(x) = 5x4 ⇒ f’(1) = 5 . 14 = 5 No ponto (1,1): y – f(1) = f’(1)(x – 1) y – 1 = 5(x – 1) ⇒ y = 5x – 4 b) y = ln x no ponto x0 = 2 SOLUÇÃO 4. Determine f’(x), sabendo que: a) f(x) = x2 . cos x b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x) 52 UEA – Licenciatura em Matemática 55 SOLUÇÃO Mas e Como os limites laterais são diferentes, não existe f´(0). Portanto f não é derivável em x= 0, entretanto f é contínua em x = 0. Reconhecimento prático a) Uma função é contínua nos pontos em que não há “salto” nem “furo” no gráfico. b) Uma função é derivável nos pontos em que é contínua e existe uma reta tangente ao gráfico, não perpendicular ao eixo x. Num ponto em que há um “bico” no gráfico, a função é contínua, mas não derivável. 1. Observando o gráfico ao lado de uma função f definida em IR, responda se f é contínua e/ou derivável em cada ponto seguinte: a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3 2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi- co de y = tgx no ponto de abscissa . 3. Dada a função de f: a) f(x) = 2x4 – 3x2 + 4, calcule f´(1) b) , calcule f’(3) 4. A derivada da função no ponto de abscissa x = 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 1 5. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no ponto de abscissa vale: a) 1 b) 2 c) d) e) 0 6. Sendo g: IR → IR tal que g(x) = x5, obtenha: a) g’(2); b) a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 2. 7. Encontre a derivada de cada uma das se- guintes funções: a) a(x) = x5 + x4 + 2 b) a(x) = x5 + x4 + 2 c) c(x) = x5 ln x d) d(x) = (x2 + 3) sen x e) e(x) = x5 sen x cos x f) f(x) = 9x4 g) g(x) = 12x5 – 3x4 + 2x + 4 h) h(x) = log5 x i) i(x) = 6log2 x j) Cálculo I – Derivada 56 UEA – Licenciatura em Matemática k) l) m) 8. Seja f(x) = x2 – x. Determine as equações das retas tangentes e normal no ponto de abscissa 0. 9. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. a) f(x) = x2 – 3x, no ponto de abscissa 0. b) , no ponto de abscissa 8. c) , no ponto de abscissa 1. 10. Seja f(x) = x2. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta . TEMA 11 A REGRA DA CADEIA 11.1 Introdução Sejam g e f duas funções deriváveis nos pon- tos x e u, respectivamente. Então: A derivada da função composta (fog)(x) é dada por: (fog)’(x) = g’(x) . f’(x) ou em que y = f(u) e u = g(x) Exemplos: • Determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = (x2 + x)3 b) f(x) = cos 3x Solução: a) u = g(x) = x2 + x e f(u) = u3 g’(x) = 2x + 1 e f’(u) = 3u2 = 3(x2 + x)2 Como f’(x) = g’(x) . f’(u) f’(x) = (2x + 1) . 3(x2 + x)2 b) u = g(x) = 3x e f(u) = cos u g’(x) = 3 e f’(u) = –sen u = –sen 3x f’(x) = g’(x) . f’(u) = 3(–sen 3x) f’(x) = –3sen 3x 1. REGRAS DE DERIVAÇÃO Decorreram pela regra da cadeia as seguintes regras de derivação, em que v(x) é uma função real derivável: 57 Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos 2. DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f (x) a função cuja derivada primeira é f´(x). Se f´(x) admite, também, a derivada f”(x), essa recebe o nome de derivada segunda de f (x). E assim por diante, define-se derivada terceira, derivada quarta e derivada n-ésima da função f(x). Exemplo: Seja f(x) = 2x5. Então, temos: f’(x) = 10x4 f’’(x) = 40x3 f’’’(x) = 120x2 f(4)(x) = 240x f(5)(x) = 240 f(6)(x) = 0 ................ f(n)(x) = 0, ∀n ≥ 6 1. Obter a equação da aceleração de uma par- tícula que se movimenta segundo a lei horária S = 2t2 + 4t + 5. Solução: S = f(t) = 2t2 + 4t + 5 v = f’(t) = 4t + 4 a = f”(t) = 4 (aceleração constante) 2. Determinar as equações da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples cuja posição é dada por SOLUÇÃO 3. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f(x) ≠ 0, então: Ou seja, se a função é representada por y = y(x), a sua inversa será dada por x = x (y). E, assim: Se x = x(y), então . CONSEQUÊNCIAS: 1. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL y = xα ⇒ y’ = α . xα−1 ; α∈IR e x > 0 3. DERIVADA DA FUNÇÃO arc sen 4. DERIVADA DA FUNÇÃO arc cos Cálcul I – Derivada 60 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 12 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA Consideremos uma função real f definida num domínio D, tal que f é derivável em D. Os sinais da função derivada f´estão relaciona- dos ao crescimento ou decrescimento de f. E valem as seguintes propriedades: I) Se f´(x) é positiva para todo x de um inter- valo I, então f é crescente em I. f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0 f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0 f’(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f é crescente em I. II) Se f’(x) é negativa para todo x de um inter- valo I, então f é decrescente em I. f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0 f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0 f’(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f é decrescente em I. Suponhamos f derivável num intervalo aberto contendo x0 e que f’(x0) = 0. A reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 tem coeficiente angular m = f’(x0), portanto é paralela ao eixo x. a) f cresce antes de x0 e decresce depois de x0. Nesse caso, x0 é ponto de máximo local. b) f decresce antes de x0 e depois cresce de x0. Nesse caso, x0 é ponto de mínimo local. c) f cresce antes e depois de x0. Nesse caso, x0 é um ponto de Inflexão de f. d) f decresce antes e depois de x0. Nesse caso, x0 é ponto de inflexão de f. Conclusão: • Num intervalo em que f’(x) > 0, f é cres- cente. • Num intervalo em que f’(x) < 0, f é decres- cente. • Os pontos em que f’(x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de inflexão. Esses pontos são chamados pontos críticos de f. Exemplo: Determinar os pontos críticos e estudar a vari- ação da função f(x) = x3 – 3x, x∈IR. Esboçar o gráfico. Solução: f(x) = x3 – 3x ⇒ f’(x) = 3x2 – 3 f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 (pontos críticos) Gráfico de f f(x) = x3 – 3x, x∈IR x = –2 ⇒ f’(–2) > 0 x = 0 ⇒ f’(0) < 0 x = 2 ⇒ f’(2) > 0 Conclusão: f é crescente nos intervalos ]–∞,1] e ]1,+∞] e é decrescente em [–1;1]. Os pontos críticos são x = –1, ponto de máximo local, e x = 1, ponto de mínimo local. 12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA Consideremos uma função real f, definida num domínio D, tal que f é derivável até a segunda 61 Cálculo I – Derivada ordem em D, isto é, existem f´(x) e f”(x) em D. Os sinais da derivada segunda f”(x) estão rela- cionados à concavidade do gráfico de f. Propriedades: I) Se f”(x) é positiva para todo x de um inter- valo I, então f é côncava para cima em I. Concavidade para cima: pontos do gráfico ficam acima das retas tangentes tg α < tg β < tg y f’(x1) < f’(x2) < f’(x3) f’(x) é crescente f”(x) > 0 f”(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para cima em I II) Se f”(x) é negativa para todo x de um inter- valo I, então f é côncava para baixo em I. Concavidade para baixo: pontos do gráfico ficam abaixo das retas tangentes. tg α > tg β > tg y f’(x1) > f’(x2) > f’(x3) f’(x) é decrescente f”(x) < 0 f”(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para baixo em I Pontos de Inflexão – São os pontos em que f muda de concavidade . Num ponto de inflexão, a reta tangente ao gráfico corta a curva. Ponto de Inflexão: f muda de concavidade A reta tangente corta o gráfico f”(x0) = 0 e f’(x0) = tg α ≠ 0 Ponto de Inflexão horizontal – a reta tangente é paralela ao eixo x. f”(x0) = 0 e f’(x0) = 0 62 UEA – Licenciatura em Matemática ou Como f(–1) = 2 e , vemos que fM = 2 E o valor mínimo ocorrerá em x = ou x = –2 Como e f (–2) = –1, vemos que fm = –1 2. Um corpo lançado verticalmente do solo para cima tem posições, no decorrer do tempo, dadas pela função s = 40t – 5t2 (t em segundos e s em metros). a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima? b) Qual a altura máxima atingida? Solução: a) s’(t) = 40 – 10t s’(t) = 0 ⇒ 40 – 10t = 0 ⇒ t = 4s Estudo do sinal de s’(t) b) s(4) = 40 . 4 – 5 . 42 = 160 – 80 = 80m 4. Cortando-se um pequeno quadrado de cada canto de uma cartolina de 10cm de lado, con- forme indica figura abaixo, deseja-se construir com a cartolina restante, dobrada conveniente- mente, uma caixa de volume máximo. Determi- nar esse volume. Solução: Ao suprimir os pequenos quadrados dos can- tos, as dimensões da caixa serão: x,(10 – 2x) e (10 – 2x) V(x) = (10 – 2x)2 . x V(x) = 40x3 – 40x2 + 100x Volume máximo V’(x) = 12x2 – 80x + 100 Sendo , então: 5. determine os pntos críticos de f(x) = (x – 4)3 + 2 e esboce o seu gráfico. Solução: f’(x) = 3(x – 4)2 • Pontos críticos: f’(x) = 0 ⇔ 3(x – 4)2 = 0 ⇔ x = 4 • Sinal de f´(x) numa vizinhança de x = 4; 65 Cálculo I – Derivada x < 4 ⇒ f’(x) > 0 ⇒ f(x) é crescente; x > 4 ⇒ f’(x) > 0 ⇒ f’(x) é crescente. Então, x = 4 não é ponto de máximo local nem de mínimo local. f”(x) = 6(x – 4) ⇒ f”(4) = 6(4 – 4) = 6 . 0 = 0 f”’(x) = 6 ⇒ f”’(4) ≠ 0 f’(4) = 3(4 – 4)2 = 3 . 02 = 0 Logo, x = 4 é abscissa de um ponto de inflexão horizontal. • lim x→+∞ f(x) = +∞ e lim x→−∞ f(x) = –∞ 1. Qual é a área máxima que pode ter um retân- gulo de perímetro igual a 40cm? 2. Dividir o número 30 em duas partes de modo que o seu produto seja máximo. 3. Entre todos os retângulos de área igual a 64m², qual é o que tem perímetro mínimo? 4. Determinar os pontos críticos e estudar a vari- ação da função f(x) = 3x4 – 4x3 + 5, x∈IR 5. Em qual conjunto a função quadrática definida por f(x) = x2 – x – 6 é crescente ou decres- cente? 6. Dada a função f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1: a) Determine o conjunto em que f é crescente ou decrescente; b) ache os pontos nos quais a tangente ao gráfico de f(x) é paralela ao eixo x; c) esboce o gráfico de f(x). 7. Um ponto material se move de acordo com a função horária s(t) = 2t3 – 24t2 + 72t + 3 (s dado em metros e t dado em segundos), deter- mine em que instantes o ponto material tem velocidade: a) crescente b) decrescente 8. O custo total de fabricação de x unidades de um produto é dado por c(x) = (3x2 + 5x + 192) reais. Quantas unidades deverão ser fabri- cadas para que o custo médio seja o menor possível? 66 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 13 TAXA DE VARIAÇÃO E REGRA DE L’HOSPITAL 13.1 Teorema do Valor Médio (TVM) Uma função y = f (x) unívoca e contínua num intervalo [a, b] e derivável nesse intervalo, admite um valor c desse intervalo tal que a relação entre os acréscimos f(b) – f(a) e b – a é igual a f´(c), isto é: para a < c < b INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA • A reta s passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)). • Existe um ponto (c, f (c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao gráfico de f, neste ponto, é paralela à reta s. INTERPRETAÇÃO CINEMÁTICA Sendo x = f (t) a função de posição do movi- mento de uma partícula sobre o eixo ox e a velocidade média entre os ins- tantes t = a e t = b, pelo T.V.M, se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[ , então a veloci- dade média será igual à velocidade (instantânea) da partícula em algum instante c entre a e b. Exemplo: Achar um número c, como no teorema do valor médio, para cada uma das seguintes funções: a) f(x) = x2, 1 ≤ x ≤ 2 Solução: f’(c) = c = é um ponto tal que f´(c) tem o valor pedido. b) f(x) = x3 + 2x, –1 ≤ x ≤ 2 Solução: 3x2 + 2 = 5 ⇒ x1 = 1 ou x2 = –1 C = 1 é um ponto tal que f’’(c) tem valor pedido. 13.2 REGRA DE L´HOSPITAL (limites do tipo e ) f(x) e g (x) sendo contínuas e g(x) ≠ 0 em V(a). Se lim x→a f(x) = 0, lim x→a g(x) = 0 e existe , então Exemplos: 1. ? 2. ? 3. ? 67 Cálculo I – Derivada Portanto a rapidez com que varia o compri- mento da sombra são os da rapidez com que anda o rapaz, em 120 pés por minuto. 5. Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x3 de modo que sua abscissa x varia à razão de 2 unidades por segundo. Qual é, quando x = 3, a taxa de variação da ordenada y? Solução: unidades por segundo 6. Dada f(x) = x3 + 3x2 – 5, verifique que as condições para validade do teorema do valor médio estão satisfeitas para a = – 1 e b = 2. Encontre todos os números α, α∈]–1,2[, tal que . Solução: Notemos que f é derivável e contínua em IR; portanto também é no intervalo [–1,2]. f’(x) = 3x2 + 6x. Então: ou α = –1 – . Como queremos α no intervalo ]–1,2], só con- vém α = –1 + . 1. Um quadrado expande-se de modo que seu lado varia à razão de 5cm/seg. Achar a taxa de variação de sua área no instante em que o lado tenha 15cm de comprimento. 2. Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x2 + 1de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3cm/s. Qual é, quando x = 4cm, a velocidade da ordenada y? 3. O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5m/s. Com que taxa está variando o volume da esfera no instante em que r = 2m? 4. Um ponto P move–se ao longo do gráfico de de tal modo que a sua abscissa varia a uma velocidade constante de 5m/s. Qual a velocidade de y no instante em que x = 10m? 5. O lado de um triângulo equilátero mede a cm e cresce k cm por hora. Com que velocidade crescerá a área do triângulo? 6. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade con- stante de 2m/s, com que velocidade a extremi- dade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? 7. Usando as derivadas, calcular os limites abaixo: a) b) c) d) e) f) g) 70 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE IV Integrais 75 Cálculo I – Integrais Teorema: Se f1 e f2 estão definidas no mesmo intervalo, então ∫[f1(x) + f2(x)]dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx Este teorema estabelece que, para determinar uma antiderivada da soma de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e então, soma- mos os resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão definidas no mesmo intervalo. O teorema acima pode ser estendido a um número qualquer, finito, de funções. Com- binando este teorema e o anterior, temos o teo- rema a seguir. Teorema: Se f1, f2,...,fn estão definidas no mesmo intervalo, ∫[c1f1(x) + c2f2(x) +...cnfn(x)]dx = c1∫f1(x)dx + c2f2(x)dx +...+cn∫fn(x)dx onde c1,c2,...,cn são constantes. Teorema: Se n for um número racional, Prova: Exemplos: 1. Aplicando os teoremas acima para valores es- pecíficos de n, temos: a) b) c) d) 2. Calcule ∫(3x + 5)dx: Solução: Como 3C1 + 5C2 é uma constante arbitrária, ela pode ser denotada por C; assim, o resulta- do pode ser escrito como Pode-se conferir a resposta calculando a de- rivada. 3. Calcule ∫(5x4 – 8x3 + 9x2 – 2x + 7)dx Solução: ∫(5x4 – 8x3 + 9x2 – 2x + 7)dx = 4. Calcule . Solução: 5. Calcule Solução: 76 UEA – Licenciatura em Matemática Freqüentemente, em aplicações envolvendo an- tidiferenciação, desejamos encontrar uma anti- derivada específica que satisfaça determina- das condições chamadas inicial (condições de Cauchy) ou lateral (condições de contorno, de fronteira ou de extremos), conforme elas ocor- rem no ponto inicial ou para os pontos extre- mos do intervalo de definição da variável. Por exemplo, se uma equação envolvendo for dada, bem como a condição inicial que y = y1 quando x = x1, então, depois que o conjunto de todas as antiderivadas for encontrado, se x e y forem substituídos por x1 e y1, iremos determi- nar um valor específico da constante arbitrária C. Com esse valor de C, uma determinada anti- derivada é obtida. Exemplos: 1. Suponha que desejemos encontrar uma deter- minada função y(x) satisfazendo a equação , (ou seja, uma antiderivada de função f(x) = 2x e a condição inicial de que y = 6 quando x = 2. Solução: y = ∫2xdx y = x2 + C substituindo x = 2 e y = 6, temos, 6 = 4 + C C = 2 logo, y = x2 + 2, que dá a antiderivada desejada. 2. Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3,7), ache sua equação. Solução: Como a inclinação da reta tangente a uma cur- va em qualquer ponto (x,y) é o valor da deriva- da nesse ponto, temos Essa equação representa uma família de cur- vas. Como queremos determinar uma certa cur- va dessa família que contenha o ponto (3,7), substituímos x e y, 7 = 2(9) – 5(3) + C 7 = 18 – 15 + C C = 4 logo, y = 2x2 – 5x + 4, que é a equação da curva pedida. 1. Calcule: a) ∫(4x + 3)dx b) ∫(9t2 – 4t + 3)dt c) d) e) ∫(2v5/4 + 6v1/4 + 3v–4 )dv f) ∫(3x + 1)2dx g) ∫x(2x + 3)dx h) i) 77 Cálculo I – Integrais j) k) 2. Determine a função y = y(x), x > 0, tal que: a) b) c) d) 14.3 Primitivas imediatas Além das integrais vistas anteriormente, de de- rivação conhecida, seguem as seguintes de primitivação: a) ∫exdx = ex + k b) c) ∫sec x dx = ln |sec x + tg x| + k d) e) f) ∫tg x dx = –ln |cos x| + k g) h) Exemplos: 1. Calcule a) b) c) d) ∫ sec2 xdx = tg x + k e) ∫ tg2 xdx = ∫(sec2 x – 1)dx = tg x – x + k 2. Seja α ≠ 0 uma constante. Verifique que a) b) Solução: a) . Assim, b) . Assim, 3. Calcule: a) ∫e2x dx b) ∫cos 3x dx c) ∫sen 5x dx d) ∫e–x dx Solução: a) ∫e2x dx = e2x + k b) ∫cos 3x dx = sen 3x + k c) ∫sen 5x dx = – cos 5x + k d) ∫e–x dx = –e–x + k 4. Calcule ∫cos2 x dx Solução: cos 2x = cos2 x – sen2 x = 2cos2 x – 1 cos2 x = + cos 2x Então ou seja ∫cos2 x dx = x + sen 2x + k 80 UEA – Licenciatura em Matemática Agora, aumentamos n. Especificamente, multi- plicamos n por 2; dessa forma, dobramos o nú- mero de retângulos e dividimos ao meio o com- primento de cada retângulo. Isso está ilustrado na figura abaixo, que mostra duas vezes mais retângulos que na figura anterior. Comparando as duas figuras, observe que a região sombreada nesta figura parece aproximar-se mais da região do que a anterior. Assim, a soma das medidas das áreas dos retângulos desta figura está mais próxima do número que desejamos para representar a medida da área de R. Enquanto n aumenta, os valores de Sn encon- trados de (1) aumentam, e sucessivos valores de Sn diferem um do outro por quantidades que se tornam arbitrariamente pequenas. lsso está provado em cálculo avançado por um teorema que estabelece que se f é contínua em [a,b], então enquanto n aumenta ilimitadamente, o valor se Sn dado por (1) aproxima-se de um li- mite. É este limite que tomamos como medida da área da região R. 15.2 Definição da área de uma região plana limitada por uma curva Suponha que a função f seja contínua no inter- valo fechado [a,b], com f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b], e que R seja a região limitada pela curva y = f(x),o eixo x e as retas x = a e x = b. Divida o intervalo [a,b] em n subintervalos, cada um com comprimento Δx = (b – a)/n, e denote o n- ésimo subintervalo por [xi –1, xi]. Então, se f(ci) é o valor funcional mínimo absoluto no n-ésimo subintervalo, a medida da área da região R é dada por A equação acima significa que pode-se tornar tão pequena quanto quisermos, tomando n como um inteiro positivo maior do que algum número positivo suficientemente grande. Podíamos ter tomado retângulos circunscritos em vez de inscritos. Nesse caso, tomamos co- mo alturas dos retângulos o valor máximo ab- soluto de f em cada subintervalo. A existência desse valor está garantida pelo teorema do valor extremo. As correspondentes somas das medidas das áreas dos retângulos circunscri- tos são no mínimo tão grandes quanto a me- dida da área da região R, e pode ser mostrado que o limite dessas somas, quando n aumenta ilimitadamente, é exatamente o mesmo que o limite da soma das medidas das áreas dos retângulos inscritos. Isso está também prova- do em cálculo avançado. Assim, podíamos definir a medida da área da região R por onde f(di) é o valor má- ximo absoluto de f em [xi –1, xi]. Escolha um ponto em cada subintervalo. Seja ξ1 o ponto escolhido em [x0,x1], tal que x0 ≤ ξ1 ≤ x1 Seja ξ2 o ponto escolhido em [x1, x2] tal que 81 Cálculo I – Integrais x1 ≤ ξ2 ≤ x2, e assim sucessivamente, de forma que ξi seja o ponto escolhido em [xi –1, xi] e xi –1 ≤ ξi ≤ xi. Forme então a soma f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξi)Δx + ... + f(ξn)Δx ou (2) Tal somatório é chamado uma soma de Riemann, em homenagem ao matemático Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) . 15.3 Definição de integral definida Se f é uma função definida no intervalo fecha- do [a,b], então a integral definida de f de a a b é denotada por (3) Se o limite existe, onde ξié qualquer número no intervalo fechado [xi –1,xi], i = 1,2,...,n. A integral definida pode ser enunciada mais genericamente, permitindo-se que os n subin- tervalos sejam de comprimentos diferentes e exigindo-se que o maior comprimento tenda a zero quando n cresce ilimitadamente. Contudo a definição mais restrita dada é suficiente para nossos propósitos. Na notação para integral definida ∫ba f(x)dx, f(x) é chamado o integrando, a é chamado o limite inferior, e b o limite superior. O símbolo ∫ é chamado um sinal de integral. O sinal de inte- gral assemelha-se à letra maiúscula S, que é apropriada, pois a integral definida é o limite de uma soma. A razão para o mesmo símbolo é que o teorema chamado teorema fundamen- tal do cálculo, possibilita-nos calcular a inte- gral definida encontrando uma antiderivada (também chamada uma integral indefinida). A afirmação “f é integrável no intervalo fechado [a,b]” é equivalente à afirmação “a integral definida de f de a a b existe”. O teorema seguinte dá-nos uma condição para que uma função seja integrável. Teorema – Se a função f for contínua no interva- lo fechado [a,b], então f será integrável em [a,b]. A definição da área de uma região plana limita- da por uma curva, vista anteriormente, afirma que , onde f(ci) é o valor fun- cional mínimo absoluto no n-ésimo subinterva- lo. Daremos agora uma definição mais geral que permite ser f(ξi) qualquer valor funcional no n-ésimo subintervalo. 15.4 Definição da área de uma região plana limitada por uma curva Seja f uma função contínua em [a,b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b]. Seja R a região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b. Então, a medida da área da região R é dada por A definição acima afirma que se f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b], a integral definida ∫ba f(x)dx pode ser interpretada geometricamente como a medida da área da região R mostrada abaixo. A Equação (3) pode ser usada para se encon- trar o valor exato de uma integral definida. Se ∫ba f(x)dx existe, então diremos que f é inte- grável (segundo Riemann) em [a,b]. É comum referir-se à ∫ab f(x)dx como integral definida de f em [a,b]. Observação – Pomos, ainda, por definição: ∫aa f(x)dx = 0 e ∫ b a f(x)dx = –∫ a b f(x)dx (a < b). 82 UEA – Licenciatura em Matemática 15.5 Propriedades da integral Teorema: Sejam f,g integráveis em [a,b] e k uma constante. Então, a) f + g é integrável em [a,b] e ∫ba [f(x) + g(x)]dx = ∫ba f(x)dx + ∫ba g(x)dx b) kf é integral em [a,b] e ∫ba kf(x)dx = k ∫ b a f(x)dx c) Se f(x) ≥ 0 em [a,b], então ∫ba f(x)dx ≥ 0 d) Se c∈]a,b[ e f é integral em [a,c] em [c,b] então ∫ba f(x)dx = ∫ca f(x)dx + ∫bc f(x)dx Observação – O sinal mais (+) no item a) pode ser substítuido por um sinal de menos (–), como resultado da aplicação do item c), onde k = –1. Também podemos estender a qualquer número de funções. Isto é, (f1 ± f2 ± ....± fn) será integrável em [a,b], então ∫ba [f1(x) ± f2(x) ± ... ± fn(x)]dx = ∫ba f1(x)dx ± ∫ba f2(x)dx ± ... ± ∫ba fn(x)dx 15.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 15.6.1 Introdução Historicamente, os conceitos básicos da inte- gral definida foram usados pelos antigos gre- gos, principalmente por Arquimedes (287–212 a.C.), há mais de 2000 anos, muito antes da formulação do cálculo diferencial. No século dezessete, quase simultaneamente, mas trabalhando independentemente, Newton e Leibniz mostraram como o Cálculo poderia ser usado para se encontrar a área de uma região limitada por uma curva ou um conjunto de curvas, determinando uma integral definida por antidiferenciação. O procedimento envolve o que é conhecido como os teoremas funda- mentais do Cálculo. Antes de enunciar e prová-los, vamos discutir as integrais definidas com um limite superior variável. Seja f uma função contínua no intervalo fecha- do [a,b]. Então o valor da integral definida ∫ba f(x)dx depende somente da função f e dos números a e b, não do símbolo x usado aqui como variável independente, por exemplo, podemos ter ∫ba f(t)dt, ∫ b a f(u)du, ∫ b a f(r)dr, etc. Se f for contínua no intervalo fechado [a,b], então, pelo teorema acima, a integral definida ∫ba f(t)dt existe. Vamos, primeiramente, estabele- cer que, se uma integral definida existir, então ela será um único número. Se X for um número em [a,b], então f será contínua em [a,x], pois é contínua em [a,b]. Conseqüentemente, ∫xa f(t)dt existe e é um número cujo valor depende de x, Logo, ∫xa f(t)dt define uma função F tendo como seu domínio todos os números no intervalo fechado [a,b] e cujo valor funcional em qual- quer número x de [a,b] é dado por F(x) = ∫xa f(t)dt (4) Segundo a convenção notacional, se os limites de uma integral definida forem variáveis, deve- rão ser usados símbolos diferentes para esses limites e para a variável independente no inte- grando. Assim, em (4), como x é o limite supe- rior, usamos a letra t como a variável indepen- dente no integrando. Se, na expressão (4), f(t) ≥ 0 para todos os va- lores de t em [a,b], então os valores funcionais de f(x) poderão ser interpretados geometrica- mente com a medida da área da região limita- da pela curva cuja equação é y = f(t), pelo eixo t e pelas retas t = a e t = x. Veja a figura abaixo. Vamos, agora, enunciar e provar um teorema importante que dá a derivada da função F defi- nida como uma integral definida tendo um limi- te superior variável. Esse teorema é chamado de primeiro teorema fundamental do Cálculo. 15.6.2 Primeiro teorema fundamental do Cálculo Seja f uma função contínua no intervalo fecha- do [a,b], e seja x qualquer número em [a,b]. Se F for a função definida por F(x) = ∫xa f(t)dt (5) então, F’(x) = f(x) (5.1) (Se x = a, a derivada em (5) pode ser a deriva- da à direita e se x = b, a derivada em (5) pode ser a derivada à esquerda.) 85 Cálculo I – Integrais = (3 . 4) – (3 . 2) = 12 – 6 = 6 b) = [x2 + 3x]31 =(9 + 27) – (1 + 3) = 36 – 4 = 32 c) d) e) f) 1. Calcule: a) ∫10(x + 3)dx b) c) d) e) f) g) ∫10(x + 1)2dx h) 2. Em alguns problemas práticos, pode surgir a necessidade de se calcular a área entre duas curvas. Suponhamos que f(x) e g(x) sejam funções não-negativas e que f(x) ≥ g(x) no intervalo a ≤ x ≤ b conforme mostra a figura b. Área de R = ∫ba f(x)dx – ∫ b a g(x)dx = ∫ b a [f(x) – g(x)]dx Pode-se provar que esta fórmula permanece válida mesmo se desprezar a hipótese de as funções f e g serem não-negativas. 86 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 16 ÁREA ENTRE CURVA Se f(x) e g(x) forem contínuas no intervalo a ≤ x ≤ b, com f(x) ≥ g(x), e se R for a região limitada pelos gráficos de f e g pelas verticais x = a e x = b, então, Área de R = ∫ba [f(x) – g(x)]dx Exemplos: 1. Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 + 1 e y = 2x – 2 entre x = –1 e x = 2. Solução: Para melhor visualizar a situação, iniciemos re- presentando a região conforme ilustra a figura abaixo. Aplicamos, então, a fórmula de inte- gração, com f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x –2, a = –1 e b = 2. Obtendo, Área = ∫2–1 [x2 + 1) – (2x – 2)]dx = ∫ 2 1 [x2 – 2x + 3)dx 2. Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 Solução: Esbocemos as curvas, conforme figura abaixo. Determinemos os pontos de intersecção, resol- vendo, simultaneamente, as equações das duas curvas. Obtemos: x3 = x2 x3 – x2 = 0 x2(x – 1) = 0 Ou x = 0 e x = 1 Os pontos correspondentes (0,0) e (1,1) são os de intersecção. Região limitada por y = x3 e y = x2 Observemos que, para 0 ≤ x ≤ 1, o gráfico y = x2 situa-se acima do de y = x3 (pois o quadrado de uma fração entre 0 e 1 é maior que o seu cubo). Logo, a região em estudo é limitada, acima, pela curva y = x2; abaixo, pela curva y = x3 e, nas extremidades, por x = 0 e x = 1. Por conseguinte, Área = ∫10 3. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x2. Solução: área As situações que apresentamos a seguir suge- rem como estender o conceito da área para uma classe mais ampla de subconjunto do 2. 87 Cálculo I – Integrais Como f(x) ≤ 0 em [a,b], ∫ba f(x)dx ≤ 0. área A = –∫ba f(x)dx 2. Seja A o conjunto hachurado área A = ∫ca f(x)dx – ∫ d c f(x)dx + ∫ b d f(x)dx = ∫ b a |f(x)|dx Observe: A = ∫ba f(x)dx = ∫ c a f(x)dx + ∫ b d f(x)dx = soma das áreas dos conjuntos acima do eixo 0x menos a soma das áreas dos conjuntos abaixo do eixo 0x. 3. [f(ci) – g(ci)]Δxi = área do retângulo hachurado. área A, onde A é o conjunto limitado pelas retas x = a, x = b e pelos gráficos de y = f(x) e y = g(x), com f(x) ≥ g(x)em [a,b]. Exemplo: Resolva: a) Calcule a área da região limitada pelo gráfi- co de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retas x = –1 e x = 1. b) Calcule = ∫1–1 x3 dx Solução: a) área = área área b) Nas questões abaixo, desenhe o conjunto A dado e calcule a área. 1. A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3. 2. Aé o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y =0, e pelo gráfico . 3. é o conjunto de todos (x,y), tal que x2 – 1 ≤ y ≤ 0. 4. A é o conjunto de todos (x,y), tal que 0 ≤ y ≤ 4 – x2. 5. A é o conjunto de todos (x,y), tal que 0 ≤ y ≤ |sen x|, com 0 ≤ x ≤ 2π 6. A é é a região do plano compreendida entre 0x e o gráfico de y = x2 – x, com 0 ≤ x ≤ 2. 7. A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3 – 2x – x3, com –1 ≤ x ≤ 2. 8. A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = –1, x – 2, y = 0 e pelo gráfico de y = x2 + 2x + 5. 9. A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x, pelo gráfico de y = x3 – x, 1 ≤ x ≤ 1. 10. A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = x3 – x, com 0 ≤ x ≤ 2. y x= 90 UEA – Licenciatura em Matemática lar essa integral consiste em considerar u = 2x3 + 1 du = 6x2 dx por du = x2 dx Substituímos, então, x2 dx por du e integramos como anteriormente 2. Calcular Solução: Note que o integrando contém o termo xdx. Se o fator x estivesse ausente, ou elevado a uma potência mais alta, o problema seria mais com- plicado. Para integrandos que envolvem um radical, em geral substituímos a expressão sob o sinal de radical. Assim, u = 7 – 6x2, du = –12x dx Em seguida, introduzimos o fator –12 no inte- grando, compensando com a multiplicação da integral por , e procedemos como segue: Poderíamos também ter escrito substituindo xdx diretamente. Assim, Para o restante da solução, procedemos exata- mente como antes. 3. Calcular Solução: Façamos u = x3 – 3x + 1 du = (3x2 – 3)dx = 3(x2 – 1)dx e procedemos como seguinte: 4. Calcular Solução: Para a fórmula ∫cos u du = sen u + C, fazemos a substituição Introduzimos o fator no integado e com- pensando-o pela multiplicação da integral por 2, obteremos = 2∫cos u du = 2sen u + C 5. Calcular ∫cos3 5x sen 5x dx Solução: A forma do integrando sugere utilizarmos a regra da potência . Façamos, pois, u = cos 5x, du = –5 sen 5x dx. A forma de du indica que devemos introduzir o fator –5 no integrando, multiplicar a integral por – e integral como segue: ∫cos3 5x sen 5xdx 91 Cálculo I – Integrais 1. Calcule a integral fazendo a substituição dada: a) ∫cos 3xdx, u = 3x b) c) 4. Calcule a integral indefinida: a) ∫2x(x2 + 3)4dx b) c) d) e) f) ∫(1 – 2y1,3)dt g) ∫cos 2θdθ h) i) ∫ t sen(t2)dt j) k) l) ∫cos4x senx dx m) n) o) 17.4 A regra da substituição para Integrais definidas Se g’ for contínua em [a,b] e f for contínua na variação de u = g(x),então ∫ba f(g(x))g’(x) = ∫ g(b) g(a) du Prova: Seja F uma antiderivada de f. Então, pelo méto- do da substiuição, F(g(x)) é uma antiderivada de F’(g(x)) g’(x); logo, pela parte 2 do Teorema Fundamental, temos ∫ba f(g(x))g’(x)dx =F(g(x))] b a = F(g(b)) – F(g(a)) Mas aplicando uma segunda vez o TFC2, tam- bém temos, ∫g(b)g(a) f(u) du = F(u)] g(b) g(a) = F(g(b)) – F(g(a)) Exemplos: 1. Sendo calcule. Solução: Usando a substituição u = 2x + 1 e . Para encontrar os novos limites de integração, notamos que, quando x = 0, u = 1, e quando x = 4, u = 9 Portanto Observe que, quando usamos a regra da substi- tuição, não retornamos à variável x após a inte- gração. Simplesmente calculamos a expressão em u entre os valores apropriados de u. 2. Calcule Solução: Seja u = 3 – 5x. Então du = –5dx, portanto . 92 UEA – Licenciatura em Matemática Quando, x = 1, u = –2 e quando x = 2, u = –7. Assim, 3. Calcule Solução: Vamos fazer u = 1n x, pois sua diferencial ocorre na integral. Quando x = 1, u = 1n1 = 0, quando x = e, u e 1n e e = 1.Assim 6. Calcular . Solução: Comecemos escrevendo a integral como A expressão na integral sugere a seguinte substituição u = 5x – 1, du = 5dx. A forma de du sugere introduzirmos o fator 5 no integrando, compensando pela multipli- cação da integral por , como segue: Calculamos, em seguida, os valores de u = 5x – 1, que correspondem aos limites de integração x = 2 e x = 10: (i) Se x = 2, então u = 5(2) – 1 = 9. (ii) Se x = 10, então u = 5(10) – 1 = 49. Substituindo na integral e mudando os limites de integração conforme método da substi- tuição, vem: 7. Calcular . Solução: O integrando sugere a regra da potência Fazemos assim u = 1 + sen 2x, du = 2cos2xdx A forma de du indica que devemos introduzir o fator 2 no integrando e multiplicar a integral por , como segue: Calculamos, em seguida, os valores de u = 1 + sen 2x, que correspondem aos limites de integração x = 0 e : (i) Se x = 0, então u = 1 + sen 0 = 1 + 0 = 1 (ii) Se , então Substituindo no integrando e mudando os li- mites de integração, obtemos: 17. 5 SIMETRIA 17.5.1 Introdução O terorema seguinte ilustra uma técnica útil pa- 95 Cálculo I – Integrais grando em duas partes, referimo-nos ao uso da fórmula como integração por partes. É importante a escolha adequada de dv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada. O exemplo a seguir ilustra esse método de integração. Exemplo: 1. Calcular ∫xe2xdx Solução: A lista seguinte contém todas as escolhas pos- síveis de dv: dx, xdx, e2xdx, xe2x, xe2xdx A mais complexa destas expressões que pode ser integrada rapidamente é e2x dx. Assim, fazemos dv = e2xdx. A parte restante do integrando é u, isto é, u = x. Para achar v, integramos dv, obtendo . Se u = x, então du = dx. Para facilidade de referência, disponhamos essas expressões co- mo segue: dv = e2xdx u = x du = dx Levando essas expressões na fórmula, isto é, integrando por partes, obtemos integrando à direita, temos: É necessário práticar bastante para fazer uma escolha adequada de dv. Para ilustrar, se tivéssemos escolhido dv = x dx no exemplo 1, teria sido necessário fazer u = e2x, onde dv = x dx u = e2x du = 2e2x dx Integrando por partes, obteríamos Como o expoente associado a x aumentou, a integral à direita tornou-se mais complexa que a integral original. Isso indica uma escolha incorreta de dv. 2. Calcular: a) ∫x sec2 x dx b) Solução: a) As escolhas possíveis de dv são dx, x dx, secx dx, xsec x dx, sec2x dx, xsec2x dx A mais complexa destas expressões que pode ser integrada imediatamente é sec2x dx. Fazemos, pois, dv = sec2 xdx u = x v = tg x du = dx Integrando por partes, obtemos ∫xsec2 x dx = xtg x = ∫tg x dx = xtg x + ln |cos x| + C b) A integral indefinida obtida na parte (a) é uma antiderivada de xsec2x. Aplicando o teorema fundamental do cálculo (e omitin- do a constante de integração C), obtemos Se, no exemplo 2, tivéssemos escolhido dv = x dx e u = sec2 x, a integração por partes teria conduzido a uma integral mais complexa. A seguir, aplicamos a integração por partes pa- ra achar uma antiderivada da função logarítmi- ca natural. 3. Calcular ∫ln x dx Solução: Seja dv = dx u = 1n x v = x 96 UEA – Licenciatura em Matemática obtemos, = x ∫ln x – ∫dx = x ln x – x + C Observação – Algumas vezes, pode ser neces- sário aplicar a integração por partes mais de uma vez no mesmo problema. 4. Calcular ∫x2e2x dx Solução: Façamos dv = e2x dx u = x2 du = 2x dx logo, Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por partes. Procedendo exatamente como no exemplo 1, temos: O próximo exemplo mostra outra maneira de calcular uma integral aplicando duas vezes a fórmula de integração por partes. 5. Calcular ∫e2 cos2 dx Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = e" dx, pois qualquer uma dessas duas expressões é facilmente integrável. Escolhamos dv = cosx dx u = ex v = sen x du = ex dx Então, ∫ex cos x dx = ex sen x – ∫(sen x)ex dx ∫ex cos x dx = ex sen x – ∫ex sen x dx (1) Aplicamos, em seguida, a integração por partes à integral no membro direito de (1). Como escolhemos uma forma trigonométrica para dv na primeira integração por partes, escolhere- mos também uma forma trigonométrica na segunda. Fazendo dv = sen x dx u = ex v = –cos x du = exdx e integrando novamente por partes obtemos: ∫ex sen x dx = ex (–cos x) – ∫(–cos x)ex dx ∫ex sen x dx = –ex cos x + ∫ex cos dx (2) Utilizando a equação (2) para fazer a substitu- ição no membro direito da equação (1), obtemos ∫ex cos x dx = ex sen x – [–ex cos x + ∫ex cos x dx] ou, ∫ex cos x dx = ex sen x + ex cos x – ∫ex cos x dx Adicionando ∫e2 cos dx a ambos os membros da última equação, obtemos: 2 ∫e2 cos x dx = e2(sen x + cos x) Finalmente, dividindo ambos os membros por 2 e adicionando a constante de integração, obtemos Poderíamos também ter calculado a integral utilizando dv = ex dx para a primeira e para a segunda aplicação da função integração por partes. Devemos escolher cuidadosamente as substi- tuições ao calcular uma integral do tipo dado no exemplo 5. Suponhamos que, no cálculo da integral à direita da equação (1) da solução, tivéssemos escolhido dv = ex dx u = sen x v = ex du = cos x dx A integração por partes, então, conduziria a ∫ex sen x dx = (sen x)ex – ∫ex cos x dx = ex sen x – ∫ex cos x dx Se substituímos em (1), obtemos ∫ex cos x dx = ex sen x – [ex sen x – ∫ex cos x dx] que se reduz a ∫ex cos x dx = ∫ex cos x dx Embora se trate de uma afirmação verdadeira, não é evidentemente um cálculo da integral dada. 6. Calcular ∫sec3 x dx Solução: As escolhas possíveis de dv são 97 dx, sec xdx, sec2 x dx, sec3 x dx A expressão mais complexa que pode ser in- tegrada facilmente é sec3 x dx. Fazemos então dv = sec2 x dx u = sec x v = tg x du = sec x tg x dx daí, ∫sec3 x dx = sec x tg x – ∫sec x tgx x dx Em lugar de aplicar outra integração por par- tes, mudemos a forma da integral à direita va- lendo-nos da identidade 1 + tg2 x = sec2 x que nos dá ∫sec3x dx = secx tgx – ∫sec x (sec2 x – 1)dx Somando ∫sec3 x dx a ambos os membros da última equação, obtemos 2∫sec3x dx = secx tgx + ∫sec x dx Calculando agora ∫sec x dx e dividindo ambos os membros da equação resultante por 2 (e acrescentando, então, a constante de integra- ção), obtemos A integração por partes pode, às vezes, ser usada para obter fórmulas de redução para integrais. Utilizamos tais fórmulas para escre- ver uma integral que envolve potências de uma expressão, em termos de integrais que envol- vem potências inferiores da mesma expressão. 7. Estabelecer uma fórmula de redução para ∫senn xdx. Solução: Fazemos dv = sen x dx u = senn–1x v = –cos x du = (n – 1)n–2sen x cos x dx integrando, temos: ∫senn x dx = –cosx senn – 1x+(n–1)∫senn – 2 x cos2x dx Como cos2 x = 1 – sen2 x, podemos escrever ∫senn x dx = –cosx senn – 1x+(n–1)∫senn – 2 x dx – (n – 1)∫senn x dx Conseqüentemente, ∫senn x dx = (n – 1)∫senn x dx = cos x senn – 1 x + (n – 1)∫senn – 2 x dx O membro esquerdo da equação reduz-se a n ∫sen x dx. Dividindo ambos os membros por n, obtemos 8. Aplique a fórmula de redução do exemplo 7 para calcular ∫sen4 x dx. Aplicando a fórmula com n = 4, obtemos Solução: Aplicando a fórmula de redução, com n = 2, para a integral à direita, temos Conseqüentemente, com É evidente que, mediante aplicações reiteradas da fórmula do exemplo 7, podemos calcular ∫sennx dx para qualquer inteiro positivo n, porque essas reduções sucessivas terminam em ∫sen x dx ou ∫dx, ambas imediatamente integráveis. 1. Calcule: a) ∫ xex dx b) ∫ xsen xdx c) ∫ x2 ex dx d) ∫ xln xdx e) ∫ ln x dx f) ∫ x2ln xdx g) ∫ sec2 xdx Cálculo I – Integrais