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Guias e Dicas
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apostila de matemática básica, Provas de Matemática

apostila de matemática básica para estudantes de ensino médio, superior e para estudantes de concursos.

Tipologia: Provas

2010

Compartilhado em 13/03/2010

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valdinei-valdinei-7 🇧🇷

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Baixe apostila de matemática básica e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! MATEMÁTICA FÁCIL ) SE LC PELA O £ Profº Ms. Valdinei Cezar Cardoso Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 2 Sumário Operações com números inteiros........................................................................... 02 Divisores de um número........................................................................................ 07 Máximo divisor comum......................................................................................... 09 Mínimo múltiplo comum .......................................................................................10 Operações com frações ..........................................................................................10 Potenciação e radiciação ........................................................................................11 Expressões numéricas ............................................................................................16 Sistemas de medidas ...............................................................................................19 Médias ....................................................................................................................29 Regra de três simples e composta ..........................................................................32 Perímetros, áreas e volumes ...................................................................................46 Função do primeiro grau ........................................................................................51 Relações métricas no triângulo retângulo ..............................................................53 Comprimento da circunferência em radianos ........................................................55 Trigonometria em um triângulo qualquer .............................................................63 Porcentagem ..........................................................................................................65 Juros simples e compostos .....................................................................................64 Funções do primeiro grau e representação gráfica ................................................66 Coleta de dados, interpretação de gráficos e tabelas e o uso de MS-Excel ...........77 Operações com números inteiros A multiplicação de números inteiros não é muito diferente da multiplicação que estamos acostumados a fazer. A diferença é que agora teremos que utilizar algumas regras no “jogo dos sinais”. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 5 i) 36 – {14 + [-57 – (-33 – 49 + 50)]} j) 18 – (-8 + 31) + {-7 – [-4 + (8 – 1) – (16 – 3 + 7) + 2] – 4} • Resolva todas as expressões e responda a pergunta.  A que horas Pedro calculou a expressão que dá o resultado maior? E o menor? 02. Em janeiro, uma empresa teve um prejuízo de 5 200 reais, mas, em fevereiro, recuperou-se e teve um lucro de 12 560 reais. a) Escolha, usando números inteiros, uma expressão que represente a situação da empresa ao final de fevereiro. b) Qual foi o lucro dessa empresa nesse bimestre? 03. Em relação ao nível do mar, a altitude de um avião é +2 500 metros e a de um submarino é -400 metros. Qual é a diferença entre as atitudes do avião e do submarino? 04. Um avião partiu de um aeroporto situado 600 metros acima do nível do mar, com te bom e temperatura de 28 °C. Ao atingir a altitude máxima, de 3 300 metros acima do nível do mar, o piloto avisou que a temperatura externa era de -40 °C. Da decolagem até o momento em que foi atingida a altitude máxima, calcule quanto variou: a) a altitude do avião; b) a temperatura externa. 05. Em um jogo de perguntas e respostas cada participante ganha 3 pontos por acerto, perde 2 pontos por erro e perde 1 ponto se não responder. Veja o desempenho dos cinco participantes em cada jogo com 20 perguntas para cada um. Christian: 9 acertos, 8 erros e 3 sem responder. Ana Clara: 6 acertos, 5 erros e 9 sem responder. Gustavo: 7 acertos, 8 erros e 5 sem responder. Larissa: 8 acertos, 3 erros e 9 sem responder. João Pedro: 7 acertos, 10 erros e 3 sem responder. Determine a pontuação de cada um e escreva a classificação final de acordo com a ordem decrescente de pontos. 06. As expressões numéricas, a seguir, representam os números inteiros A e B A  1 – [4 + (4 – 2 – 5) – (-7 + 3)] B  2 – [7 – (-1 – 3 + 6) – 8] Determine o valor de: Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 6 a) A + B b) A – B c) B – A 07. Sejam os números a, b e c, representados pelas expressões: a = -3 –[1 –(5 + 2) + 4] b = 48 + {52 – [14 + (-17 + 82)] – 18} c = -20 – [4 + 3 – (12 – 19) – (35 – 15) + 2] + 16 Represente os números a, b e c na reta numérica inteira. 08. Coloque os números inteiros a seguir em ordem crescente na reta indicada abaixo, utilize sua régua, utilize meio centímetro para indicar a distância de um número inteiro até outro: a) 3;4;10;1;6;1;0;3;2;4 −−−−−− 09. Diga se é verdadeiro (V) ou falso (F) cada igualdade, justificando sua resposta com os cálculos: a) ( ) –52 = (-5)2 b) ( ) (-5)2 = 52 c) ( ) –23 = (-2)3 10. O gráfico mostra os lucros de um supermercado no primeiro semestre de 2006. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerar que os prejuízos como lucros negativos. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 7 a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais? b) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro? 11. Zé da Feira, tinha saldo negativo no banco: - 500 reais. Mesmo assim, deu um cheque de 200 reais. Efetue os cálculos para descobrir seu novo saldo. Divisores de um número  Determinação do número de divisores de um número: o Decompomos o número em um produto de fatores primos. o Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados. Exemplos: 1. Quantos são os divisores do número 120? 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 120 = 23.3.5 = (3+1).(1+1).(1+1) = 4.2.2 = 16 divisores 2. Quantos são os divisores dos números 22.3.53.7? (2+1).(1+1).(3+1).(1+1) = 3.2.4.2 = 48 divisores.  Determinação dos divisores de um número. o Decompomos o número dado em um produto de fatores primos. o Colocamos um traço, à direita dos fatores primos e logo acima escrevemos o número 1, que é divisor de todos os números. o Multiplicamos os fatores primos pelos números que estão à direita do traço e acima deles. Exemplos: 1. Quais são os divisores do número 120? 120 2 2 60 2 4 30 2 8 15 3 3, 6, 12 , 24 5 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 1 1 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 10 Exemplos: 1. Efetue: a) 60 149 60 50244530 6 5 5 2 4 3 2 1 = +++ =+++ Exercícios 01. Efetue as operações indicadas: a) 1 1 2 3 + b) 1 1 3 7 + c) 2 1 3 2 + d) 3 1 2 5 + e) 1 1 2 4 + f) 4 1 3 12 + g) 1 3 4 + h) 12 3 + i) 24 5 + j) 8 3 3 2 + l) 5 6 7 7 + m) 2 4 3 9 + n) 5 3 9 2 + o) 4 2 7 + p) 1 1 1 3 4 2 + + q) 1 1 1 3 7 7 + + r) 2 3 3 3 2 5 + + s) 1 1 4 2 2 3 + + t) 1 1 9 3 7 2 + + u) 2 1 2 3 4 + + v) 5 4 4 6 3 + + 02. Efetue as operações indicadas: a) 5 6 7 7 − b) 2 4 3 9 − c) 5 3 9 2 − d) 4 2 7 − e) 1 1 2 3 − f) 1 1 3 7 − g) 2 1 3 3 − h) 3 1 2 5 − i) 1 1 4 3 − j) 4 1 3 12 − l) 1 3 4 − m) 12 3 − n) 23 5 − o) 8 5 5 2 − p) 1 1 4 2 2 3 − − q) 2 3 3 3 2 5 − − r) 2 1 2 3 4 − − s) 5 4 4 6 3 − − t) 1 1 1 3 4 2 − − u) 1 1 1 3 7 7 − − v) 1 1 9 3 7 2 − − Multiplicação e divisão: o Na multiplicação : multiplicamos, respectivamente, os numeradores e os denominadores das frações. o Na divisão: multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. Observações: 1. Devemos simplificar as frações entre si antes de multiplicá-las. 2. Pelo mesmo número que dividimos em cima temos que dividir em baixo. 3. Para obter uma fração inversa basta trocar o numerador e o denominador de posição. Exercícios 01. Efetue as operações indicadas: a) 1 1 2 3 × b) 1 1 3 7 × c) 2 1 3 2 × d) 3 1 2 5 × e) 1 1 2 4 × f) 4 1 5 12 × g) 1 3 4 × h) 16 3 × i) 24 5 × j) 8 3 3 2 × l) 5 6 7 7 × m) 2 4 3 9 × n) 5 14 7 15 × o) 4 2 7 × Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 11 p) 1 1 1 3 4 2 × × q) 1 6 7 3 7 2 × × r) 2 3 3 3 2 5 × × s) 3 7 5 2 4 3 × × t) 2 1 9 3 7 5 × × u) 2 1 2 3 4 × × v) 4 4 4 5 3 × × 02. Efetue as operações indicadas: a) 1 1 2 3 ÷ b) 1 6 3 7 ÷ c) 2 1 3 2 ÷ d) 3 1 2 5 ÷ e) 1 1 2 4 ÷ f) 4 1 3 12 ÷ g) 1 3 4 ÷ h) 12 3 ÷ i) 24 5 ÷ j) 8 3 3 2 ÷ l) 5 6 7 7 ÷ m) 2 4 3 9 ÷ n) 5 3 9 2 ÷ o) 4 2 7 ÷ p) 1 1 1 3 4 2   ÷ ÷    q) 1 1 1 3 7 7   ÷ ÷    r) 2 3 3 3 2 5   ÷ ÷    s) 1 1 4 2 2 3   ÷ ÷    t) 1 1 1 3 6 2   ÷ ÷    u) 2 1 2 3 4   ÷ ÷    v) 5 4 4 6 3   ÷ ÷    Potenciação e radiciação: Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: Propriedades das Potências: - Divisão de potência de mesma base Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema. Exemplos de fixação: 1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23 2) 35 ÷ 32 = 35-2 = 32 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 12 3) 46 ÷ 43 = 46-3 = 43 Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0 - Produto de potência de mesma base Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema. Exemplos de fixação: 1) 24 . 2 = 24+1 = 25 2) 35 . 32 = 35+2 = 37 3) 46 . 43 = 46+3 = 49 Temos então: Im . In = Im+n - Potência de Potência Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos. Exemplos de fixação: 1) (23)4 = 212 , pois = 23 . 23 . 23 . 23 2) (32)3 = 36 , pois = 32 . 32 . 32 3) (42)5 = 410 , pois = 42 . 42 . 42 . 42 . 42 Temos então: (In)m = Inxm - Potência de um produto Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência. Exemplos de fixação: 1) (b5ya3 )4 = b20y4a12 2) (c2d2e5 )2 = c4d4e10 3) (d3a4 )3 = d9a12 Temos então: (I.T)m = I m x T m Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 15 Propriedades da radiciação: Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: o Potenciações e radiciações, se houver. o Multiplicações e divisões, se houver. o Adições e subtrações Exemplo: Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operações. Exemplo: 36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 16 Outros exemplos: [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = =[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3 Exercícios 01. Efetue: a) 11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 = Resp: 74 b) 109 – 15.4 + 26 : 13 = Resp: 51 c) 10 + 3502 : 17 – 100 : 25 = Resp: 212 d) 25 + 25 : 25 – 25.1 = Resp: 1 e) ( )=−+ 18:4.22 24 Resp: 18 f) ( )=+ 02 215:15.15:8 Resp: 4 g) (7.6 – 32 : 2) : 13 = Resp: 2 h) ( )[ ] =− )29.(2:3).2:16( 32 Resp: 9 i) ( ) ( ) 2 325 4:23:12510     +− Resp: 25 j) 20 – (- 45) : (-3)2 + (-2). (-1)5 Resp: 27 k) ( ) =−−−−+−− 25:5325)1(2 3203 Resp: 0 l) ( ) ( ) =+++−−−+ 207344 2.8320221 Resp: 58 m) ( ) ( ) = −+− −−− 253 272 0 32 Resp: 7 n) 32 3 2 : 5 2 5 4 . 4 1       +      = Resp: 5 7 o) =       − +       − 2 5 4 1 5 1 4 3 2 1 1 Resp: 3 17 p) (0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = Resp: - 0,07 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 17 q) =−−+ ) 2 1 5,0:8,04(:19,0 4 1 Resp: 0,35 r) =      −−      + −− − 12 1 3 1 3 2 .62 Resp: 17 s) ( ) 0 21 4 6 1 4. 2 1 : 2 1       −+      − − = Resp: 3 t) (- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) = Resp: 3,14 Sistemas de medidas1 Medidas de Comprimento: Sistema Métrico Decimal Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu- se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro Hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 1 Fonte:www.somatemática.com.br Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 20 • Qual a área desta sala? • Qual a área desse apartamento? • Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? • Qual a área dessa quadra de futebol de salão? • Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetros quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2 O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. Medidas Agrárias Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 21 As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária Hectare (ha) are (a) centiare (ca) Equivalência de valor 100a 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2 Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: • transformar 2,36 m2 em mm2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 • transformar 580,2 dam2 em km2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 22 Medidas de volume Introdução Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m 3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porém, três algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos: • Leia a seguinte medida: 75,84m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". • Leia a medida: 0,0064dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 25 milênio = 1.000 anos Medidas de massa Introdução Observe a distinção entre os conceitos de peso e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar. Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC. Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e Submúltiplos do grama Múltiplos Unidade principal Submúltiplos quilograma hectograma Decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg Dag G dg cg mg 1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Exercícios envolvendo os sistemas de medidas Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 26 Exercícios envolvendo medidas de área 1- Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado ? 2- Quantos metros quadrados contém uma quadra de esportes com 100 m de lado ? 3- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área ? 4- Um alqueire paulista são 24.200 m2. Uma chácara retangular tem um alqueire e mede 100 m de frente. Quanto ela mede de fundo ? 5- Efetue as seguintes transformações: a) 5 m² em dm² b) 12 km² em dam² c) 13,34 dam² em m² d) 457 dm² em m² e) 655 dam² em km² f) 4,57 m² em dam² g) 4,44 dm² em mm² h) 0,054dam² em dm² i) 3,1416m² em cm² j) 0,081 mm² em cm² Exercícios envolvendo massa e volume 1- Quantos miligramas contém 1 kg ? e 1 t ? 2- Quantos gramas contém, 1t ? 3- Qual é a massa de 1 m3 de água ? 4- Qual é a massa de 1 ml de água ? 5- Uma caixa de água mede 50 cm x 50 cm de base e 50 cm de altura. Qual o seu volume? Qual a massa de água que a enche completamente ? 6- Quantos litros de água cabem em um tanque cúbico de 2 m de lado ? 7- Sabendo que 1Kl tem 1000 l, quantos kl tem: a) 37 l = b) 3750 l = Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 27 c) 44185 l = 8- Transforme as medidas, escrevendo-as na tabela abaixo: a) 0,936 kl em dl b) 7,8 hl em l c) 502 ml em l d) 13 kl em dl e)1ml em kl f) 59 cl em dal quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 9- Dê a representação simplificada das seguintes medidas: a) doze centímetros cúbicos. b) três metros cúbicos e quinze decímetros cúbicos. c) seis centímetros cúbicos e doze milímetros cúbicos. d) quinze hectômetros cúbicos e cem metros cúbicos. 10- Efetue as seguintes transformações: a) 6m³ em dm³ b) 50 cm³ em mm³ c) 3,632 m³ em mm³ d) 0,95 dm³ em mm³ e) 500 dam³ em m³ f) 8,132 km³ em hm³ Exercícios envolvendo Medidas de Comprimento 1) Complete a tabela fazendo as transformações: 3 km ??? m 12 m ??? dm 4 cm ??? mm Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 30 Para um mesmo conjunto de dados, a média aritmética terá sempre o maior valor, seguida da média geométrica e depois da harmônica. Exercícios de Médias 1) Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos: a) 15 ; 48 ; 36 b) 80 ; 71 ; 95 ; 100 c) 59 ; 84 ; 37 ; 62 ; 10 d) 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 e) 18 ; 25 ; 32 f) 91 ; 37 ; 84 ; 62 ; 50 2) João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir. Calcule a média ponderada de suas notas, sendo que as duas primeiras provas valem 2 pontos e as outras duas valem 3 pontos: Inglês 1ª prova 6,5 2ª prova 7,8 3ª prova 8,0 4ª prova 7,1 Português 1ª prova 7,5 2ª prova 6,9 3ª prova 7,0 4ª prova 8,2 História 1ª prova 5,4 2ª prova 8,3 3ª prova 7,9 4ª prova 7,0 Matemática 1ª prova 8,5 2ª prova 9,2 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 31 3ª prova 9,6 03. Calcule a média aritmética entre 13 e 15. 04. Calcule a média goemétrica entre 4 e 25. 05. Calcule a média harmômica entre 6 1 2 1 e 06. Calcule a média aritmética ponderada dos números 5,7 e 11, sendo os pesos respectivamente: 2, 3 e 5. Regra de Três Simples e Composta Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 32 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 35 07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ? 08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ? 09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ? 10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ? 11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume? 12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ? 13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas. a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ? b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ? c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ? 14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade? Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 36 17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos? 18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico? 19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ? 20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ? 21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ? 22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina? 23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ? 24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque? 27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ? 28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ). 29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área? 30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius? Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 37 31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta? 32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ? 33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ? 34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ? 35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ? 36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda : a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ? b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando? 37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo- se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro? 39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância? 40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ? 42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio? 43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ? Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 40 72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? 73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? 74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ? 75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias? 76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ? 78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ? 79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ? 80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson. 81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ? 82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ? 83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h. Regra de Três – Questões Objetivas 84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em: a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias 85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa : a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 41 86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será: a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000 87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá: a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km 88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ? a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas 89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ? a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias 90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia? a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias 91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de: a) 2 min b) 2 min e 19 segundos c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos 92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá : a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros 93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ? a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 42 95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ? a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00 96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado : a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia. c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia. 97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam : a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00 98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ? a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão : a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias. 100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em: a) 8 dias b) 9 dias c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas. 101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ? a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos 102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 45 69) 16 dias 70) 4 dias 71) 216 caixas 72) 7 kw 73) 24 ovos 74) 5 min 75) 12 máquinas 76) 5 kg 77) 9 horas 78) 1.800 toneladas 79) 18 dias 80) 300 litros 81) 360 famílias 82) 480 colares 83) 5 horas 84) letra d 85) letra b 86) letra c 87) letra d 88) letra b 89) letra c 90) letra b 91) letra c 92) letra d 93) letra c 94) letra c 95) letra b 96) letra a 97) letra a 98) letra d 99) letra c 100) letra a 101) letra c 102) letra a 103) letra e 104) letra d 105) letra d 106) letra d 107) letra e Perímetros, áreas e volumes2 a) Triângulos Sendo R o raio da circunferência circunscrita, r o da inscrita e p = o semiperímetro, a área de um triângulo pode ser calculada das seguintes formas: 2 Fonte: www.somatematica.com.br Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 46 b) Retângulo c) Paralelogramo d) Trapézio Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 47 e) Losango f) Quadrado Exercícios de Geometria Plana 1) Determine a área das seguintes figuras (em cm): a) b) Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 50 Função de primeiro grau Função polinomial do primeiro grau ou simplesmente função de primeiro grau é toda função definida de R em R por f(x) = ax + b, com a e b números reais. O gráfico de uma função de primeiro grau é sempre uma reta. 1. Escreva a lei que define a função de primeiro grau representada no gráfico: 2. Construa o gráfico da função do primeiro grau f(x) = 3x + 1, definida de R em R. Dica: atribua valores inteiros à variável x, por exemplo, de 2 a 2. O gráfico de uma função pode ser definido por leis diferentes, em diferentes intervalos de R. Lembre-se de que quando uma reta, no plano cartesiano, é: • paralela ao eixo Ox, a função é constante (f(x) = t); • crescente, o sinal de a é positivo; • decrescente, o sinal de a é negativo. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 51 3. No gráfico a seguir, pinte de vermelho o trecho referente a f(x) = 4; de azul, o trecho referente a f(x)= 2x+8; e de verde, o trecho referente a f(x)= 2x + 4. Escreva também os respectivos intervalos de x. Função linear é toda função definida de R em R por f(x) = ax, com a R . A reta que representa seu gráfico sempre passa pelo ponto (0, 0). É um caso particular da função de primeiro grau. No caso de a = 1, temos f(x) = x, chamada de função identidade. A reta que representa seu gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares. 4.Desenhe, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções lineares f(x) = 2x, f(x) = 1/2 x e de f(x) = x. Compare os gráficos e escreva suas observações. Estudo dos sinais de funções f(x) = ax + b Para fazermos o estudo dos sinais de uma função do primeiro grau, devemos proceder da seguinte forma: • determinamos a raiz da função (f(x) = 0); • verificamos o sinal de a (se a > 0 a função é crescente, se a < 0 a função é decrescente); • esboçamos um gráfico; • montamos uma tabela indicando os sinais da imagem da função. 5. Considere f(x) = 2x + 1 e g(x) = x +2. Encontre os intervalos de números reais que tornam o produto das funções f e g menor ou igual a zero. Organize na tabela abaixo os sinais de f(x) e de g(x) e depois considere o intervalo em que o produto é menor ou igual a zero. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 52 Para determinar o domínio de uma função real que apresenta uma raiz de índice par e que contenha um produto ou quociente de funções do primeiro grau, devemos resolver uma inequação do tipo f(x) . g(x) < 0 ou < 0, porque a condição de existência de uma raiz de índice par, no conjunto dos reais, é que o radicando seja positivo ou nulo. 8. Dê o domínio da função f(x) = . Dica: Os valores da raiz devem ser positivos ou nulo, porém o denominador da fração não pode ser nulo. Relações métricas no triângulo retângulo Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçando a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguintes elementos: · a é a hipotenusa; · b e c são catetos; · h é a altura relativa à hipotenusa; · m é a projeção de c sobre a hipotenusa; · n é a projeção de b sobre a hipotenusa 1. Observe a figura acima e complete as relações métricas para o triângulo retângulo: a2 = ________________________________________________ b2 = ________________________________________________ c2 = ________________________________________________ h2 = ________________________________________________ a · h = ______________________________________________ Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 55 8. Complete as sentenças de modo a torná-las verdadeiras. a) Um arco de rad equivale a um arco de ____________________________graus. b) Um arco de 270° equivale a um arco de ____________________________radianos. Circunferência trigonométrica Denomina-se circunferência trigonométrica a uma circunferência de raio 1, orientada no sentido anti- horário, à qual associamos um par de eixos de coordenadas cartesianas com o ponto (0; 0) coincidente com o centro O. 9. Preencha os espaços em branco com a medida dos arcos orientados, em graus, que têm origem em A e extremidade indicada em cada quadrante, no sentido anti-horário. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 56 a) b) c) Seno e cosseno na circunferência trigonométrica Seja α a medida de um arco de extremidade P na circunferência trigonométrica. Então, definimos como seno de α a ordenada do ponto P e como cosseno de a α abscissa do ponto P. sen α = ordenada de P cos α = abscissa de P Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 57 10. Lembrando que sen 30° = cos 60° = , sen 45° = cos 45° = e sen 60° = cos 30° = , observe as simetrias das extremidades dos ângulos e complete a tabela com os valores pertinentes: a) sen 150° = __________cos 150° = _________ sen 210° = __________cos 210° = _________ sen 330° = __________cos 330° = _________ b) sen 135° = __________cos 135° = __________ sen 225° = __________cos 225° = __________ sen 315° = __________cos 315° = __________ c) sen 135° = __________cos 135° = __________ sen 225° = __________cos 225° = __________ sen 315° = __________cos 315° = __________ Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 60 15. O polígono da figura é um octógono regular. Dê a expressão geral dos arcos que têm extremidades: a) nos pontos A ou C ou E ou G; b) nos pontos B ou D ou F ou H; c) em todos os vértices do polígono. Adição e subtração de arcos Podemos determinar valores de seno, cosseno e tangente das somas e diferença entre eles a partir dos valores de seno, cosseno e tangente de cada um por meio das seguintes fórmulas: sen(a + b) = sena × cosb + senb × cosa sen(a- b) = sena × cosb - senb × cosa cos(a + b) = cosa × cosb - sena × senb cos(a- b) = cosa × cosb + sena × senb tg(a + b) = tg(a - b) = 16. Usando as relações acima, calcule: a) sen 75° = sen(30º + 45º)=______________________________________________ b) cos 105°=___________________________________________________________ c) tg 15° = ____________________________________________________________ Função seno Chama-se função seno a função definida de R em R por: f(x) = sen x A função f(x) = senx é uma função periódica de período igual a 2π . Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 61 Im(f) =[-1; 1] Função cosseno Chama-se função cosseno a função definida de R em R por: f(x) = cos x A função f(x) = cos x é uma função periódica de período igual a 2π . Im(f) = [-1; 1] 17. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos solicitados e escreva o conjunto-imagem e o período de cada função: a) f(x) = 2 + cosx b) g(x) = 2cosx c) h(x) = cos2x Função tangente Chama-se função tangente a função definida para x < + kπ , k ∈ Z por: f(x) = tg x A função f(x) = tg x é uma função periódica de período igual aπ . Im(f) = R Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 62 18. Desenhe, no mesmo plano cartesiano, os gráficos solicitados: a) f(x) = tg b) g(x) = 2 + tgx 19. Escreva uma lei para a função trigonométrica representada no plano cartesiano e determine o período. a) b) Trigonometria em um triângulo qualquer Lei dos senos Para todo triângulo ABC, sendo R o raio da circunferência circunscrita, vale a relação: = R 1. No triângulo ABC, determine o comprimento do segmento BC. Lei dos cossenos Para todo triângulo ABC, vale a relação: a 2 = b2 + c2- 2bccosA Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 65 Juros compostos Chamamos de regime de juros compostos aquele em que o juro gerado pela aplicação será a ela incorporado em cada período, passando assim a participar da geração de juros no período seguinte. Para um capital C, aplicado a uma taxa i por período, ocorrendo capitalização no final de cada período, em um prazo de n períodos, teremos o montante calculado pela fórmula: M = C . (1 + i)n 16. Calcule o montante de um capital inicial de R$ 6 000,00, a juros compostos de 5 % a.m., durante 6 meses. 17. Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00, aplicados em regime de juro composto a 5 % ao mês, durante 2 meses. 18. Uma pessoa toma R$ 3 000,00 de empréstimo, a juro de 3 % ao mês, pelo prazo de 10 meses, sendo utilizado o juro composto. Que montante foi devolvido? Funções do primeiro grau e representação gráfica Funções do primeiro grau Objetivo: Introduzir de forma simples e objetiva as noções de função linear e seus casos particulares. Motivação Consideremos o seguinte problema: Um motorista de taxi cobra nas suas corridas R$ 7,00 pela bandeirada mais R$ 5,00 por quilômetro rodado. Com base nestas informações determine: a) Uma expressão geral para calcular o preço de todas as corridas deste motorista b) Qual é o preço de uma corrida de 4,5 km Solução: a)Como a cada quilômetro ele adiciona R$ 5,00 então para uma quantia x de quilômetros o valor de cada quilômetro deverá ser multiplicado por x. Assim uma corrida de x km deverá custar 5x. Mas existe a taxa da bandeirada que também deve ser adicionada ao valor. Desse modo a expressão geral para calcular o preço de uma corrida é P(x) = 5x+7. b) O preço de uma corrida de 4,5 km será P(4,5) = 5 (4.5) + 7; ou seja, R$ 29,50. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 66 Problemas deste tipo são próprios de aplicações das funções do primeiro grau, que definiremos a seguir. Definição: Chamamos função de primeiro grau ou função linear a toda função que obedeça a seguinte lei: f(x) = ax + b , onde a e b são números reais. Exemplos: 1) f(x) = 2x + 5 2) f(x) = 3x - 4 Representação gráfica O gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano é sempre uma reta. As funções de primeiro grau podem receber denominações especiais. Veja a seguir tais denominações: Função constante Se em f(x) = ax + b fizermos a = 0, teremos f(x) = b. Neste caso a função recebe a denominação de função constante. O gráfico de uma função constante no plano cartesiano é uma reta horizontal; ou seja, paralela ao eixo dos x. Função identidade Se em f(x) = ax + b fizermos a = 1 e b = 0, teremos f(x) = x. Neste caso a função recebe a denominação de função identidade. O gráfico da função identidade no plano cartesiano é uma reta oblíqua aos dois eixos e faz ângulo de 45 graus com ambos. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 67 Função afim Se em f(x) = ax + b fizermos b = 0, teremos f(x) = ax. Neste caso a função recebe a denominação de função afim. O gráfico de uma função afim é uma reta passando pela origem do sistema cartesiano. Declividade Chamamos declividade da reta à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo dos x. Na função de primeiro grau, esta tangente tem valor igual ao coeficiente a, que é denominado coeficiente angular da reta. O coeficiente b é chamado de coeficiente linear. A partir do gráfico podemos determinar o valor do coeficiente angular. Basta tomar dois pontos A e B da função; ou da reta. Para o cálculo da declividade ou coeficiente angular podemos usar a expressão abaixo: Cálculo da declividade: Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo. Assim, temos: Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 70 5. Abandona-se uma pedra de uma certas altura nas proximidades da superfície da Terra, e ela cai em queda livre (resistência do ar desprezível). Durante a queda, a pedra foi fotografada em posições separadas por intervalos de tempo sucessivos e iguais. Assinale a opção que melhor representa o resultado obtido na fotografia. 6. Um automóvel está parado em um sinal luminoso de trânsito. No momento em que se acende a luz verde, o automóvel parte com uma aceleração constante de 2 m/s2. Nesse mesmo instante, um ônibus, deslocando-se com uma velocidade constante de 36 km/h, ultrapassa o automóvel. a) Depois de quanto tempo o automóvel alcançará o ônibus? b) A que distância do sinal isso ocorre? 7. De um balão flutuando a uma altura de 180 m, uma pessoa deixa cair um saco de areia. O balão começa a subir, então, com uma velocidade constante de 3 m/s. A que altura se encontra o balão quando o saco de areia chega ao solo? 8. A tabela a seguir fornece, em vários instantes, os valores da velocidade de um corpo que se desloca em linha reta. t (s) 1 2 3 4 5 v (m/s) 5 8 11 14 17 a) Qual o tipo de movimento desse corpo? b) Qual o valor de sua aceleração? c) Qual o valor da velocidade do corpo no instante t = 0 (velocidade inicial)? d) Qual a distância que o corpo percorre desde t = 0 até t = 4 s? Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 71 9. O motorista de um carro que está se deslocando em uma estrada reta com velocidade de 15 m/s pisa no freio. O movimento passa a ser uniformemente retardado, fazendo o carro parar em 3 s. a) Calcule a aceleração (valor e sinal) que os freios imprimiram ao carro. b) Determine a velocidade do carro no instante t = 2 s após o motorista pisar no freio. c) Calcule a distância total que o carro percorre durante a freada. 10. Analise os gráficos abaixo e diga qual é a velocidade do corpo: a) para o caso representado no gráfico (a); b) para o caso representado no gráfico (b). Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 72 11. O gráfico da figura abaixo refere-se ao movimento retilíneo de um ônibus ao longo de uma avenida. Analise se as afirmativas estão corretas ou erradas: a) O ônibus se movimentou com uma velocidade de 15 m/s durante 10 s. b) O ônibus permaneceu parado durante 20 s. c) De t = 20 s a t = 30 s o ônibus percorreu uma distância de 150 m. d) A distância total percorrida pelo ônibus, num intervalo de tempo representado, foi de 250 m. e) A aceleração do ônibus, no instante t = 25 s, era nula. 12. As afirmativas seguintes referem-se ao movimento de um carro em uma estrada, cujo gráfico posição × tempo (em relação ao quilômetro zero da estrada) está representado na figura abaixo. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 75 d) De t = 0 até t = 5 s, as distâncias percorridas por A e B são dA = 5 m e dB = 12,5 m. e) O atleta A alcança B no instante t = 10 s. 16. Na questão 15, supondo que os atletas mantenham aqueles movimentos por um tempo suficiente, determine: a) em que instante o atleta A alcança o atleta B; b) a distância percorrida por ambos, de t = 0 até aquele instante. 17. Construa o gráfico posição × tempo (s × t) para o movimento descrito a seguir: um automóvel parte do quilômetro zero de uma estrada, desenvolvendo 100 km/h durante 1 h; permanece parado durante 0,5 h; retorna a 50 km/h durante 1 h; torna a parar durante 0,5 h e, finalmente, volta ao ponto de partida ainda a 50 km/h. 18. Um carro percorre uma estrada ABC da seguinte maneira: no trecho AB tem velocidade média de 60 km/h durante 2 horas; e no trecho BC tem velocidade média de 90 km/h durante 1 hora. A velocidade média do automóvel no percurso AC será: a) 75 km/h. b) 70 km/h. c) 65 km/h. d) 50 km/h. e) 150 km/h. 19. Dentro de um vagão que se desloca horizontalmente, em linha reta, com velocidade constante de 10 m/s, um observador A lança para cima uma pequena esfera que sobe verticalmente em relação a ele. Um observador B, no solo, em repouso em relação à Terra, vê o vagão passar. Sejam vA e vB, respectivamente, os valores das velocidades da esfera em relação a cada observador no instante em que ela atinge o ponto mais alto de sua trajetória. Pode-se concluir que: a) vA = 0 e vB = 0. b) vA = 0 e vB = 10 m/s. c) vA = 10 m/s e vB = 0. d) vA = 10 m/s e vB = 10 m/s. e) vA = 0 e vB = 20 m/s. 20. Instalado em um navio, um sonar está a uma altura de 6,8 m acima da superfície da água. Em um dado instante, ele emite um ultra-som que, refletido no fundo do mar, retorna ao aparelho 1 s após sua emissão. Sabe-se que o ultra-som se propaga com velocidade constante em um dado meio e que, no ar, essa velocidade vale 340 m/s, enquanto na água vale 1,4 × 103 m/s. Determine a profundidade local do mar. Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 76 Coleta de Dados, Elaboração de Tabelas e Gráficos – Uso do Excel Como fazer gráficos no Excel 1. Abrir o Excel 2. Colocar os dados em colunas: cada variável deverá ficar numa coluna 3. Selecionar todos os dados a serem colocados no gráfico, incluindo os cabeçalhos dos dados Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 77 4. Depois clicar no icone na barra de ferramentas; seguidamente aparece uma janela com as características iniciais do gráfico, no qual se deve escolher a Dispersão (XY): 5. Clicar em Seguinte duas vezes e no passo 3 deve-se escrever o Titulo do Gráfico, a referência dos Eixo dos XX e do Eixo dos YY: Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 80 2. Os dados Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis (em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda. Às vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais. 3. A legenda e o título Todo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1, no nosso exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A legenda deve conter também uma descrição sucinta do que é apresentado no gráfico. Note que uma legenda tipo “velocidade vs tempo” é redundante pois esta informação já está contida nos rótulos dos eixos. Na Figura 2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na construção de gráficos Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 81 Exercícios envolvendo tabelas e interpretações de gráficos: 01. Faça um texto de no mínimo 10 linhas interpretando o gráfico abaixo: 02. Para cada uma das tabelas abaixo construa um gráfico no Excel, utilize a maior variedade de modelos de gráficos possível: a) Evolução da população de Maringá 1991 1996 2000 2007 240.292 266.628 288.653 325.968 b) População por sexo na cidade de Maringá. HOMENS MULHERES 0 a 4 10.752 10.571 5 a 9 11.996 11.622 10 a 14 12.972 12.848 15 a 19 13.621 14.011 20 a 24 12.825 13.688 25 a 29 11.397 12.686 30 a 34 11.756 13.459 35 a 39 11.248 12.794 40 a 44 9.745 11.388 Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 82 45 a 49 8.275 9.692 50 a 54 6.547 7.455 55 a 59 5.560 5.869 60 a 64 4.187 4.527 65 a 69 2.901 3.494 70 a 74 2.303 2.628 75 a 79 1.504 1.748 80 a 84 537 935 85 a 89 313 462 90 a 94 64 193 95 a 99 11 42 100 ... - d) População nos Estados Unidos ESTADOS UNIDOS População População total – 2007 305.826.244 habitantes Homens – 2007 150.508.013 habitantes Mulheres – 2007 155.318.231 habitantes População residente em área urbana - 2005 80,80% População residente em área rural – 2005 19,20% Densidade demográfica – 2005 31 hab/Km2 Taxa média anual do crescimento da população - 2006 1,03% Taxa bruta de natalidade - 2005 14,10 por mil Taxa bruta de mortalidade - 2005 8,30 por mil e) P.I.B. dos Estados Unidos ESTADOS UNIDOS Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 85 Taxa bruta de natalidade - 2005 13,60 por mil Taxa bruta de mortalidade - 2005 6,60 por mil j)Redes chinesas CHINA Redes Linhas telefônicas - 2005 26,63 a cada 100 habitantes Assinantes de telefonia celular - 2005 29,90 a cada 100 habitantes Número de computadores pessoais - 2005 4,22 a cada 100 habitantes Usuários com acesso a internet - 2005 8,44 a cada 100 habitantes i) RúSSIA Redes Linhas telefônicas - 2005 27,94 a cada 100 habitantes Assinantes de telefonia celular - 2005 83,62 a cada 100 habitantes Número de computadores pessoais - 2005 12,13 a cada 100 habitantes Usuários com acesso a internet - 2005 15,19 a cada 100 habitantes j)Redes norte-americanas ESTADOS UNIDOS Redes Linhas telefônicas - 2005 58,74 a cada 100 habitantes Assinantes de telefonia celular - 2005 71,50 a cada 100 habitantes Número de computadores pessoais - 2005 76,22 a cada 100 habitantes Usuários com acesso a internet - 2005 66,33 a cada 100 habitantes k)População brasileira BRASIL População Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 86 População total - 2007 191.790.900 habitantes Homens – 2007 94.571.375 habitantes Mulheres – 2007 97.219.556 habitantes População residente em área urbana - 2005 84,20% População residente em área rural - 2005 15,80% Densidade demográfica - 2005 22 hab/Km2 Taxa média anual do crescimento da população - 2006 1,41% Taxa bruta de natalidade - 2005 20,60 por mil Taxa bruta de mortalidade - 2005 6,30 por mil k) Economia brasileira BRASIL Economia Total do PIB – 2006 1.067.803 milhões de US$ PIB per capita - 2006 5.640 US$ População de 15 anos ou mais de idade economicamente ativa - 2007 67,80% Mulheres de 15 anos ou mais de idade economicamente ativas - 2007 57,30% Gastos públicos com educação - 2005 4,1 % do PIB Investimentos em pesquisa e desenvolvimento 2002 - 2003 1,0 % do PIB Gastos públicos com saúde - 2003 3,4 % do PIB Entrada de turistas – 2005 5.358.000 turistas Total da importação - 2005 77.633,20 milhões de US$ Total da exportação - 2005 118.308,00 milhões de US$ l)Redes brasileiras Professor Valdinei Cardoso (prof_valdinei@yahoo.com.br) 87 BRASIL Redes Linhas telefônicas - 2005 21,38 a cada 100 habitantes Assinantes de telefonia celular - 2005 46,25 a cada 100 habitantes Número de computadores pessoais - 2005 16,09 a cada 100 habitantes Usuários com acesso a internet - 2005 21,00 a cada 100 habitantes
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