Aulas de Eletromagnetismo

Aulas de Eletromagnetismo

EscolaPolitécnicade Pernambuco-Notasde aula de Eletromagnetismo1 –Prof. Helder A. Pereira

-TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução.

2.Sistema de coordenadas cartesianas.

3.Sistema de coordenadas cilíndricas circulares.

4.Sistema de coordenadas esféricas.

5.Sistema de coordenadas ortogonais generalizado. 6.Superfícies de coordenada constante.

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Introd ução

•Em geral, as quantidades físicas com que trabalhamos no Eletromagnetismo são funções do espaço e do tempo.

•A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada.

•Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado.

•Um ponto, ou um vetor, pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas curvilíneo ortogonalou não-ortogonal.

•Um sistema ortogonal éaquele em que as coordenadas são m ut ua me nte perpe ndic ulares.

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•Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo, e de trabalho, ao escolher um sistema de coordenadas que mais se adapta a um determinado problema.

•Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de fácil solução em outro sistema.

•Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos sistemas de coordenadas ortogonais:

– Cartesiano.

– Cilíndrico.

– Esférico.

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Sistema de coordenadas cartesianas •Um ponto Ppode ser representado por (x, y, z).

•Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, ye zsão

•Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como onde âx , ây e âz são vetores unitários ao longo de x, ye z.

y x zzyyxxzyx ou,, âAâAâAAAA ++

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Sistema de coordenadas cilíndricas circulares

•Um sistema de coordenadas cilíndricas circulares éconveniente quando tratamos problemas com simetria cilíndrica.

•Um ponto Ppode ser representado por (ρ, φ, z).

―ρrepresenta o raio do cilindro que passa pelo ponto P.

―φédenominado de ângulo azimutal, sendo medido a partir do eixo x, no plano xy.

―zéa mesma coordenada utilizada no sistema de coordenadas cartesianas. Figura 1

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•Os intervalos de variação das variáveis coordenadas ρ, φe zsão

•Um vetor A, em coordenadas cilíndricas circulares, pode ser escrito como onde â ρ

, âφ e âz são vetores unitários ao longo de ρ, φe z.

aponta no sentido de crescimento de ρ, âφ aponta no sentido de crescimento de φe âz aponta no sentido de crescimento de z.

piφρ zφφρρzφρ ou,, âAâAâAAAA ++

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•Dessa forma, zρzφφρ φρz ρzφ zφρ

Figura 2

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•As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas cartesianas com as do sistema de coordenadas cilíndricas circulares (ρ, φ, z) são dadas por sen cos==y x x y arctg

Figura 3

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•As relações entre âx , ây

, âz e âρ , âφ

, âz são dadas por cossen sencos φyφx

Figura 4

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•Podemos escrever o vetor Ada seguinte forma

•Se quisermos expressá-lo em coordenadas cilíndricas circulares podemos fazer as seguintes operações zyx âAâAâAA ++= zzzzyyzxxzz φzφyφxφφ ρzρyρxρρ

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•Dessa forma, obtemos y x zzzyzx φzφyφx ρzρyρx xyzρφ z ATA φ=

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•Fazendo as devidas substituições, obtemos y x

0cossen 0sencos xyzρφ z ATA φ=

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•De cilíndricas circulares para cartesianas, temos zφzρ yzyφyρ xzxφxρ y x xyz

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•Fazendo as devidas substituições, obtemos y x

0cossen 0sencos xyz

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•Pelas expressões anteriores, constatamos que ou seja ρφ zT xyz xyzρφ z ATA

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Sistema de coordenadas esféricas

•Um sistema de coordenadas esféricas éconveniente quando tratamos problemas com simetria esférica.

•Um ponto Ppode ser representado por (r, θ, φ).

―rrepresenta a distância, a partir da origem, atéo ponto P.

―θédenominado de co-latitude, sendo medido a partir do eixo ze o vetor posição de r.

―φéa mesma coordenada utilizada no sistema de coordenadas cilíndricas circ ulares. Figura 5

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•Os intervalos de variação das variáveis coordenadas r, θe φsão

•Um vetor A, em coordenadas esféricas, pode ser escrito como onde â r

, âθ e âφ são vetores unitários ao longo de r, θe φ.

aponta no sentido de crescimento de r, âθ aponta no sentido de crescimento de θe âφ aponta no sentido de crescimento de φ.

piφ piθ φφθθrφθr ou,, âAâAâAAAA ++

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•Dessa forma, φrφθθr θrφ rφθ φθr

Figura 6

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•As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas cartesianas com as do sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ) são obtidas a partir da seguinte representação gráfica

Figura 7

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•Dessa forma cos sensen cossen ry rx x y z yx zyxr arctg arctg 2

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•As relações entre âx , ây

, âz e âr , âθ

, âφ são dadas por cos sen sen sencos coscos cos sensen cossen φx θz θx rz ry rx

Figura 8

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•Podemos escrever o vetor Ada seguinte forma

•Se quisermos expressá-lo em coordenadas esféricas podemos fazer as seguintes operações zyx âAâAâAA ++= θzθyθxθθ rzzryyrxxrr

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•Dessa forma, obtemos y x φzφyφx θzθyθx rzryrx θ r xyzrθ

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•Fazendo as devidas substituições, obtemos y x θ r

0cossen sensencoscoscos cossensencossen xyzrθ

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•De esféricas para cartesianas, temos θ r zφzθzr yφyθyr xφxθxr y x φ φθ rθ xyz

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•Fazendo as devidas substituições, obtemos θ r y x

0sencos cossencossensen sencoscoscossen φ φθ rθ xyz

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•Pelas expressões anteriores, constatamos que ou seja rθT xyz xyzrθ ,

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•Na transformação de um ponto, ou de um vetor, eles não se alteram, apenas são expressos de maneira diferente.

•Portanto, a magnitude de um vetor, por exemplo, permanece a mesma depois de uma transformação e isso serve como um modo de conferir o resultado da transformação.

•A distância d, entre dois pontos com vetores posição r 1 e r2 , é geralmente dada por

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•Em coordenadas cartesianas •Em coordenadas cilíndricas circulares

•Em coordenadas esféricas cossensen2coscos2 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd

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Exercícios

1.Obtenha a matriz de transformação de um vetor que se encontra representado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares para o sistema de coordenadas esféricas.

2.Converta os pontos P(1, 3, 5), T(0, -4, 3)e S(-3, -4, -10)do sistemade coordenadas cartesianaspara ossistemasde coorde nadas cilíndricas circ ulares e esféricas.

3.Transforme o vetor em coordenadas cilíndricas circulares e em esféricas.

â zyx yz â zyx

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Exercícios 4.Determine Qno ponto Tnos três sistemas de coordenadas.

5.Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas:

zφρ sen sencoscos3sen âârB âââzA θ φφρφρφρ

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Sistema de coordenadas ortogonais generalizado

•Embora as leis que regem o eletromagnetismo não variem com o sistema de coordenadas utilizado, as soluções dos problemas exigem que as relações obtidas por essas leis sejam expressas em um sistema de coordenadas apropriado com a geometria de tais problemas.

•Em um espaço tridimensional, um ponto pode ser localizado como a interseção de três superfícies, são elas: u, ve w, todas constantes e não necessariamente precisam ser comprimentos físicos.

•Quando essas três superfícies (u, ve w) são mutuamente perpendiculares, tem-se um sistema de coordenadas ortogonal.

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•Algumas superfícies representadas por ui = constante, podem não ser planas, podendo ser curvilíneas.

, âv e âw são os vetores unitários nas três direções coordenadas e são denominados de vetores-base.

•Em um sistema de coordenadas curvilíneo, ortogonal e dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas wvu wvwuvu vuw uwv wvu

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•Qualquer vetor Apode ser escrito como a soma de suas componentes nas três direções da seguinte forma sendo sua magnitude dada por wvu âAâAâAA ++=

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•Em cálculo vetorial, frequentemente realizamos cálculos de integrais de linha, de superfície e de volume.

•Em cada caso, precisamos expressar o comprimento diferencial correspondente a uma variação diferencial em uma das coorde nadas.

•Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento físico e um fator de conversão énecessário para converter uma variação diferencial du i em uma variação no comprimento dli , ou seja, onde hi éconhecido como coeficiente métrico e pode ser uma função de u, ve w.

i duhdl =

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•Um comprimento diferencial, em uma direção arbitrária, pode ser escrito como uma soma vetorial de componentes, ou seja,

•Desse modo, a magnitude de dlédada por

( ) ( ) ( ) dwhâdvhâduhâld dlâdlâdlâld wvu u dwhdvhduhdldldllddl ++=++==

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•O volume diferencial éformado pelas variações diferenciais nas coordenadas u, ve w, nas direções âu , âv e âw , sendo dado por

•Teremos ocasiões de expressar a corrente, ou fluxo, através de uma área diferencial. Em tais casos, a área da seção perpendicular àcorrente, ou ao fluxo, deve ser utilizada. Sendo conveniente utilizar um vetor área diferencial, cuja direção é normal àsuperfície, ou seja, dudvdwhhhdv dwhdvhduhdldldldv wvu wvuwvu = dSâSd n =

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•Em um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais generalizado, a área diferencial dSu , normal ao vetor âu

, édada por

•Dessa forma, temos que as áreas diferenciais, normais a âv e â são dvdwhhdS dwhdvhdldldS wvu wvwvu =

( )( ) dudvhhdvhduhdldldS dudwhhdwhduhdldldS vuvuvuw wuwuwuv ===

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•Relacionando com os sistemas de coordenadas ortogonais estudados atéo presente momento, temos que âφâθâr rsenθr 1 Esférico â zâφâ

1ρ 1 Cilíndrico âzâyâ x

1 Cartesiano â wâvâuhwhvh u Generalizado

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Superfícies de coordenada constante

•As superfícies, nos sistemas de coordenadas, são obtidas ao manter uma das variáveis com valor constante, enquanto que as outras variam. Coordenadas cartesian as

Figura 9

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Coordenadas cilíndricas circulares Figura 10

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Coordenadas esféric as Figura 1

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Exercício 6.Considere o campo vetorial a) H . âx .

b) H x âθ .

c) A componente vetorial de Hnormal àsuperfície ρ= 1. d) A componente escalar de Htangencial ao plano z = 0.

sencos ââeâzH ρφ

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